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2012届中考数学考点四边形

发布时间:2013-09-17 17:19:21  

第 23 讲 矩形、菱形、正方形

考点一 矩形的定义、性质和判定 1.定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.性质:(1)矩形的四个角都是直角;(2)矩形的对角线互相平分且相等;(3)矩形既是轴 对称图形,又是中心对称图形,它有两个对称轴,它的对称中心是对角线的交点. 3.判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形.

考点二 菱形的定义、性质和判定 1.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.性质:(1)菱形的四条边都相等,对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对 角;(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形. 3.判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)四条边都相等的四边形是菱形; (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
考点三 正方形的定义、性质和判定 1.定义:有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.性质:(1)正方形四个角都是直角,四条边都相等; (2)正方形两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 3.判定:(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.

考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

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(1)(2010· 芜湖)下列命题中是真命题的是( A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形

)

(2)(2009· 凉山)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,

使 C 落在 C′处,BC′交 AD 于点 E,则下列结论不一定成立的是( ... A.AD=BC′ B.∠EBD=∠EDB C.△ABE∽△CBD AE D.sin∠ABE= ED

)

(3)(2010· 宜昌)如图,在菱形 ABCD 中,AB=15,∠ADC=120° ,则 B、D 两点之间的 距离为( ) 15 3 A.15 B. 2 C.7.5 D.15 3
【点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定.

【解答】(1)从“对角线”方面考查矩形的判定方法,故选 C. (2)△ABE 和△CBD 只满足∠A=∠C=90° ,其余证相似的条件推不出,故选 C. (3)∵∠ADC=120° ,∴∠A=60° . ∵AD=AB,∴△ABD 是等边三角形. ∴BD=AB=15,即 B、D 两点之间的距离为 15,故选 A.

(2010· 聊城)如图,在等边三角形 ABC 中,点 D 是 BC 边的中点,以 AD 为边 作等边三角形 ADE. (1)求∠CAE 的度数; (2)取 AB 边的中点 F,连结 CF、CE,试证明四边形 AFCE 是矩形.

【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定.
【解答】(1)在等边△ABC 中,∵点 D 是 BC 边的中点,∴∠DAC=30° .又∵△ADE 是

等边三角形,∴∠DAE=60° .∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=60° -30° =30° . (2)由(1)知,∠EAF=90° . 由 F 为 AB 的中点知,∠CFA=90° ,∴CF∥EA. 在等边三角形 ABC 中,CF=AD. 在等边三角形 ADE 中,AD=EA,∴CF=EA. ∴四边形 AFCE 为平行四边形. 又∵∠CFA=90° ,∴四边形 AFCE 为矩形.

(2010· 安徽)如图,AD∥FE,点 B、C 在 AD 上,∠1=∠2,BF=BC.

(1)求证:四边形 BCEF 是菱形; (2)若 AB=BC=CD,求证:△ACF≌△BDE.
【点拨】本题综合考查菱形的判定和全等三角形的判定.
【解答】(1)证明:∵AD∥FE,∴∠FEB=∠2.∵∠1=∠2,∴∠FEB=∠1,∴BF=EF. ∵BF=BC,∴BC=EF,∴四边形 BCEF 是平行四边形. 又∵BF=BC,∴?BCEF 是菱形. (2)证明:∵EF=BC,AB=BC=CD,AD∥FE. ∴四边形 ABEF、四边形 CDEF 均为平行四边形. ∴AF=BE,FC=ED,又∵AC=2BC=BD, ∴△ACF≌△BDE(SSS).

1.下列命题中,真命题是( D ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
2.如图,在菱形 ABCD 中,AB=5,∠BCD=120° ,则对角线 AC 等于( D )

A.20

B.15

C.10

D.5

3.将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线(直角三角形的中位 线)剪去上面的小直角三角形.将留下的纸片展开,得到的图形是( A )

4.如图,已知矩形 ABCD,一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形(含三角形),若 这两个多边形的内角和分别为 m 和 n,则 m+n 不可能是( D ) A.360° B.540° C.720° D.630°

5. 将两张矩形纸片如图所示摆放, 使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形 纸片的一条边上,则∠1+∠2=90° .
6.四边形 ABCD 是正方形,点 G 是 BC 上的任意一点,DE⊥AG 于 E,BF∥DE,交 AG 于 F. 求证:AF=BF+EF. 提示:证△ABF≌△DAE(AAS)

(第 5 题)

(第 6 题)

考点训练 23

矩形、菱形、正方形 矩形、菱形、正方形 ?训练时间:60分钟 分值:100 ?训练时间:60分钟 分值:100分?

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
1.(2010· 天津)下列命题中正确的是( ) A.对角线相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【解析】本题考查菱形的判定. 【答案】D

2. (2010· 南通)如图, 菱形 ABCD 中,AB=5, ∠BCD=120° 则对角线 AC 的长是( , A.20 B.15 C.10 D.5

)

【解析】在菱形 ABCD 中,AB=BC=5.∵∠BCD=120° ,AC 平分∠BCD,∴∠BCA =60° ,∴△ABC 是等边三角形,∴AC=AB=5.

【答案】D

3.(2010· 义乌)下列说法不

正确的是( ) A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角形相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形

【解析】本题考查正方形的判定. 【答案】D

4.(2010· 聊城)如图,点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点,矩形的两条边 AB、 BC 的长分别为 3 和 4,那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是( )

A.

12 5

B.

6 24 C. D.不确定 5 5

【解析】

过 P 点作 PE⊥AC, PF⊥BD, 垂足分别为 E、 F.∵矩形 ABCD 中, AB=3, BC=4, ∴AC 5 5 5 5 5 12 =5.设 PE=x,PF=y,易求得 AP= x,PD= y,∴ x+ y= (x+y)=4,∴x+y= . 3 3 3 3 3 5

【答案】A

5.(2010· 江西)如图,已知矩形纸片 ABCD,点 E 是 AB 的中点,点 G 是 BC 上的一点, ∠BEG>60° 现沿直线 EG 将纸片折叠, , 使点 B 落在纸片上的点 H 处, 连结 AH,则与∠BEG 相等的角的个数为( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
【解析】 由题意知, △BEG≌△HEG, BE=HE; 则 ∠BEG=∠HEG, ∠BEH=2∠BEG.∵ 点 E 是 AB 的中点,∴AE=BE,∴AE=HE.∴∠EAH=∠EHA.∵∠BEH=∠EAH+∠EHA =2∠EAH.∴∠BEG=∠EAH=∠EHA=∠HEG.则与∠BEG 相等的角有 3 个.

【答案】B

3 6.(2010· 苏州)如图,在菱形 ABCD 中,ED⊥AB,cosA= ,BE=2,则 tan∠DBE 的值 5 是( ) 1 5 5 A. B.2 C. D. 2 2 5
【解析】设菱形 ABCD 的边长为 x,则 AD=AB=x,AE=x-2,在 Rt△ADE 中,cosA AE 3 x-2 = ,则 = ,∴x=5,则 AE=3.由勾股定理,得 DE= AD 2-AE 2=4.在 Rt△BDE 中, AD 5 x DE 4 tan∠DBE= = =2. BE 2

【答案】B

7. (2011 中考预测题)如图, 在矩形 ABCD 中, AB=3, BC=5, 过对角线交点 O 作 OE⊥AC 交 AD 于 E,则 AE 的长是( ) A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4

【解析】在 Rt△DAC 中,cos∠DAC= 1 34 OA 2 5 cos∠EAO= = = ,∴AE=3.4. AE AE 34

AD BC 5 5 = = 2 = ,在 Rt△AOE 中, 2 AC AC 34 3 +5

【答案】D

8.(2009 中考变式题)如图,矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4,AD=2,将矩形纸片沿 EF 折叠,使点 A 与点 C 重合,折叠后在其一面着色(如图),着色部分的面积为( ) 11 5 A.8 B. C.4 D. 2 2

【解析】设 BE=x,则 AE=EC=CF=4-x,在 Rt△ECB 中,CE2=BE2+BC2,∴(4- 3 5 x)2=x2+22,∴x= ,CF= . 2 2 1 5 11 S 着色部分=S 矩形 ABCD-S△ECF=4×2- × ×2= . 2 2 2

【答案】B

(

9.(2009 中考变式题)顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点,所得图形一定是 ) A.矩形 B.直角梯形 C.菱形 D.正方形

【解析】顺次连接四边形各边中点得平行四边形,另外由对角线垂直可得到平行四边形 有一个角是直角,所以得到的是矩形.

【答案】A

10.(2011 中考预测题)如图,将

边长为 8 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠,使点 D 落在 BC 边中点 E 处,点 A 落在点 F 处,折痕为 MN,则线段 CN 的长度为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
1 【解析】由题意设 CN=x cm,则 EN=(8-x)cm,又 CE= DC=4 cm,∴在 Rt△ECN 2 2 2 2 2 2 2 中,EN =EC +CN ,即(8-x) =4 +x ,∴x=3.

【答案】A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11.(2010· 北京)若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8,则这个菱形的周长为________.
【解析】∵菱形的四条边都相等,且对角线互相垂直平分,∴由勾股定理求得菱形的边 长是 32+42=5.∴菱形的周长是 5×4=20.

【答案】20

12.(2010· 苏州)如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 AB 到 E,使 AE=AC,则∠BCE 的度数是________° .
【解析】因为四边形 ABCD 是正方形,则∠BAC=∠BCA=45° .因为 AE=AC,所以 180° -45° ∠ACE=∠AEC,则∠ACE= =67.5° ,∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5° -45° = 2 22.5° .

【答案】22.5

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13.(2010· 哈尔滨)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点 C′ 处,折痕为 EF,若∠ABE=20° ,那么∠EFC′的度数为________度.

【解析】 ∵在矩形 ABCD 中, ∠ABE=20° ∴∠AEB=70° ∵点 D 与点 B 重合, , , ∴∠BEF 180° -70° =∠DEF= =55° .∵AD∥BC,∴∠BFE=∠DEF=55° ,∴∠EFC=180° -55° = 2 125° .∵点 C 的对应点是 C′,∴∠EFC′=125° .

【答案】125

14.(2010· 深圳)如图,在边长为 2 cm 的正方形 ABCD 中,点 Q 为 BC 边的中点,点 P 为对角线 AC 上一动点,连结 PB、PQ,则△PBQ 周长的最小值为________cm(结果不取近似 值).

【解析】因为正方形 ABCD 是关于对角线 AC 对称的轴对称图形,所以 B、D 两点关于 AC 对称, 连结 QD, AC 于点 P′, 交 当点 P 运动到 P′时, △PBQ 的周长最小, Rt△CDQ 在 中,DQ= 12+22= 5,∵P′B=P′D,∴P′B+P′Q=P′D+P′Q=DQ= 5.∴△PBQ 的周长最小值为 P′B+P′Q+BQ= 5+1.
【答案】1+ 5

三、解答题(共 44 分)
15.(10 分)(2010· 眉山)如图,O 为矩形 ABCD 对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD. (1)试判断四边形 OCED 的形状,并说明理由; (2)若 AB=6,BC=8,求四边形 OCED 的面积.

解:(1)四边形 OCED 是菱形. ∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形 OCED 是平行四边形. 又∵在矩形 ABCD 中,OC=OD. ∴四边形 OCED 是菱形. (2)连结 OE,由四边形 OCED 是菱形得,CD⊥OE. ∴OE∥BC. 又 CE∥BD,∴四边形 BCEO 是平行四边形,∴OE=BC=8, 1 1 ∴S 四边形 OCED= OE· CD= ×8×6=24. 2 2

16.(10 分)(2010· 长沙)在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,E 为 AC 上一点,连结 EB、 ED. (1)求证:△BEC≌△DEC; (2)延长 BE 交 AD 于 F,当∠BED=120°

时,求∠EFD 的度数.

(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴BC=CD,∠ECB=∠ECD=45° . 又 EC=EC,∴△BEC≌△DEC(SAS). 1 (2)∵△BEC≌△DEC,∴∠BEC=∠DEC= ∠BED=60° . 2 又∵∠EAF=45° ,∴∠EFD=∠AEF+∠EAF=60° +45° =105° .

17.(12 分)(2009 中考变式题)如图,在△ABC 中,点 O 是 AC 边上的一个动点,过点 O 作直线 MN∥BC,设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F. (1)求证:EO=FO; (2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论. (3)在(2)的条件下,当△ABC 满足什么条件时,四边形 AECF 是正方形?

证明:(1)∵MN∥BC,∴∠FEC=∠BCE. ∵CE 平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE,∴∠FEC=∠ACE, ∴OE=OC.同理可证 OF=OC,∴OE=FO. (2)当 O 运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形. ∵CE 平分∠ACB,CF 平分∠BCA 的外角, 1 ∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180° =90° . 2 由(1)得 OE=OF,又∵O 为 AC 的中点,∴AO=CO. ∴四边形 AECF 是平行四边形.又∵∠ECF=90° , ∴四边形 AECF 是矩形. (3)当△ABC 是直角三角形, 即∠ACB=90° 在(2)的条件下, 时, 四边形 AECF 是正方形.

18.(12 分)(2011 中考预测题)如图所示,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是线段 BC 延长线上一点,过点 A 作 BE 的平行线与线段 ED 的延长线交于点 F,连结 AE、CF. (1)求证:AF=CE; (2)若 AC=EF,试判断四边形 AFCE 是什么样的四边形,并证明你的结论.

证明:(1)在△ADF 和△CDE 中, ∵AF∥BE,∴∠FAD=∠ECD, 又∵D 是 AC 的中点,∴AD=CD, ∵∠ADF=∠CDE,∴△ADF≌△CDE(ASA),∴AF=CE. (2)若 AC=EF,则四边形 AFCE 是矩形. 证明:由(1)知 AF 綊 CE,∴四边形 AFCE 是平行四边形, 又∵AC=EF,∴四边形 AFCE 是矩形.

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