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相似三角形复习

发布时间:2013-09-28 09:00:33  

两个三角形相似的判定方法:
1定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似 2 预备定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边所在 的直线,截得的三角形与原三角形相似。

3 判定定理1: 两角对应相等,两个三角形相似。
4 判定定理2: 两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相 似。 5 判定定理3: 三边对应成比例,两个三角形相似。 6 直角三角形相似判定定理: 斜边和一条直角边对应成比 例,两个直角三角形相似

相似三角形中的基本图形
A D
E A

A D

A型

D C B

E C B

B A O C

C 母子型

X型 A C O B

A C

D

B

D

B

D

K型(一线三角图)

考点回顾

1、如图,平行四边形ABCD中,E是BC上的一点, AE交BD于点F,如果BE ? 2 ,那么 BF ? 2
BC 3

FD

3

2、如图,点D、E两点分别在△ABC的边AB、 AC上,DE与BC不平行,当满足 条件(写出一个即可)时,△ADE~ △ACB

?B ? ?AED ?C ? ?ADE AD AE = AC AB

3、点E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点, 连结AE,交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下, 请写出图中的所有相似三角形。
D

△AFD∽△EFC △EFC∽△EAB △EAB∽△AFD B

A F
C

E

1、如图. 有一路灯杆AB,小明在灯光下看到自 己的影子DF,那么 (1)在图中有相似三角形吗?如有,请写出. (2)如果已知BD=3m,DF=1m,小明身高为1.6m,你 A 能求得路灯杆的高吗?

C F

D

B

2、如图,直立在点M处的标杆MN=2.5米, 小明在A处从B点观察的杆N与C在一条直线 上(点A、M、D也在一条直线上),已知 MD=3.3m,AM=2.2m,小明身高为1.6m,你能求 得路灯杆的高吗?

E

例题分析1: 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=2, 点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一
点E,使∠ADE=45° 求证:△ABD∽△DCE A 证明:∵AB=AC,∠BAC=90° 1 ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
B D )2

E
C

∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE (相似三角形判定1)

例题分析1: 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=2, 点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一
点E,使∠ADE=45° (1)求证:△ABD∽△DCE (2)设BD=X,AE=Y,求Y关于X的函数解析式, 并写出自变量X的取值范围
A 1 B E )2 C

D

A

D

变式1: 如图,在矩形ABCD中, AB=4,AD=10,若点P在BC 边上,则△ABP与△DCP相 似的点P有 3 个。

B A

P

C D

B

P

C D

注意分类讨论

A

B

P

C

变式2:

如图,在矩形ABCD中, A AB=4,AD=10,点P在BC边上, 若△ABP与△DCP相似。 △APD一定是( D ) B (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形

D

P

C

练习

1、如图,△ABC中,AB=AC,D是BC上一 点,E、F分别为边AB、A

C上的点,且EDF=∠B . 求证:△BED∽△CDF. A
A F

F

E E
3

2

1

B B

D D

C

C

2、如图矩形ABCD,AB=2,AD=4, BP⊥PQ,AP∶PD=3∶7. 求BP∶PQ的值. A A
1

P P
3 2

D D
Q Q C

B B

已知:在 △ ABC中,∠BCA=90°, 例题分析2:
CD⊥AB,E是BC的中点,DE的延长线交AC的延长线

于F求证:AD ·CF=CD ·DF
基本图形
2 1 D

(

AD CD

?

DF CF B

)
D

E

2 1

F
分析: E是BC的中点 CD⊥AB

C

A
F

C

A

DE=CE

∠1= ∠2

∠FCD= ∠FDA ∠F= ∠F △FDC∽ △FAD

变式练习1
已知:在 △ ABC中,∠BAC=90°, AD⊥BC,E是AC的中点,
(1)求证: △ADF∽=AD.DF (2)求证:BD . AF △DBF
F

(
B D A C

BD AD

?

DF AF

)
B

F

基本图形
B D A

2

D

(3)求证:AB . AF =AC.DF

(

AB AC

?

1

DF AF

)

3
A E C

练习
1、已知:点E是正方形ABCD的边BC延长线 上一点 求证:GC2=GF﹒GE
基本图形
① ②

G F C E

1、熟练掌握相似三角形中的基本图形,学会从 复杂图形中分解出基本图形 2、利用相似三角形解决实际问题时

人生最好只是相似,每 个人的角度和长度要靠 自己去打拼

1.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5 4米 米的人的影长为3米,则树高为 .
B

2.铁道的栏杆的短臂为 OA=1米,长臂OB=10米, C 短臂端下降AC=0.6米, 6 则长臂端上升BD=___米。 A

O

D

3.如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 , 而且落在离网5米的位置上,则拍击球的高度 应为( A ) 。
A、2.7米 B、1.8米 C、0.9米 D、 6米

0.9m

h

5m

10m

4. 如图,D为△ABC内一点,E为△ABC外一点, 且∠1=∠2,∠3=∠4. 证明:△ABC∽△DBE.
A
3

D 1

B

2 E

4

C

5、已知:在梯形ABCD中,AD//BC,AD<BC,且AD=5, AB=DC=2.如图,点P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.

① 求证:△ABP∽△DPC; ②求AP的长.
A A P P D D

B B

C C


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