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2012届中考数学等腰三角形

发布时间:2013-09-17 17:19:22  

第 20 讲

等腰三角形

考点一 等腰三角形 1.概念及分类 有两边相等的三角形叫等腰三角形;有三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角 形;等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形. 2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两腰相等;等腰三角形的两个底角相等; (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合,简称“三线合一”; (3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形,它有一条对称轴. 3.等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形; (2)有两角相等的三角形是等腰三角形.

考点二 等边三角形的性质与判定 1.性质:①等边三角形的内角都相等,且等于 60° ;②等边三角形是轴对称图形,等边 三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”,它们所在的直线都是等边三 角形的对称轴. 2.判定:三个角相等的三角形是等边三角形;有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角 形.

考点 三线段的中垂线 1.概念:垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线. 2.性质:线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等. 3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上,线段的中垂线可以看作是到 线段两端点距离相等的点的集合.

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(1)(2010· 江西)已知等腰三角形的两条边长分别是 7 和 3, 则第三条边的长是( A.8 B.7 C.4 D.3
(2)(2010· 东阳)已知等腰三角形的一个内角为 40° ,则这个等腰三角形的顶角为( A.40° B.100° C.40° 100° 或 D.70° 50° 或 )

)

(3)(2010· 烟台)如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,∠A=20° .线段 AB 的垂直平分 线交 AB 于 D,交 AC 于 E,连结 BE,则∠CBE 等于( ) A.80° B.70° C.60° D.50°

例 1(3)题

例 1(4)题

(4)(2010· 宁波)如图, 在△ABC 中,AB=AC, ∠A=36° BD、CE 分别是△ABC、△BCD , 的角平分线,则图中的等腰三角形有( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个

【点拨】本组题主要考查等腰三角形的有关性质和判定.
【解答】 (1)根据“三角形任意两边之和大于第三边”知腰应为 7, 该三角形三边为 7、 7、 3.故选 B. (2)当 40° 为底角时,顶角为 100° ;40° 也可以为顶角.故选 C. (3)∵DE 垂直平分 AB,∴EA=EB,∴∠EBD=∠A=20° .∵∠A=20° ,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=80° ,∴∠CBE=80° -20° =60° ,故选 C. (4)等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选 A.

(2009· 苏州)如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AC、AB 上的点,BD 与 CE 相交于 点 O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.

上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形?(用序号写出各种情形) 【点拨】本题考查的是判定等腰三角形的方法,可依据定义即“两条边相等”和判定定 理“等角对等边”来确定,本题中出现的情况有六种①②、①③、①④、②③、②④、③④. 只要能使△BOE≌△COD 的条件,就能判定△ABC 是等腰三角形.

【解答】满足①③、①④、②③、②④,可判定△ABC 是等腰三角形.

1.等腰△ABC 的两边长分别为 2 和 5,则第三边的长为 5.
2.某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm,则它的周长为( A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.12 cm 或 15 cm
(

C )

3.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为 C ) A.20° B.120° C.20° 120° 或 D.36°
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30° ,则顶角的度数为( D ) A.60° B.120° C.60° 150° 或 D.60° 120° 或

5.下面给出的几种三角形:(1)有两个角为 60° 的三角形;(2)三个外角都相等的三角形; (3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形;(4)有一个角为 60° 的等腰三角形.其中一定 是等边三角形的有( B ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

6. 如图, △ABC 内有一点 D, DA=DB=DC, 且 若∠DAB=20° ∠DAC=30° 则∠BDC , , 的大小是( A ) A.100° B.80° C.70° D.50°

7.如图,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,AD⊥BC 于点 D,以 AD 为一边向右作正三 角形 ADE.

(1)求△ABC 的面积 S; (2)判断 AC、DE 的位置关系,并给出证明.
答案:(1)S=4 3 (2)AC⊥DE

考点训练 20

等腰三角形 等腰三角形 ?训练时间:60分钟 分值:100分? ?训练时间:60分钟 分值:100分?

一、选择题(每小题 4 分,共 44 分)
1.(2011 中考预测题)等腰三角形的一条边长等于 6,另一条边长等于 3,则此等腰三角 形的周长是( ) A.9 B.12 C.15 D.12 或 15

【解析】当 6 为腰,3 为底时,6+3>6,此时周长为 15;当 6 为底,3 为腰时,3+3=6, 不能组成三角形.

【答案】C

2.(2011 中考预测题)在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A 等于( ) A.30° B.40° C.45° D.36°

【解析】AD=BD,∴∠ABD=∠A.∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=∠A+∠ABD= 2∠A.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2∠A,∵∠A+∠ABC+∠C=180° ,∴∠A+2∠A+ 2∠A=180° ,∴∠A=36° .

【答案】D

3. (2009 中考变式题)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半, 则这个等腰三角形的底 角为( ) A.75° 15° 或 B.36° 60° 或 C.75° D.30°

【解析】注意分情况讨论:①若等腰三角形为锐角三角形,底角为 75° ;②若等腰三角 形为钝角三角形,底角为 15° .

【答案

】A
4.(2009 中考变式题)在等腰△ABC 中,AB=AC,中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分,则这个等腰三角形的底边长为( ) A.7 B.11 C.7 或 11 D.7 或 10

?AB+AD=15, ?腰AB=10, 【解析】分两种情况①? 求得 ? BC+CD=12. ? ?底BC=7. ?腰AB=8, 得? ?底BC=11.
【答案】C

?AB+AD=12, ②? 求 BC+CD=15, ?

5.(2011 中考预测题)等腰△ABC 的周长为 21,底边 BC=5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,则△BEC 的周长为( ) A.13 B.14 C.15 D.16

【解析】由等腰△ABC 的周长为 21,底边 BC=5,可求出 AB=AC=8.∵DE 垂直平分 AB,∴AE=BE.∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=5+8=13.

【答案】A

6.(2009 中考变式题)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,斜边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D、交 BC 于点 E,AE 平分∠BAC,那么下列关系式中不成立的是( ) ... A.∠B=∠CAE C.∠B=∠BAE B.∠DEA=∠CEA D.AC=2EC

【解析】由 DE 垂直平分 AB 得 EA=EB,∴∠B=∠BAE,又∵AE 平分∠BAC,∴AE 平分∠BAC,∴∠EAB=∠CAE,∴∠B=∠BAE=∠CAE,因此 A、C 都成立.∵AE 平分 ∠BAC,∴∠EAB=∠CAE,又 ED⊥AB,EC⊥AC,∴∠DEA=∠CEA(等角的余角相等), B 成立.

【答案】D

7.(2009 中考变式题)等腰三角形的底和腰是方程 x2-6x+8=0 的两根,则这个三角形 的周长为( ) A.8 B.10 C.8 或 10 D.不能确定

【解析】解 x2-6x+8=0 得 x1=2,x2=4,当 2 为腰时不成立,当 2 为底边长时,周长 为 2+4+4=10.

【答案】B

8.(2009 中考变式题)如图,在△ABC 中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=α, 则下列结论正确的是( ) A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°

【解析】 ∵AB=AC, ∴∠B=∠C.又∵BF=CD, BD=CE, ∴△FBD≌△DCE, α+∠EDC =∠BFD+∠B.∴α=∠B.∵2∠B+∠A=180° ,∴2α+∠A=180° .

【答案】A

9.(2010· 燕山)已知等边△ABC 的边长为 a,则它的面积是( 1 3 2 3 A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 2 2 4 4
【解析】易求出△ABC 的高为

)

3 1 3 3 a,∴S△ABC= ×a× a= a2. 2 2 2 4

【答案】D

10.(2010· 临沂)如图,△ABC 和△DCE 都是边长为 4 的等边三角形,点 B、C、E 在同 一条直线上,连结 BD,则 BD 的长为( )

A. 3 B.2 3 C.3 3 D.4 3
【解析】 ∵△ABC 和△DCE 都是边长为 4 的等边三角形, ∴∠ACB=∠DCE=∠E=60° , ∴∠ACD=60° ,在△BCD 中,BC=DC=4,∠BCD=∠ACB+∠ACD=120° ,∴∠DBC= 30° ,∴∠BDE=90° ,在 Rt△BDE 中,BE=2BC=8,DE=4,由勾股定理得,BD=4 3, 故选 D.

【答案】D

11.(2009 中考变式题)如图,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,AE、BD 分

别与 CD、 CE 交于点 M、N,在下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN 中,正确的个 数是( )

A.3 个

B.2 个

C.1 个 D.0 个

【解析】正确的是①②. 【答案】B

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
12.(2010· 德化)若等腰三角形的一个内角为 50° ,则这个等腰三角形顶角的度数为 ________.

【解析】当 50° 为底角时,顶角为 180° -50° ×2=80° ;50° 也可以为顶角. 【答案】50° 80° 或

13.(2010· 广州)如图所示,BD 是△ABC 的角平分线,∠ABD=36° ,∠C=72° ,则图中 的等腰三角形有________个.

【解析】 由于 BD 是△ABC 的角平分线, 所以∠ABC=2∠ABD=72° 所以∠ABC=∠C , =72° ,所以△ABC 是等腰三角形,∠A=180° -2∠ABC=180° -2×72° =36° ,故∠A= ∠ABD, 所以△ABD 是等腰三角形, ∠DBC=∠ABD=36° ∠C=72° 可求得∠BDC=72° , , , 故∠BDC=∠C,所以△BDC 是等腰三角形.

【答案】3

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14.(2010· 益阳)如图,在△ABC 中,AB=AC=8,AD 是底边上的高,E 为 AC 的中点, 则 DE=________.

【解析】 ∵AB=AC, AD⊥BC, ∴D 为 BC 的中点. 又∵E 为 AC 的中点, ∴DE 为△ABC 1 1 中位线,∴DE= AB== ×8=4. 2 2

【答案】4

15.(2010· 天津)如图,等边三角形 ABC 中,D、E 分别为 AB、BC 边上的点,AD=BE, AG AE 与 CD 交于点 F,AG⊥CD 于点 G,则 的值为________. AF

【解析】∵△ABC 是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ACE=∠CBD=60° .∵AD=BE, ∴BD=CE.∴△BDC≌△CEA(SAS).∴∠BCD=∠CAE.∵∠ACF+∠BCD=60° ,∴∠ACF +∠CAE=60° .而∠AFG=∠ACF+∠CAE,∴∠AFG=60° .∵AG⊥CD,∴在 Rt△AGF 中, AG AG 3 sin∠AFG= ,即 sin60° = = . AF AF 2
【答案】 3 2

三、解答题(共 40 分)
16.(8 分)(2009 中考变式题)在△ABC 中,∠A=50° ,AB=AC,AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D,求∠DBC 的度数.

解:∵∠A=50° ,AB=AC,∴∠ABC=∠C=65° . ∵DE 垂直平分 AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=50° . ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65° -50° =15° .

17.(10 分)(2009 中考变式题)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120° ,AB 的垂 1 直平分线交 AB 于 E,交 BC 于 D,则 BD= DC,请说明理由. 2

解:理由:如图,连结 AD, ∵ED 是 AB 的垂直平分线, ∴BD=AD.∴∠B=∠1. ∵AB=AC,∠BAC=120° . ∴∠B=∠C=30° ,∴∠1=30° .∴∠DAC=90° . 1 ∴AD= DC(在直角三角形中,30° 角所对的直角边等于斜边的一半). 2 1 ∴BD= DC(等量代换). 2

18.(10 分)(2009 中考变式题)在等腰 Rt△ABC 中,P 是斜边 BC 的中点,以 P 为顶点的 直角的两边分别与边 AB、 交于点 E、 连结 EF, AC F, 当∠EPF 绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、 B 重合)

△PEF 也始终是等腰直角三角形,请你说明理由.

证明: 连结 AP,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=45° .∵P 为斜边 BC 的中点, ∴∠BAP=45° , AP⊥BC 且 AP=PC.∵∠EPF=∠EPA+∠APF=90° ,∠APF+∠FPC=90° ,∴∠EPA= ∠FPC.

?∠EAP=∠C, ? 在△APE 和△CPF 中, AP=CP, ? ?∠APE=∠CPF. ?
是等腰直角三角形.

∴△APE≌△CPF(ASA), ∴EP=FP, ∴△PEF

19.(12 分)(2011 中考预测题)一次数学课上,王老师在黑板上画出下图,并写下了四个 等式:①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE. 要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED 是等腰三角形.请你试着完 成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可) 已知: 求证:△AED 是等腰三角形.
证明:

解:答案不唯一.如:已知:①AB=DC,②∠B=∠C.

?AB=DC, ? 证明:在△ABE 和△DCE 中, ?∠B=∠C, ?∠AEB=∠DEC, ?
∴△ABE≌△DCE(AAS),∴AE=DE,即△AED 是等腰三角形.

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