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2012届中考数学概率与频率的应用

发布时间:2013-09-17 17:19:21  

第 39 讲

频率与概率的应用

考点一 利用树状图或列表进行概率的预测 1.画树状图是列举随机事件的所有可能结果的重要方法:通过树状图,把所有可能的结 果一一列出,有利于帮助我们分析问题,并且可以避免出现重复和遗漏,既形象直观又条理 分明. 2. 列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一个重要的方法: ①为了准确地画树状图 或列表往往需要“编号”;②列表法是画“树状图”的必要补充.
考点二 用替代物模拟试验 在实验中往往会出现手边没有相应的实物的情况,需要借助替代物进行模拟试验,要广开思 路,创造性地进行实物代替,尽可能地就地取材,但应该注意的是替代物与被替代物可以形 状、大小、质地差别很大,但是试验时考查的试验对象,其出现的机会应该是相同的,这样 利用替代物做模拟试验,才不会影响试验的结果

(1)(2010· 东阳)张家界国际乡村音乐周活动中,来自中、日、美的三名音乐家准备 在同一节目中依次演奏本国的民族音乐,若他们出场先后的机会是均等的,则按“美—日— 中”顺序演奏的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 12 3
(2)(2010· 毕节)在盒子里放有三张分别写有整式 a+1、a+2、2 的卡片,从中随机抽取两 张卡片,把两张卡片上的整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是( ) 1 2 1 3 A. B. C. D. 3 3 6 4

(3)(2010· 青岛)一个口袋中装有 10 个红球和若干个黄球.在不允许将球倒出来数的前提 下,为估计口袋中黄球的个数,小明采用了如下的方法:每次先从口袋中摸出 10 个球,求出 其中红球数与 10 的比值,再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程 20 次,得到红球数与 10 的比值的平均数为 0.4.根据上述数据,估计口袋中大约有________个黄球.

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【点拨】本组题主要考查概率的计算,掌握求概率的两种方法和熟记概率的计算公式是 解决这类题的关键.

【解答】(1)他们出场先后的机会均等的结果共有 6 种,即中—日—美,中—美—日,日 1 —中—美,日—美—中,美—中—日,美—日—中,所以 P(美 —日—中)= ,故选 A. 6 4 2 (2)P(组成分式)= = ,故选 B. 6 3 10 (3)设黄球数为 x 个,则 =0.4,∴x=15. 10+x

(2010· 广东)分别把带有指针的圆形转盘 A、 分成 4 等份、 等份的扇形区域, B 3 并在每一小区域内标上数字(如图所示).欢欢、乐乐两人玩转盘游戏,游戏规则是:同时转 动两个转盘,当转盘停止时,若指针所指两区域的数字之积为奇数,则欢欢胜;若指针所指 两区域的数字之积为偶数,则乐乐胜;若指针落在分割线上,则无效,需重新转动转盘. (1)试用列表或画树状图

的方法,求欢欢获胜的概率; (2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗?试说明理由.

【点拨】判断一个游戏是否公平,关键是计算各自的概率.如果概率相等,游戏公平, 否则不公平,若涉及到分数,则比较概率与分数的积是否相等,判断游戏是否公平.

【解答】(1)根据题意可列表如下:

或画树状图如下:

从表或树状图可以看出所有可能结果共有 12 种, 且每种结果发生的可能性相同, 数字之 积为奇数的有 6 种. 6 1 1 ∴P(积为奇数)= = ,所以欢欢获胜的概率为 . 12 2 2 1 1 (2)公平.因为欢欢获胜的概率是 ,所以乐乐获胜的概率也是 . 2 2

1.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛,规则是:两人比赛,另一人当裁判,输者将在下一 局中担任裁判,每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了 4 局,丙当了 3 次裁判.问第 2 局的输者是( C ) A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定 提示:设总共赛了 x 局,则有 x-4+x-4=x-3,则 x=5,丙当了 3 次裁判,所以丙在 第 1、3、5 局当裁判,第 2、4 局参赛

2.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共 40 个,除颜色外其他完全相同.小 明通过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球的频率稳定在 15%左右,则口袋中红色球可能 有( B ) A.4 个 B.6 个 C.34 个 D.36 个
3.下图是同一副扑克中的 4 张扑克牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小明从 中抽出一张,则抽到偶数的概率是( C )

A.

1 1 B. 3 2

C.

3 2 D. 4 3

4.某公司组织部分员工到一博览会的 A、B、C、D、E 五个展馆参观,公司所购门票种 类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示.

请根据统计图回答下列问题: (1)将条形统计图和扇形统计图补充完整. (2)若 A 馆门票仅剩下一张, 而员工小明和小华都想要, 他们决定采用抽扑克牌的方法来 确定,规则是:“将同一副牌中正面分别标有数字 1、2、3、4 的四张牌洗匀后,背面朝上放 置在桌面上,每人随机抽一次且一次只抽一张;一人抽后记下数字,将牌放回洗匀背面朝上 放置在桌面上,再由另一人抽.若小明抽得的数字比小华抽得的数字大,门票给小明,否则 给小华.”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率,并说明这个规则 对双方是否公平.

答案:(1)公司所购门票总数是 20÷ 10%=200(张). 则 B 展馆门票数为:200×25%= 30 50(张),C 展馆门票数所占百分比是 ×100%=15%.补全统计图略. (2)画树状图如下: 200

由树状图可以看出, 16 种等可能的情况, 共 其中小明抽得的数字比小华抽得的数字大的 情况有 6 种. 6 3 3 5 3 5 故 P(小明获得门票)= = ,P(小华获得

门票 )=1- = .∵ ≠ ,∴这个规则对双方不公平. 16 8 8 8 8 8

考点训练 39

频率与概率的应用

频率与概率的应用

?训练时间:60分钟 分值 ?训练时间:60分钟 分值:100分?

一、选择题(每小题 4 分,共 48 分)
1.(2010· 龙岩)从 4 张分别写有数字-6、-4、0、3 的卡片中,任意抽取一张,卡片上 的数字是正数的概率是( ) 3 1 1 1 A. B. C. D. 4 2 3 4

1 【解析】共有四种等可能的结果,出现正数的有一种,故概率为 . 4

【答案】D

2.(2010· 宁波)从 1~9 这九个自然数中任取一个,是 2 的倍数的概率是( 2 4 5 2 A. B. C. D. 9 9 9 3

)

【解析】从 1~9 这九个自然数中任取一个数,共有 9 种等可能的情况,而其中是 2 的倍 4 数的有 2、4、6、8 四种,所以从 1~9 这九个自然数中任取一个数,是 2 的倍数的概率为 . 9

【答案】B
3.(2010· 哈尔滨)一个袋子里装有 8 个球,其中 6 个红球 2 个绿球,这些球除颜色外,形 状、大小、质地等完全相同,搅匀后,在看不到球的条件下,随机从这个袋子中摸出一个红 球的概率是( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 8 6 4 4

6 3 【解析】 = . 8 4

【答案】D

4.(2010· 眉山)下列说法不正确的是( ) 1 A.某种彩票中奖的概率是 ,买 1 000 张该种彩票一定会中奖 1 000 B.了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 C.若甲组数据的标准差 S 甲=0.31,乙组数据的标准差 S 乙=0.25,则乙组数据比甲组数 据稳定 D.在一个装有白球和绿球的袋中摸球,摸出黑球是不可能事件

【解析】某种彩票中奖的概率是 法错误,故选择 A.

1 ,买 1 000 张该种彩票也不一定会中奖,所以 A 说 1 000

【答案】A

5.(2009 中考变式题)小明在白纸上任意画了一个锐角,他画的角在 45° 60° 到 之间的概 率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3

15 1 【解析】因为锐角的范围是 0°<α<90°,而 45° 60° 到 之间的情况占 = ,所以他画的角 90 6 1 在 45° 60° 到 之间的概率是 . 6

【答案】A

6.(2011 中考预测题)如图是由四个全

等的直角三角形围成的,若两条直角边分别为 3 和 4,则向图中随机抛掷一枚飞镖,飞 镖落在阴影区域的概率是(不考虑落在线上的情形)( ) 3 4 16 25 A. B. C. D. 5 5 25 49

52 25 【解析】P(飞镖落在阴影区域)= 2= . 7 49

【答案】D

7.(2009 中考变式题)在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球,这 a 个球中红 球只有 3 个.每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸 球试验后发现,摸到红球的频率稳定在 25%,那么可以推算出 a 大约是( ) A.12 B.9 C.4 D.3

【解析】大量重复摸球试验的频率近似于概率,∴a 大约是 3÷ 25%=12. 【答案】A
8.(2010· 崇文)

在 6 张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角 梯形、正方形和圆.在看不见图形的情况下随机摸出 1 张,这张卡片上的图形是中心对称图 形的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3

4 【解析】共有 6 种等可能的结果,卡片上的图形是中心对称图形的有 4 种,故概率为 = 6 2 . 3

【答案】D

9. (2010· 门头沟区)小明要给刚结识的朋友小林打电话, 他只记住了电话号码的前 5 位的 顺序,后 3 位是 3、6、8 三个数字的某一种排列顺序,但具体顺序忘记了,那么小明第一次 就拨通电话的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 6 4 3

【解析】共有 6 种等可能的结果,分别是 3、6、8;3、8、6;6、3、8;6、8、3;8、3、 1 6;8、6、3,其中第一次就拨通电话的概率是 . 6

【答案】B

10.(2010· 金华)小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共 12 页,其中语文 4 页、数学 2 页、英语 6 页,他随机地从讲义夹中抽出 1 页,抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 6 12

【解析】共有 12 种等可能的结果,抽出的试卷是数学试卷的有 2 种等可能的结果,故概 2 1 率为 = . 12 6

【答案】C

11.(2011 中考预测题)小华外出,带了白色、蓝色、棕色上衣各 1 件,白色、棕色裤子 各 1 条,他任意拿了 1 件上衣和 1 条裤子,正好是相同颜色的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 5

2 1 【解析】所有机会均等的情况共有 6 种,其中相同颜色的 2 种,∴P(相同颜色)= = . 6 3

【答案】B
12.(2011 中考预测题)小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子,骰子的 六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,掷得朝上一面的点数之和是 3 的倍数的概率是( ) 1 1 5 5 A. B. C. D. 3 6 18 6 【解析】所有机会均等的结果共 36 种,利用画树状图或列表的方法可查得点数之和是 3 的倍数的是 12 种, 12 1 ∴P(和是 3 的倍数 )= = . 36 3

【答案】A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13.(2010· 盐城)不透明的袋子中装有 4 个红球、3 个黄球和 5 个蓝球,每个球除颜色不 同外其他都相同,从中任意摸出一个球,则摸出________球的可能性最大.

【解析】蓝球数最多. 【答案】蓝
14.(2010· 天津)甲盒装有 3 个乒乓球,分别标号为 1、2、3;乙盒装有 2 个乒乓球,分 别标号为 1、2.现分别从每个盒中随机地取出 1 个球,则取出的两球标号之和为 4 的概率是 ________.

【解析】画树状图如图:1123 2123 由树状图可知,共有 1+1=2,1+2=3,1+3=4,2+1=3,2+2=4,2+3=5 六种结果,其 2 1 中两球标号之和为 4 的结果有两种,则取出的两球标号之和为 4 的概率是 = . 6 3

【答案】

1 3

15.(2010· 山西)哥哥与弟弟

玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1、2、3,将标有数字的一面朝下,哥哥从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后弟弟 从中任意抽取一样,计算抽得的两个数字之和,如果和为奇数,则弟弟胜;和为偶数,则哥 哥胜.该游戏对双方________.(填“公平”或“不公平”)

【解析】根据题意列表如下:

由表可以看出,可能出现的结果有 9 种,它们出现的可能性相等.其中和为奇数的结果 4 5 4 5 有 4 种,和为偶数的结果有 5 种,所以 P(和 为奇数 )= ,P(和为偶 数 )= ,因为 ≠ ,所以这个游戏不 9 9 9 9 公平. 【答案】不公平

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16.(2010· 重庆)在一个不透明的盒子里装有 5 个分别写有数字-2、-1、0、1、2 的小 球,它们除数字不同外其余全部相同,现从盒子里随机取出一个小球,将该小球上的数字作 为点 P 的横坐标,将该数的平方作为点 P 的纵坐标,则点 P 落在抛物线 y=-x2+2x+5 与 x 轴所围成的区域内(不含边界)的概率是________.

【解析】点 P 的坐标的所有结果为(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4).y=-x2+2x+5 3 =-(x-1)2+6,在区域内的点有(-1,1),(1,1),(2,4);所以概率为 . 5
【答案】 3 5

三、解答题(共 36 分)
17.(10 分)(2011 中考预测题)抛掷一枚 6 个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 个点的均匀 小立方体,小立方体落地后. (1)“小立方体朝上一面的点数不大于 6”是什么事件?它的概率是多少? (2)“小立方体朝上一面的点数能被 10 整除”是什么事件?它的概率是多少? (3)“小立方体朝上一面的点数是 3 的倍数”是什么事件?它的概率是多少?

解:小立方体落地后,朝上一面上的点数只可能是 1、2、3、4、5、6 中的一个,这 6 种结果出现的可能性相同.因此“点数不大于 6”是必然事件,它的结果是 6;“点数能被 10 整除”是不可能事件,它的结果数是 0;3 的倍数是 3、6,“点数是 3 的倍数”是不确定 事件,可能出现的结果数是 2.所以, 6 0 (1)P(点数不大于 6)= =1;(2)P(点数能被 10 整除)= =0; 6 6 2 1 (3)P(点数是 3 的倍数)= = 6 3

18.(12 分)(2010· 芜湖)“端午节”前,第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火 1 腿粽子和豆沙粽子若干,放入不透明的盒中,此时随机取出火腿粽子的概率为 ;妈妈发现小 3 亮喜欢吃的火腿粽子偏少,第二次又去买了同样的 5 只火腿粽子和 1 只豆沙粽子放入同一盒 1 中,这时随机取出火腿粽子的概率为 . 2 (1)请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只? (2)若妈妈从盒中取出火腿粽子 4 只、豆沙粽子 6 只送爷爷和奶奶后,再让小亮从盒中不

放回地任取 2 只,问恰有火腿粽子、豆沙粽子各 1 只的概率是多少?(用字母和数字表示豆沙 粽子和火腿粽子,用列表法计算)

? ? 解:(1)设第一次爸爸买了火腿粽子 x 只,豆沙粽子 y 只,根据题意,得 ? x+5 1 = . ?x+y+6 2 ?
x 1 = , x+y 3

?x=4, 解得? ?y=8.

(2)可能的情况列表如下:(记豆沙粽子 a、b、c;火腿粽子 1、2、3、4、5)

在妈妈买过之后,盒中有火腿粽了 9 只和豆沙粽子 9 只.从盒中取出火腿粽子 4 只、豆 沙粽子 6 只送爷爷和奶奶后,盒中还有火腿粽子 5 只和豆沙粽子 3 只.最后小亮任取 2 只, 30 15 恰有火腿粽子、豆沙粽子各 1 只的概率是 = . 56 28

19.(14 分)(2010· 南京)某厂为新型号电视机上市举办促销活动,顾客每购买一台新型号 电视机,可获得一次抽奖机会,该厂拟按 10%设大奖,其余 90%设为小奖.厂家设计的抽奖 方案是:在一个不透明的盒子中,放入 10 个黄球和 90 个白球,这些球除颜色外其他都相同, 搅匀后从中任意摸出 1 个球,摸到黄球的顾客获得大奖,摸到白球的顾客获得小奖. (1)厂家请教了一位数学老师,他设计的抽奖方案是:在一个不透明的盒子中,放入 2 个 黄球和 3 个白球,这些球除颜色外其他都相同,搅匀后从中任意摸出 2 个球,摸到的 2 个球 都是黄球的顾客获得大奖,其余的顾客获得小奖,该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗?请说 明理由;

(2)下图是一个可以自由转动的转盘,请你将转盘分为 2 个扇形区域,分别涂上黄、白两 种颜色,并设计抽奖方案,使其符合厂家的设奖要求. (友情提醒:①在转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数;②结合转盘简述获奖方 式,不需说明理由)

解:(1)该抽奖方案符合厂家的设奖要求. 分别用黄 1、黄 2、白 1、白 2、白 3 表示这 5 个球.从中任意摸出 2 个球,可能出现的 结果分别有:(黄 1,黄 2)、(黄 1,白 1)、(黄 1,白 2)、(黄 1,白 3)、(黄 2,白 1)、(黄 2, 白 2)、(黄 2,白 3)、(白 1,白 2)、(白 1,白 3)、(白 2,白 3),共有 10 种,它们出现的可能 性相同. 所有的结果中,满足摸到 2 个球都是黄球(记为事件 A)的结果有 1 种,即(黄 1,黄 2), 1 1 9 所以 PA= ,即顾客获得大奖的概率为 ,获得小奖的概率为 . 10 10 10

(2)本题答案不唯一,下列解法仅供参考.如图,将转盘中圆心角为 36° 的扇形区域涂上 黄色,其余的区域涂上白色.顾客每购买一台该型号电视机,可获得一次转动转盘的机会, 任意转动这个转盘,当转盘停止时,指针指向黄色区域获得大奖,指向白色区域获得小奖.

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