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16.2 二次根式的乘除

发布时间:2014-05-15 09:34:50  

16.2二次根式的乘除

复习回顾
二次根式
2

被开方数a≥0;
根指数为2.

(a≥0) ( a) ? a (a≥0) a ?a
2

复习回顾
当x为怎样的实数时,下列各式有意义? x≥3 ∴3≤x≤6 ?1? x ? 3 ? 6 ? x x≤6 x≥1 ∴x=1 ?2? 1? x ? x ?1 x≤1

?3?

x ?2
2

?4?

x ?1

x为任何实数.

x为任何实数.

1、一个长方形的长为 6cm ,宽为 3cm , 这个长方形的面积是多少?

解 : 长方形的面积为   6? 3
这个结果能否化简?如何化简?

讨论
计算: (1) 4 ? 25 ? 10    (  2) 4 ? 25 ? 10

1 3 1 3 (3) 9 ? ?    (  4) 9 ? ? 4 2 4 2
你发现了什么?用你发现的规律填空:

(1) 2 ? 3     6 = ( 2) 5 ? 7   35 =   

探究

(?4) ? (?9) ? ? 4 ? ? 9成立吗?
不成立!
? 4、 ? 9没有意义。

一般情况下,a≥0,b≥0时,
有什么关系?

a? 与 b

ab

一般地,对于二次根式的乘法,有:

a ? b ? ab

(a≥0,b≥0)

例题讲解
计算:

(1) 3 ? 12   (  2) x ?

x

3

b 1 (3)2 ab ? 3  (   4) ? 27 ? a 3
解:(1) 3 ? 12 ? 3?12 ? 36 ? 6

(2) x ? x ? x ? x ? x ? x
3 3 4

2

b b 2 (3)2 ab ? 3 ? (2 ? 3) ab ? ? 6 b ? 6b a a

1 1 (4) ? 27 ? ? ? 27? ? ? 9 ? ?3 3 3

分析
二次根式的乘法:根式和根式按公 式相乘。
m a ? n b ? mn ab(a≥0,b≥0)

根号外的系数与系数相乘,积 为结果的系数。

练习
计算:

(1)5 12 ? 4 27 

(2) 6 ? 15 ? 10

解: (1)5 12 ? 4 27 

? (5 ? 4) 12? 27
? 20 4 ? 3 ? 3 ? 9
? 20 ( 2 ? 3 ? 3)
? 20 ?18 ? 360
2

解: (2) 6 ? 15 ? 10

? 6 ?15?10 ?
?

2 ? 3? 3? 5 ? 5 ? 2
( 2 ? 3 ? 5)
2
2

? 30 ? 30

探究
a? b ? ab

把反过来,就可以得到:

(a≥0,b≥0) ab ? a ? b
利用它可以对二次根式进行化简.

例题讲解
化简:

(1) 12   (  2) 27 ?15  (3) 4a
3

化简二次根式,就要把被开方数 中的平方数(或平方式)从根号里 开出来。

解: (1) 12 ?

4?3 ? 2 ?3 ? 2 3
2

(2) 27?15 ? 9 ? 3? 3? 5

? 9 ?5 ? 9 5
2

(3) 4a ? 2 ? a ? a
3 2 2

? 2a a

化简 ? 25 x y
3
3 4 4

4

解:由二次根式的意义可知:

? ? 25 x y ? 25 y ? ?? x
3 4
4

? 25 x y ? 0,? y ? 0,? x ? 0.
3

?

? 5y ? x ? ? x
2

? ?5 xy

2

?x

讨论
计算: 有什么发现?

4 2 4 2 (1) ?     (  2) ? 9 3 9 3 16 4 16 4 (3) ?    (  3) ? 25 5 25 5

根据你发现的规律填空:

2 2 (1)      = 3 3

5 5 (2)     = 7 7

一般地,对二次根式的除法,有:

a a ? (a≥0,b>0) b b

例题讲解
计算: (1) 解: (1)
24 2 1    (  2) ? 3 18 3 24 24   ? ? 8?2 2 3 3

2 1 (2) ? ? 3 18

2 1 ? ? 3 18

2 ?18 3

? 12 ? 2 3

探究


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