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2012届中考数学解直角三角形应用

发布时间:2013-09-17 17:19:23  

第 35 讲 解直角三角形的应用

考点一 解直角三角形的应用中的相关概念 1.仰角、俯角:如图①,在测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角 叫仰角,在水平线下方的角叫俯角.

2.坡度(坡比)、坡角:如图②,坡面的高度 h 和水平距离 l 的比叫坡度(或坡比),即 i= h tanα= ,坡面与水平面的夹角 α 叫坡角. l

3. 方向角: 指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90° 的水平角, 叫做方向角. 如 图③,表示北偏东 60° 方向的一个角. 注意:东北方向指北偏东 45° 方向,东南方向指南偏东 45° 方向,西北方向指北偏西 45° 方向,西南方向指南偏西 45° 方向.我们一般画图的方位为上北下南,左西右东.

考点二 直角三角形的边角关系的应用 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题,因此,直角三角形的边角关系在 解决实际问题中有较大的作用,在应用时要注意以下几个环节: (1)审题,认真分析题意,将已知量和未知量弄清楚,找清已知条件中各量之间的关系, 根据题目中的已知条件,画出它的平面图或截面示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的含义,如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度、方位角等. (3)是直角三角形的,根据边角关系进行计算;若不是直角三角形,应大胆尝试添加辅助 线,把它们分割成一些直角三角形和矩形,把实际问题转化为直角三角形进行解决. (4)确定合适的边角关系,细心推理计算. (5)在解题过程中,既要注意解有关的直角三角形,也应注意到有关线段的增减情况.

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(1)(2010· 温州)如图,已知一

商场自动扶梯的长 l 为 10 米,该自动扶梯到达的高度 h 为 6 米,自动扶梯与地面所成的 角为 θ,则 tanθ 的值等于( ) 3 4 3 4 A. B. C. D. 4 3 5 5

(2)(2010· 湖州)河堤横断面如图所示,堤高 BC=5 米,迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3(坡比 是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比),则 AC 的长是( ) A.5 3米 B.10 米 C.15 米 D.10 3米

(3)(2010· 深圳)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向,距离灯塔 40 2海里的 A 处,它 沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30° 方向上的 B 处,则海轮行驶的路 程 AB 为________海里(结果保留根号).

【点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念.准确掌握直角三角形的两锐 角间的关系、三边之间的关系、边角关系是解题的关键.

【解答】 (1)由勾股定理得, 的邻边= l2-h2 = 102-62 =8.由三角函数的定义得 tanθ ∠θ ∠θ的对边 6 3 = = = ,故选 A. ∠θ的邻边 8 4 (2)∵坡比是坡面铅直高度 BC 和水平宽度 AC 的比值, ∴BC∶

AC=1∶ 3.而 BC=5 米, ∴AC=BC· 3=5 3米,故选 A. 2 (3)在 Rt△APC 中,AP=40 2,∠A=45° ,则 AC=PC=PA· sinA=40 2× =40.在 2 PC 40 Rt△PBC 中,PC=40,∠B=30° ,则 BC= = =40 3.所以海轮行驶的路程 AB=AC tanB 3 3 +BC=40+40 3(海里).

(2010· 长沙)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警队在一些主 要路口设立了交通路况显示牌(如图).已知立杆 AB 高度是 3 m,从侧面 D 点测得显示牌顶 端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60° 45° 和 .求路况显示牌 BC 的高度.
【点拨】把实际问题转化为数学问题,注意两个转化:一是把实际问题的图形转化为数 学图形,画出正确的平面或截面示意图;二是将已知条件转化为示意图中的边角关系.如果 所转化的示意图不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.

【解答】在 Rt△ADB 中,∠BDA=45° ,AB=3,∴AD=3. CA 在 Rt△ADC 中,∠CDA=60° ,∴tan60° = . AD ∴CA=3 3,∴BC=CA-BA=3 3-3(米). 答:路况显示牌 BC 的高度是(3 3-3)米.

1.某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于 60° , 否则就有危险,那么梯子的长至少为( C ) 8 3 4 3 A.8 米 B.8 3米 C. 米 D. 米 3 3

2.如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为 4 m.如果在坡度 为 0.75 的山坡上种树,也要求株距为 4 m,那么相邻两树间的坡面距离为( A )

A.5 m B.6 m

C.7 m

D.8 m

3. 是电线杆 AB 的一根拉线, AC 测得 BC=6 米, ∠ACB=52° 则拉线 AC 的长为( D ) , 6 6 A. 米 B. 米 sin 52° tan 52° 6 C.6cos 52° 米 D. 米 cos 52° 4.如图,有一段斜坡 BC 长为 10 米,坡角∠CBD=12° ,为方便残疾人的轮椅车通行, 现准备把坡角降为 5° . (1)求坡高 CD; (2)求斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离(精确到 0.1 米).

参考数据 sin 12° ≈0.21 cos 12° ≈0.98 tan 5° ≈0.09

答案:(1)2.1 米 (2)13.5 米

5.如图,要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路 MN,已知 C 点周围 200 米范围内为原始森林保护区,在 MN 上的点 A 处测得 C 在 A 的北偏东 45° 方向上,从 A 向 东走 600 米到达 B 处,测得 C 在点 B 的北偏西 60° 方向上.MN 是否穿过原始森林保护区? 为什么?(参考数据: 3≈1.732)

答案:MN 不会穿过原始森林保护区(提示:求出点 C 到 MN 的距离,与 200 作比较)

考点训练 35

解直角三角形的应用 解直角三角形的应用 ?训练时间:60分钟 分值:100分? ?训练时间:60分钟 分值:100分?

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
1.(2009 中考变式题)如图,小东用长为 3.2 m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度, 移动竹竿,使竹竿

、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距 8 m、 与旗杆相距 22 m,则旗杆的高为( ) A.12 m B.10 m C.8 m D.7 m

【解析】 设旗杆高为 x m, 利用相似三角形的对应边成比例可得

8 3.2 = , ∴x=12(m). 8+22 x

【答案】A

2.(2009 中考变式题)如图,在离地面高度 5 m 处引拉线固定电线杆,拉线和地面成 60° 角,则拉线 AC 的长为( ) 5 A.5tan60°m B. m sin60° 5 5 C. m D. m tan60° cos60°

【解析】因为 sin60° =

5 5 ,∴AC= (m). AC sin60°

【答案】B

3.(2009 中考变式题)如图,小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离,在 A 点测得 ∠BAD=30° ,在 C 点测得∠BCD=60° ,又测得 AC=50 m,则小岛 B 到公路 l 的距离为 ________m.( ) A.25 B.25 3 100 3 C. D.25+25 3 3

x 【解析】过点 B 作 BE⊥AD 于 E,设 BE=x,在 Rt△ABE 中,AE= ,在 Rt△CBE tan30° x x x 中,CE= ,∴AC=AE-CE= - =50,解得 x=25 3,即小岛 B 到公路 l tan60° tan30° tan60° 的距离为 25 3 m.

【答案】B

4.(2011 中考预测题)如图,从山顶 A 望地面 C、D 两点,测得它们的俯角分别为 45° 和 30° ,已知 CD=100 m,点 C 在 BD 上,则山高 AB 为( ) A.100 m B.50 3 m C.50 2 m D.50( 3+1)m

AB 【解析】 Rt△ABC 中, 在 易求 BC=AB; Rt△ABD 中, 在 BD= .∵CD=100, ∴BD tan30° AB -BC=100,即 -AB=100,解得 AB=50( 3+1) m. tan30°

【答案】D

5.(2009 中考变式题)某人沿着坡度 i=1∶1 的山坡走了 500 米,这时他的垂直高度上升 了( ) A.500 米 B.500 2米 C.250 米 D.250 2米
【解析】500÷ 2=250 2(米).

【答案】D

6.(2009 中考变式题)如图,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为 2∶3,顶 宽为 3 米,路基高为 4 米,则路基的下底宽是( ) A.15 米 B.12 米 C.9 米 D.7 米

AE 2 4 2 【解析】过点 A、B 作 AE⊥DC,BF⊥DC,则 AE=BF=4 米,∵ = ,∴ = , DE 3 DE 3 ∴DE=6.同理 CF=6,EF=AB=3, ∴DC=6×2+3=15(米).

【答案】A

7.(2011 中考预测题)如图,在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30° ,向高楼前进 60 米到 C 点,又测得仰角为 60° ,则该高楼的高度大约为( ) A.82 米 B.163 米 C.52 米 D.70 米

【解析】由题意可求得 AC=DC=60 米,在 Rt△ABC 中,AB=AC· sin60° =60× 30 3≈52 米.

3 = 2

【答案】C

8.(2009 中考变式题)如图,在高为 h 的建筑物顶部看一个旗杆顶(旗杆高出建筑物顶), 仰角为 30° ,看旗杆与地面的接触点,俯角为 60° ,则旗杆的高为( )

4 A. h 3

3 B. h 2

5 C. h 4

2 D. h 3

【解析】 Rt△AED 中, 在 AE= 1 1 4 = h,∴CD=h+ h= h. 3 3 3

h 3 3 3 = h, Rt△ACE 中, 在 CE=AE· tan30° = h× tan60° 3 3 3

【答案】A

9.(2

009 中考变式题)如图,在高为 2 m,倾斜角为 30° 的楼梯表面铺地毯,地毯的长度 至少需要( ) A.[2+( 3+1)] m B.4 m C.2( 3+1) m D.2( 3+3) m

【解析】地毯的长度至少需要 2+

2 =2+2 3=2( 3+1) m. tan30°

【答案】C

10.(2009 中考变式题)如图,小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,量得 CD=8 米,BC=20 米,CD 与地面成 30° 角,且此时测得 1 米杆的影长为 2 米,则 电线杆的高度为( )

A.9 米 B.28 米 C.(7+ 3)米 D.(14+2 3)米

【解析】作 DE⊥AB 于 E,DF⊥BC 的延长线于 F,在 Rt△CDF 中,∠DCF=30° ,CD =8 米,∴DF=CD· sin30° =4(米),CF=CD· cos30° =4 3(米),∴DE=BF=(20+4 3)米,BE AE 1 1 =DF=4(米).根据平行投影可知: = .∴AE= DE=(10+2 3)米,∴AB=AD+BE=(14 DE 2 2 +2 3)米.

【答案】D

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
11.(2010· 宁波)如图,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离地面高度 AC 为 3 米,引 桥的坡角∠ABC 为 15° ,则引桥的水平距离 BC 的长是________米.(精确到 0.1 米)

【解析】在 Rt△ABC 中,BC=

AC 3 = ≈11.2(米). tan15° tan15°

【答案】11.2

12. (2011 中考预测题)某梯子与地面所成的角 α 满足 45° ≤α≤60° 人就可以安全地爬 时, 上斜靠在墙面上的梯子的顶端.现有一个长 6 米的梯子,则使用这个梯子最高可以安全地爬 上________米高的墙.

【解析】如图,在 Rt△ABC 中,

sinA=

BC 3 ,∴BC=AB· sinA=6× =3 3米. AB 2

【答案】3 3

13.(2010· 义乌)课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成 30° 角 时,测得旗杆 AB 在地面上的投影 BC 长为 24 米,则旗杆 AB 的高度约是________米.(结果 保留 3 个有效数字, 3≈1.732)

【解析】由题意可得 AB=BC· tan30° =24×

3 ≈13.9. 3

【答案】13.9

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14.(2009 中考变式题)如图,某景区要修建一段登山阶梯 AB,每个台阶的高度不能超 过 20 厘米,已知 AB=15 米,∠BAC=30° ,这段阶梯最少要修建________个台阶.

7.5×100 1 【解析】在 Rt△ABC 中,BC=AB· sin30° =15× =7.5 米, ≈38. 2 20

【答案】38

15.(2011 中考预测题)如图是一台起重机的示意图,它的机身 AM 高为 20.5 米,吊杠 AB 的长是 36.7 米,吊杠与水平方向的倾角可以从 30° 转到 80° ,则这台起重机工作的最大高 度为________米,最远水平距离是________米.(精确到 0.1 米)

【解析】最大高度为:20.5+36.7×sin80° ≈56.6 米,最远水平距离为 36.7×cos30° ≈31.8 米.

【答案】56.6 31.8

三、解答题(共 40 分)
16.(12 分)(2010· 陕西)在一次测量活动中,同学们要测量某公园湖的码头 A 与它正东方 向的亭子 B 之间的距

离,如图,他们选择了与码头 A、亭子 B 在同一水平面上的点 P,在点 P 处测得码头 A 位于点 P 北偏西 30° 方向,亭子 B 位于点 P 北偏东 43° 方向;又测得点 P 与 码头 A 之间的距离为 200 米, 请你运用以上测得的数据求出码头 A 与亭子 B 之间的距离. (结 果精确到 1 米.参考数据: 3≈1.732,tan43° ≈0.933)

解:过点 P 作 PH⊥AB,垂足为 H,则∠APH=30° ,∠BPH=43° Rt△APH 中,AH .在 1 = AP· sin∠APH = 200× = 100 , PH = AP· cos30°= 100 3 . 在 Rt△PBH 中 , BH = 2 PH· tan43° ≈100 3×0.933≈161.60.∴AB=AH+BH=100+161.60≈262(米).

答:码头 A 与亭子 B 之间的距离约为 262 米.

17.(14 分)(2009 中考变式题)如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程 的安全性, 工人师傅欲减小传送带与地面的夹角, 使其由 45° 改为 30° .已知原传送带 AB 长为 4 米. (1)求新传送带 AC 的长度; (2)如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米宽的通道,试判断距离 B 点 4 米的货物 MNQP 是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1)(2)题的计算结果精确到 0.1 米,参考数据: 2 ≈1.41, 3≈1.73, 5≈2.24, 6≈2.45).

2 =2 2.在 2 Rt△ACD 中,∵∠ACD=30° ,∴AC=2AD=4 2≈5.6.即新传送带 AC 的长度约为 5.6 米. 解:(1)如图,作 AD⊥BC 于点 D,在 Rt△ABD 中,AD=AB· sin45° =4×

(2)结论:货物 MNQP 应挪走. 理由:在 Rt△ABD 中,BD=AB· cos45° =4× =4 2× 2 =2 2.在 Rt△ACD 中,CD=AC· cos30° 2

3 =2 6.∴CB=CD-BD=2 6-2 2=2( 6- 2)≈2.1. 2 ∵PC=PB-CB≈4-2.1=1.9<2,∴货物 MNQP 应挪走.

18.(14 分)(2010· 芜湖)图①为已建设封顶的 16 层楼房和其塔吊图,图②为其示意图,吊 臂 AB 与地面 EH 平行,测得 A 点到楼顶 D 点的距离为 5 m,每层楼高 3.5 m, AE、BF、CH 都垂直于地面,EF=16 m,求塔吊的高 CH 的长.

解:∵AB∥EH,AE⊥EH,GH⊥EH,BF⊥EH,∴四边形 AEHG、四边形 AEFB 均为 矩形.∴AE=GH,AB=EF=16,∵DE=3.5×16=56,AD=5,∴AE=AD+DE=56+5 =61.∴GH=AE =61.∵∠BAC=15° ,∠CBG= 30° ,∴∠ACB= 15,∴BC=AB=16.在 1 Rt△BCG 中,CG=BC· sin30° =16× =8.∴CH=CG+GH=8+61=69(m).∴塔吊的高 CH 2 的长为 69 m.

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