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人教版九年级上册_24.1.2垂直于弦的直径ppt

发布时间:2013-09-17 17:19:22  

垂直于弦的直径

问题 & 探究1

用纸剪一个圆(课前布置学生准备好)

沿着圆的任意一条直径对折,重复
做几次,你发现了什么?

由此你能得到什么结论?
圆是轴对称图形 ,任何一条直径 所在直线都是它的对称轴

问题 & 探究2

在纸上的圆中任意画一条弦AB 作直径CD垂直弦AB于E(垂直于 弦的直径) 垂足为E.想一想: (1)此图是轴对称图形吗?如果 是对称轴是什么? (2)你能发现哪些相等的线段和 弧?为什么? 你能得到什么结论?

动动脑筋
已知:在⊙O中,CD是直径, AB是弦,CD⊥AB,垂足为E。求证: ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE,AC=BC,AD=BD。 证明:连结OA、OB,则OA=OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以,当把圆 沿着直径CD折叠时,CD两侧的两 个半圆重合,A点和B点重合,AE ⌒ ⌒ 和BE重合,AC、AD分别和BC、 ⌒ ⌒ BD重合。因此 AE=BE,AC=BC,AD=BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒

C

.

O E B

D

叠 合 法

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并 且平分弦所对的两条弧。
题设
(1)过圆心

结论

(2)垂直于弦





(3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧

(5)平分弦所对的劣弧

想一想:下列图形是否可以使用垂径定 C 理?为什么?C
O A D B B A D D O B C C O A E D B D O B A A O B

A

O

问题 & 探究3

问题:把垂径定理中的题设垂直于弦的 直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论?

平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。

学以 & 致用

做一做
利用垂径定理

(1)你能平分一条弧吗?

算一算
赵州桥的主桥拱是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦 长)是37.4m,拱高(弧的 中点到弦的距离)为7.2m, 你能求出赵州桥主桥拱 的半径吗?

解:如图,用AB表示主 ⌒ 桥拱,设AB所在的圆的圆心 为O,半径为R,经过圆心O 做弦AB的垂线OC,D为垂足, ⌒ OC与AB交于点C,D是 ⌒ AB的中点,C是AB的中点,CD是拱高 AB=37.4,CD=7.2 AD=1/2AB=1/2×3.74=18.7 OD=OC-CD=R-7.2 在Rt△OAD中,由勾股定理,得 OA2=AD2+OD2 即R2=18.72+(R-7.2)2 解得R≈27.9(m) 因此,赵州桥的主桥拱半径为27.9m



C

变式训练 改变赵州桥问题中的条件

(1)已知跨度、半径求拱高。
(2)已知半径、拱高求跨度 (3)已知弦心距、半径求跨度

判断
(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且 经过圆心……………………………………..( √ ) (3)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )

巩固

提高
1、 已知:如图,在以O 为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦AB交小圆于C, D两点。 求证:AC=BD。 证明:过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。 AE-CE=BE-DE。 所以,AC=BD

O
A E C D B

.

M 2、 已知:⊙O中弦 AB∥CD。 C A D B

.O

求证:AC=BD
N 证明:作直径MN⊥AB。∵AB∥CD, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM=BM,CM=DM (垂直平分弦的直径平分弦所对的弦) AM-CM=BM-DM ∴AC=BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒





当堂检测 如图,已知在⊙O中,弦AB 的长为8cm,圆心O到AB的距 离为3cm,求⊙O的半径
A E O B

M A E B A O E C A D B

. O
C

.

.O
D B N

小结:

解决有关弦的问题,经常是过圆心作 弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半 径等辅助线,为应用垂径定理创造条件。

小 结

1、经过本节课的学习,你 经过本节课的学习, 有哪些收获? 你有哪些收获? 2、本节课主要运用什么方 法来解决一些简单的实际 请和我们一起分享. 问题?

感悟收获 1.垂径定理及其应用 2.将垂径定理和勾股定理有机 结合,化圆中问题为三角形问 题, 3.圆中经常作的辅助线——半 径、作弦的垂线

谢谢大家 谢谢大家


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