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一元二次方程根的判别式_公开课课件

发布时间:2014-05-22 08:09:22  

对于一元二次方程 一定有解吗?

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

b 2 b ? 4ac (x ? ) ? 2 2a 4a
2

b ? 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的
2

判别式,通常用“△”表示。

一元二次方程的根的情况:
1.当 ? ? b2 ? 4ac ? 0时,方程有两个不相等的实数根 2.当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个相等的实数根 3.当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程没有实数根
2

反过来:

? ? b2 ? 4ac ? 0 1.当方程有两个不相等的实数根时,
2.当方程有两个相等的实数根时, ? ? b ? 4ac ? 0
2

3.当方程没有实数根时,? ? b2 ? 4ac ? 0

问题一:不解方程,判断下列方程是否有解?
2 2 x ? 5x ? 7 ? 0 ; (1 )

2 3 x ? x ? 0; (2 )
2 x (3) ? 4 kx ? 2 k ? 3 。

提示:步骤:第一步:写出判别式△;第二步 根据△的正负写结论。

问题二:
已知方程及其根的情况,求字母的取值范围
2 2 mx ? 8m( x ?1) ? ? x , 二次方程 当 m 为何值时,

(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 有两个相等的实数根; (3) 没有实数根。
2 2 mx ? (8m ? 1) x ? 8m ? 0 , 提示: 先把方程变形: 再看△。

解:因为 =b2 ? 4ac ? 16m ? 1 ,所以
1 (1)当 ? 16m ? 1 ? 0 ,即 m ? ? 时,方程有两 16

个不等的实数根;
1 ? 16 m ? 1 ? 0 (2)当 ,即 m ? ? 时,方程有两 16

个相等的实数根;
1 (3)当 ? 16m ? 1 ? 0 ,即 m ? ? 16 时,方程没有

实数根.

问题三:解含有字母系数的方程。
2 ax ? 5x ? 5 ? 0 。 解方程:

提示:分类讨论:当 a=0 时,方程变为:

?5 x ? 5 ? 0
当 a≠0 时,方程为一元二次方程,再利用△确 定方程的根的个数,用求根公式求出解。

解: 当a=1时,x=1. 当a≠0时,方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0,即
5 a< 4

时, x ?

5 ? 25 ? 20a ; 2a

5 当△=0,即 a= 4 时,x=2;

当△<0,即

5 a> 4

时,方程无解。

2 x 提升 1:求方程 ? 3 x ? 2 ? 0 的最小根的倒数。

提示:可以先换元:令 t=|x|,转化为关于 t 的一 元二次方程,求 t,再求 x。

3 ? 17 3 ? 17 (舍正号) t? (舍负号) x ? ? 2 2

1 2 -2 (3 ? 17) 3 ? 17 ?? ? ? xmin 9-17 4 3 ? 17

2 x 提升 2:方程 ? ax ? b ? 0 与 x2 ? bx ? a ? 0 只有一个相等的实

数根,求此根。
提示:先降幂,将一元二次方程转化为一元一次方 程,再求 x。

当a+b≠0时,x=-1

2 提升 3 :若方程 3x ? 4 x ? k ? 1 ? 0 无实数根,化简:

2 1 1 k 2 ? k ? ? ? 2k 。. 3 9 3

提示:先利用判别式求 k 的范围,再化简。

2 3k ? 3

动不如



2 m x ? 3 ( m? 1 ) x? 2m? 3? 0 x 已知:关于 的一元二次方程

(m为实数)

(1) 若方程有两个不相等的实

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