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九年级数学二次函数测试题及答案

发布时间:2014-05-11 13:43:50  

二次函数

一、选择题:

1. 抛物线y?(x?2)2?3的对称轴是( )

C. 直线x

??2 c

2.

二次函数y?ax2?bx?c的图象如右图,则点M(b,)

a

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数y?ax2?bx?c,且a?0,a?b?c?0,

A. b2?4ac?0

B. b2?4ac?0

C. b2?4ac?0

A. 直线x??3

B. 直线x?3

x?2在( )

则一定有( )

D. b2?4ac≤0

4. 把抛物线y?x2?bx?c向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y?x2?3x?5,则有( )

A. b?3,c?7 C. b?3,c?3

B. b??9,c??15 D. b??9,c?21

5. 已知反比例函数y?

的图象大致为( ) k

的图象如右图所示,则二次函数x

y?2kx2?x?k2

x

6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数y?ax2?(a?c)x?c与一次函数y?ax?c的大致图象,有且只有

一个是正确的,正确的是( ) D

7. 抛物线y?x2?2x?3的对称轴是直线( )

A. x??2

B. x?2

C. x??1

D. x?1

8. 二次函数y?(x?1)2?2的最小值是( )

A. ?2

B. 2

C. ?1

D. 1

1

9. 二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示,若

M?4a?2b?cN?a?b?c,P?4a?b,则

( )

A. M?0,NB. M?0,NC. M?0,ND. M?0,N二、填空题:

?0,P?0 ?0,P?0 ?0,P?0 ?0,P?0

10. 将二次函数y?x2?2x?3配方成

y?(x?h)2?k的形式,则y=______________________.

11. 已知抛物线y?ax2?bx?c与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2?bx?c?0的根的情况是

______________________.

12. 已知抛物线y?ax2?x?c与x轴交点的横坐标为?1,则a?c=_________. 13. 请你写出函数y?(x?1)2与y?x2?1具有的一个共同性质:_______________.

14. 有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点:

甲:对称轴是直线x?4;

乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:

15. 已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:

_____________________. 16. 如图,抛物线的对称轴是x?1,与x轴交于A、B两点,若B点坐标是(,0),则A点的坐标是________________.

三、解答题:

1. 已知函数y?x2?bx?1的图象经过点(3,2).

(1)求这个函数的解析式;

(2)当x?0时,求使y≥2的x的取值范围.

2

2. 如右图,抛物线y??x2?5x?n经过点A(1,0),与y轴交于点B.

(1)求抛物线的解析式;

(2)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标.

3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次函数图象(部

分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).

(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式;

(2)求截止到几月累积利润可达到30万元;

(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?

4. 卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面1:11000的比例图上去,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,

线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(1). 在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).

(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;

(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:2≈1.4,计算结果精确到1米).

A C O E B

(1) (2)

5. 已知二次函数y?ax2?ax?m的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点,x1?x2,交y轴的负半轴与C点,且AB=3,

3

tan∠BAC= tan∠ABC=1.

(1)求此二次函数的解析式;

(2)在第一象限,抛物线上是否存在点P,使S△PAB=6?若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理......

由.

提高题

1. 已知抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0).

(1)求b、c的值;

(2)若抛物线与y轴的交点为B,坐标原点为O,求△OAB的面积(答案可带根号).

2. 启明星、公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件. 为了获得更好的效益,公

司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的年销售量将是原销售量的yx277?x?倍,且y??,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费: 101010

(1)试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利

润最大,最大年利润是多少万元?

(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投

资金额和预计年收益如下表:

如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元,问有几种符合要求的投资方

式?写出每种投资方式所选的项目.

3. 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计). 货

车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每

小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行). 试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

4

4. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现:当每套机械设备的月租金为270元时,

恰好全部租出. 在此基础上,当每套设备的月租金提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元,设每套设备的月租金为x(元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y(元).

(1)用含x的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用;

(2)求y与x之间的二次函数关系式;

(3)当月租金分别为4300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该租出多少套机械设备?请

你简要说明理由;

b24ac?b2

)?(4)请把(2)中所求的二次函数配方成y?(x?的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公2a4a

司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少?

参考答案

1. y?(x?1)2?2 2. 有两个不相等的实数根 3. 1 4. (1)图象都是抛物线;(2)开口向上;(3)都有最低点(或最小值)

5. y?128181818x?x?3或y??x2?x?3或y?x2?x?1或y??x2?x?1 55557777

6. y??x2?2x?1等(只须a?0,c?0) 7. (2?,0) 8. x?3,1?x?5,1,4

三、解答题:

1. 解:(1)∵函数y?x2?bx?1的图象经过点(3,2),∴9?3b?1?2. 解得b??2.∴函数解析式为y?x2?2x?1.

(2)当x?3时,y?2. 根据图象知当x≥3时,y≥2. ∴当x?0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.

2. 解:(1)由题意得?1?5?n?0. ∴n??4. ∴抛物线的解析式为y??x2?5x?4.

(2)∵点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,?4). ∴OA=1,OB=4.

在Rt△OAB中,AB?OA2?OB2?,且点P在y轴正半轴上.

①当PB=PA时,PB?. ∴OP?PB?OB??4. 此时点P的坐标为(0,?4).

②当PA=AB时,OP=OB=4 此时点P的坐标为(0,4).

3. 解:(1)设s与t的函数关系式为s?at2?bt?c,

5

1?a?,??a?b?c??1.5,?a?b?c??1.5,2?1?? 由题意得?4a?2b?c??2,或?4a?2b?c??2, 解得?b??2, ∴s?t2?2t. 2?25a?5b?c?2.5;?c?0.?c?0.????

(2)把s=30代入s?121t?2t,得30?t2?2t. 解得t1?10,t2??6(舍去) 22

答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.

(3)把t?7代入,得s?11?72?2?7?10.5. 把t?8代入,得s??82?2?8?16. 22 16?10.5?5.5. 答:第8个月获利润5.5万元.

9. 10

559185 因为点A(?,0)或B(,0)在抛物线上,所以0?a·. (?)2?,得a??221012524. 解:(1)由于顶点在y轴上,所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为y?ax2?

因此所求函数解析式为y??182955x?(?≤x≤). 2212510

918959(2)因为点D、E的纵坐标为,所以???,得x??2. 2012510420

5959 所以点D的坐标为(?2,),点E的坐标为(2,). 420420

555 所以DE?2?(?2)?2. 442

5 因此卢浦大桥拱内实际桥长为?1100?0.01?2?385(米). 2

5. 解:(1)∵AB=3,x1?x2,∴x2?x1?3. 由根与系数的关系有x1?x2?1.

∴x1??1,x2?2. ∴OA=1,OB=2,x1·x2?

∴m??2.∵tan?BAC?tan?ABC?1, aOCOC??1. ∴OC=2. ∴m??2,a?1.∴此二次函数的解析式为y?x2?x?2. OAOB

(2)在第一象限,抛物线上存在一点P,使S△PAC=6.

解法一:过点P作直线MN∥AC,交x轴于点M,交y轴于N,连结PA、 PC、MC、NA.

∵MN∥AC,∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6.

由(1)有OA=1,OC=2. ∴11?AM?2??CN?1?6. ∴AM=6,CN=12.

22

6

∴M(5,0),N(0,10). ∴直线MN的解析式为y??2x?10.

?y??2x?10,?x1?3?x2??4,由? 得(舍去) ∴在 第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使S△PAC=6. ??2y?18y?4;y?x?x?2,?2?1?

解法二:设AP与y轴交于点D(0,m)(m>0)

∴直线AP的解析式为y?mx?m.

?y?x2?x?2, ∴x2?(m?1)x?m?2?0. ∴xA?xP?m?1,∴xP?m?2. ??y?mx?m.

1111又S△PAC= S△ADC+ S△PDC=CD·AO?CD·xP=CD(AO?xP). ∴(m?2)(1?m?2)?6,m2?5m?6?0 2222

∴m?6(舍去)或m?1. ∴在 第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使S△PAC=6.

提高题

1. 解:(1)∵抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个交点,

∴方程x2?bx?c?0有两个相等的实数根,即b2?4c?0. ①

又点A的坐标为(2,0),∴4?2b?c?0. ②

由①②得b??4,a?4.

(2)由(1)得抛物线的解析式为y?x2?4x?4.

当x?0时,y?4. ∴点B的坐标为(0,4).

在Rt△OAB中,OA=2,OB=4,得AB?OA2?OB2?25.

∴△OAB的周长为1?4?25?6?2.

x277?x?)?(4?3)?x??x2?6x?7. 2. 解:(1)S?10?(?101010

4?(?1)?7?626?3时,S最大??16. 当x??2?(?1)4?(?1)

∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.

(2)用于投资的资金是16?3?13万元.

经分析,有两种投资方式符合要求,一种是取A、B、E各一股,投入资金为5?2?6?13(万元),收益

为0.55+0.4+0.9=1.85(万元)>1.6(万元);

另一种是取B、D、E各一股,投入资金为2+4+6=12(万元)<13(万元),收益为0.4+0.5+0.9=1.8(万元)>1.6

(万元).

3. 解:(1)设抛物线的解析式为y?ax2,桥拱最高点到水面CD的距离为h米,则D(5,?h),B(10,?h?3). 7

1??25a??h,?a??, ∴? 解得?25 100a??h?3.???h?1.

12 ∴抛物线的解析式为y??x. 25

(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4(小时),

货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280,

∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.

设货车的速度提高到x千米/时,

当4x?40?1?280时,x?60.

∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60千米/时.

4. 解:(1)未出租的设备为x?270套,所有未出租设备的支出为(2x?540)元. 10

x?2701(2)y?(40?)x?(2x?540)??x2?65x?540. 1010

1 ∴y??x2?65x?540.(说明:此处不要写出x的取值范围) 10

(3)当月租金为300元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为37套;当月租金为350元时,

租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为32套.

因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租32套;如果考虑市

场占有率,应选择出租37套.

11(4)y??x2?65x?540??(x?325)2?11102.5. 1010

∴当x?325时,y有最大值11102.5. 但是,当月租金为325元时,租出设备套数为34.5,而34.5不是整

数,故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元.

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