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全等三角形的判定(SSS)课件

发布时间:2013-09-17 17:19:24  

1. 什么叫全等三角形? 能够重合的两个三角形叫 全等三角形。 2.全等三角形有什么性质? 全等三角形的对应边相等,对应角相等
3.已知 ?ABC ≌ ?A' B' C' ,试找出其中相等的边与角
A

A'

B

C

B'

C'

因为?ABC ≌ ?A' B' C' ,所以
( )AB=A' B' (2)BC=B'C' (3)CA=C' A' 1
(4)?A=?A' (5)?B=?B' (6)?C=?C'

在?ABC和?A' B' C'中,有
( )AB=A' B' (2)BC=B'C' (3)CA=C' A' 1 (4)?A=?A (5)?B=?B (6)?C=?C
六个条件,可得到什么结论?
A

A'

B

C

B

'

C'

答:?ABC ≌ ?A' B' C'
即:三条边对应相等,三个角对应相等的两个 三角形全等。

A

A?

B

C

B?

C?

?ABC 与 ?A?B?C ? 满足上述六个条件中的一部 分是否能保证 ?ABC 与 ?A?B?C ? 全等呢?

一个条件可以吗?
两个条件可以吗?

探究活动

一个条件可以吗?
不一定全等 不一定全等

1. 有一条边相等的两个三角形 2. 有一个角相等的两个三角形

结论: 有一个条件相等不能保证两个三角形全等.

探究活动

三个条件呢?

1. 有三个角对应相等的两个三角形

300 300

60o
60o

结论: 三个内角对应相等的三角形 不一定全等。

探究活动 三边相等的两个三角形会全等吗?
先任意画出一个 ABC,再画一个?A ' B'C ', ? 使A ' B'=AB,B'C '=BC,C ' A '=CA. 把画好的
课本P6

?A ' B'C '剪下,放到?ABC上,它们全等吗?

画法:1.画线段B'C'=BC;
2. 分别以B'、C'为圆心, 线段AB、AC为半径画弧, 两弧交于点A ';
3.连接线段A'B'、A'C' .
' 则ΔA'BC'为所求作的三角形.

你能得出什 么结论?

三边对应相等的两个三角形全等,简 写为“边边边”或“SSS”。 用上面的结论可以判定两个三角形全等. 判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明 三角形全等.

结 论
课本P7

三边对应相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”)
A

A'

B

C

' B

C'

如何用符号语言来表达呢?

在?ABC和?A' B' C'中 ? AB ? A ' B' ? ' ' ? BC ? B C ? CA ? C ' A ' ? ? ?ABC ≌ ?A' B' C' (SSS)

B

判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等。 结论:从这题的证明中可以看出,证明是由题 例1 已知:如图,AB=AD,BC=CD, 设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推 求证:△ABC≌ 出结论正确的过程。 △ADC 分析:要证明△ ABC≌ △ ADC,首先看这两个三角 形的三条边是否对应相等。

证明:在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) BC=CD (已知 ) AC= AC ( 公共边 )
B

A D

∴ △ABC ≌ △ADC(SSS)

C

证明的书写步骤:
①准备条件: 证全等时要用的间接条件要先证好; ②三角形全等书写三步骤: 写出在哪两个三角形中 摆出三

个条件用大括号括起来 写出全等结论

例2 如图,△ABC是一个钢架,AB=AC, AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证: △ABD≌△ACD. (1) (2)∠BAD = ∠CAD.
证明:Q D是BC的中点, (2)由(1)得△ABD≌△ACD , A A ? BD=CD. ∴ ∠BAD= ∠CAD. 在?ABD和 ?ACD中,
? AB=AC, B ? ? BD=CD, ? ? AD=AD,

D

C

? . B ?ABD≌ ?ACD(SSS) D

C

练习3、如图,在四边形ABCD中, AB=CD, AD=CB, 求证:∠ A= ∠ C.

你能说明AB∥CD,AD∥BC吗? ?证明:在△ABD和△CDB中 D AB=CD(已知) AD=CB(已知)
A B C

BD=DB (公共边) ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴ ∠ A=∠C (全等三角形的对应角相等)

?已知: 如图, 四边形ABCD中, AD=CB,AB=CD ?求证: ∠A= ∠C。
D
4 2

C

A

1 3

B

分析:要证两角或两线段相等,常先证这两角或两线段 所在的两三角形全等,从而需构造全等三角形。

构造公共边是常添的辅助线

已知∠AOB(如图),用直尺和圆规 作∠A’O’B’, 使∠A’O’B’= ∠AOB 。
A A’

O B

O’

B’

例3、已知∠BAC(如图),用直尺和圆规 作∠BAC的平分线AD,并说出该作法正 确的理由。 C

A

B

工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下:如图, AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动 角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合. 过角尺顶点 C的射线OC便是AOB的平分线.为什么?

解:在?CMO和?CNO中,

M

A

?OM=ON, ? O ?CM=CN, ?CO=CO, ? ? ?CMO ≌?CNO (SSS) . ? ?COM =?CON .
? OC是?AOB的平分线 .

C
N

B

我们曾经做过这样的实验:将 三根木条钉成一个三角形木架,这 个三角形木架的形状和大小就不变 了,你现在能解释其中的道理吗?
思考: 你能用三角形的稳定性 来说明SSS公理吗? 三角形的三边长度固定,这个三 角形的形状大小就完全确定,这 个性质叫三角形的稳定性。

三角形的稳定性举例

练习2
(1)如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等? 试说明理由。 A D
解: △ABC≌△DCB 理由如下: AB = CD AC = BD B △ABD≌ △DCB ( SSS ) A E C

BC = BC
(2)如图,D、F是线段BC上的两点,
AB=CE,AF=DE,要使△ABF≌△ECD , 还需要条件 BF=DC 或 BD=FC. B D F C

C

已知:如图1 ,AC=FE,AD=FB,BC=DE 求证:△ABC≌△FDE , 求证:∠C=∠E 求证:AB∥EF;DE∥BC 证明:∵ AD=FB ∴AB=FD(等式性质) 在△ABC和△FDE 中 AC=FE(已知) BC=DE(已知) AB=FD(已证) ∴△ABC≌△FDE(SSS)
A
D =


E ?

?

c
= B F


图1

(2)∵ △ABC≌△FDE(已证) ∴ ∠C=∠E (全等三角形的对应角相等)

? ?

已知:如图,AB=AC,DB=DC, 请说明∠B =∠C成立的理由
解:连接AD 在△ABD和△ACD中, AB=AC (已知) DB=DC (已知) AD=AD (公共边) ∴△ABD

≌△ACD (SSS)
B

A

D C

∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等)

课堂小结
1.边边边公理:有三边对应相等的两个三角形全等 简写成“边边边”(SSS) 2.边边边公理的发现过程所用到的数学方法(包括画 图、猜想、分析、归纳等.)

3.边边边公理的应用中所用到的数学方法:
证明线段(或角相等) 转化 所在的两个三角形全等. 用结论说明两个三角形全等需注意 1. 说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书 写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 证明线段(或角)


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