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探索勾股定理

发布时间:2013-09-27 17:35:00  

你知道什么是“勾、股” 吗?
在中国古代,人们把弯 曲成直角的手臂的上半 部分称为"勾",下半部 分称为"股"。





商高定理
商高是公元前十一世纪的中国人。 当时中国的朝代是西周,是奴隶社会 时期。在中国古代大约是战国时期西 汉的数学著作《周髀算经》中记录着 商高同周公的一段对话。商高说:“ …故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”商高那段话的意思 就 是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长 边)时,径隅(就是弦)则为5。以后人们就简单地把这个事 实说成“勾三股四弦五”。

由于勾股定理的内容最早见于商高的话中,所以人们就

勾股定理
关于勾股定理的发现, 《周髀算经》上说:" 故禹之所以治天下者, 此数之所由生也。""此 数"指的是"勾三股四弦 五",这句话的意思就 是说:勾三股四弦五这 种关系是在大禹治水时 发现的。

探索勾股定理

SA ?

9 9 18

C
A B

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探索勾股定理

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4 4 8

C
A

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16 9 25

C A

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B

探索勾股定理

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4 9 13

A B

C

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SC ?

探索勾股定理

s A s B sC
图1 图2 图3

S A ? S B ? SC

能用三角形的边长表示正方形的面积吗?

9 4 16

9 4 9

18 8 25

a
2 2

c
b

图4

4

9
2

13

a ?b ? c

勾股定理:
如果直角三角形两条直角边分别为a, b,斜边为c,那么:

a ?b ? c
2 2

2

直角三角形的两条直角边的平方和 等于斜边的平方.

勾股定理





我国古代把直角三角形中 较短的直角边称为勾,较 长的直角边称为股,斜边 称为弦。

例:如图,在ΔABC中,∠ACB=90o , AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D, 求CD的长。
C

A

D

B

练习

在RTΔABC中,∠C=90o (1)已知a=6,c=10,求b;
(2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a;

毕达哥拉斯定理

Pythagorean theorem

毕达哥拉斯定理

Pythagorean theorem

毕达哥拉斯定理

Pythagorean theorem

百 牛 定 理

The theorem that the sum of the squares of the lengths of the sides of a right triangle is equal to the square of the length of the hypotenuse.

1972年发射的星际飞 船“先锋10号”带着 证明勾股定理的“出 入相补图”飞向太空。

我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射” 一种勾股定理的图形,如果宇宙“人”也拥有 文明的话,那么他们一定会认识这种“语言” 的,因为几乎所有具有古代文化的民族和国家 都对勾股定理有所了解。

方法一

方法二
方法三

方法四

由S大正方形 ? S小正方形 ? 4 S Rt?可得 ?1 ? 2 2 ?a ? b ? ? c ? 4 ? ? ab ? ?2 ? 2 2 2 a ?b ?c

公元3世纪时的三国时代,吴国有一位名叫赵爽的数学家,对《周

髀 以弦为边长作一个正方形,它的面积称为“弦实”;在这个正方形 内的4个直角三角形的面积称为“朱实”;中间的小正方形的面积 算经》进行了注释。在注释勾股定理时,他专门写了《勾股圆方图 称为“黄实”。由弦实=朱实+黄实,可得勾股定理。 说》,并附了一幅“弦图”,对勾股定理作出了严格而简洁的证明:

这是与赵爽同时代的刘徽对勾股定理的证明方法——出入相补法: 以勾为边的正方形称为朱方,以股为边的正方形称为青方,进行出 入相补法后拼为弦方。以面积公式可得勾股定理。

此证明方法出自美国第20任总统James.Abram.Garfield(伽菲尔德)在 1876年利用梯形的面积公式得到的。该证明发表在《新英格兰教育 杂志》上。

例1 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚 好飞到一个男孩头顶正上方4000米 处,过了20秒,飞机距离这个男孩 头顶5000米。飞机每时飞行多少千 米?

探索勾股定理

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8 9 29

C A
B

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探索勾股定理

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5 8 9

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