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第31届俄罗斯数学奥林匹克八年级

发布时间:2014-05-22 11:56:45  

36中等数学

再品佳题

第31届俄罗斯数学奥林匹克(八年级)

苏 淳  译

(中国科学技术大学统计与金融系,230026)

第四轮

8.1.中午12点时“,西部仔”与“莫斯科

∠B的平分线交直线AD于点P,经过点A与BP垂直的直线交直线BC于点Q.证明:

PQ∥CD.

仔”开始从相距90km的两个地点分别开汽车以常速相向而行.2h以后,他们的距离又是90km.一个“不知情者”断言:西部仔在与莫斯科仔碰面之前以及莫斯科仔在与西部仔碰面之后,一共行驶了60km.试证明:该断言不正确.

8.2.,8.7.试求出能够对某些正整数a、n、m

满足等式x+y=a,x+y=a的所有正整数对(x,y).

8.99n22m

.:50个筐子,,也装有.

,(随便朝哪个方向)移动格然后,乙把棋子(随便朝哪个方向)移动2格,接着甲移动4格,再接着乙移动8格;如此等等(第k次时随便朝哪个方向移动2

k-1

参考答案

8.1.注意到,如果恰好经过2h他们的汽车重新

相距90km,那么,就恰好在经过1h时他们相遇.这表明,西部仔在与莫斯科仔碰面之前以及莫斯科仔在与西部仔碰面之后各自行驶了1h.因此,如果该人的断言正确,那么,他们的汽车的时速之和就是

60km/h,故他们在2h之内应当一共行驶120km.但

格).如果谁在轮到自己时不能按

规则移动棋子,就算他输.试问:谁可以不依赖于对方的行动而取胜?

8.3.现有19张卡片.能否在每张卡片上

事实上,他们一共行驶了180km.

8.2.答案:甲可以不依赖于对方的行动而取胜.

各写一个非0数码,使得可以用这19张卡片排成1个可以被11整除的19位数?

8.4.设 ABC为锐角三角形,顶点B、C

注意到,甲的移动距离依次为1,4,16,…,1024.下面证明:甲可以顺利移动距离1024(这样一来乙就输了,因为他接下来应当把棋子移动2048格,而这是不可能的).

由于

1+2+4+…+128<256,所以,当甲进行第5次移动之前,棋子离开中间方格的距离不大于

256.甲此时可以将棋子朝中间方格的方向移动256

关于直线AC、AB的对称点分别为B′、C′.设

P为 ABB′和 ACC′的外接圆除点A之外

的另一个交点.证明: 线PA上.

ABC的外心位于直

格,移动之后,棋子离开中间方格的距离仍然不大于

256.在接下来的乙的移动之后(他将棋子移动512

8.5.已知正整数N的各位数字之和为100,而5N的各位数字之和为50.证明:N是

格),棋子离开中间方格的距离将大于256.此时,甲可以成功地将棋子朝中间方格的方向移动1024格

(因为棋子与方格纸带一端的距离大于256+1002

偶数.

8.6.在四边形ABCD中,∠A=∠C,

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2007年第4

期>1024).

37

8.6.如图2,设BP、AQ的交点为R.易知,BR既是 ABQ中的高,

8.3.答案:可以.

分别在10张卡片上各写一个2,在其余每张卡片上各写一个1.众所周知,当且仅当一个十进制正整数的奇数位置上的数字之和与偶数位置上的数字之和的差S是11的倍数时,这个正整数可以被11整除.在19张卡片的各种不同的排法下,有

-7≤S≤11,

其中,只有11是11的倍数,它相应于在各个奇数位置上都放写有2的卡片,而在各个偶数位置上都放写有1的卡片.

8.4.如图1,设MO1、NO2

分别为边AB、

AC的中垂线,

又是其角平分线,从而,

该三角形为等腰三角形,有AB=BQ.  故 BP

ABPQ.

图2

则∠BQP=∠BAP=∠BCD.

所以,PQ∥CD(因为它们与BC的夹角相等).

kk

8.7.答案:(2,2),k为非负整数.

由题意得a2n=x2+2xy+y2=am+2xy.由此知a2n>am.从而,a2n可被am整除.于是,2xy可被am=x2+y2整除.由此得到2xy≥x2+y2≥2xy.

故x2+y2=2xy,x=y.,2xan,2x2m42n,2=a2m.

a=2=2k,k为非负整数.

8.:xi表示第i个筐中的苹果数量.x1≥x2≥…≥x99.只要把第2号至第99

其中,M、N分别为边AB、AC的中点,而点

O1、O2分别在

直线AC、AB上.

号筐分为两组,每组49个筐,使得其中两组中的苹

果数量之差不大于x1.然后,从中选出李子数量较多的一组,并把第1号筐子补入其中,即可得到所需要的50个筐子.

下面介绍把第2号至第99号筐分为两组的办法:

将第2,4,…,98号筐分入第一组;将第3,5,…,99号筐分入第二组.此时,第二组筐中所装的苹果总重量不多于第一组;而第一组去掉2号筐后所装的苹果总重量不多于第二组.这就表明,两组中的苹果数量之差不大于x2(x2≤x1),所以,这一分法符合要求.

解法2:只要存在两个筐A、B,使得:在筐A中,苹果的数量为xA,李子的数量为yA;在筐B中,苹果的数量为xB<xA,李子的数量为yB<yA.那么,就把它们重新分装,使得在筐A′中,苹果的数量为xA,李子的数量为yB;在筐B′中,苹果的数量为xB,李子的数量为yA.不难看出,如果可以从重新分装过的99个筐中挑选出50个筐子来满足要求,也就可以从原来的99个筐中挑选出50个筐子来满足要求.

事实上,如果挑出的50个筐中只包括了A′、B′之一,那么,在原来的99个筐中就只须取出筐A;如果挑出的50个筐中包括了A′、B′两者,那么,在原来的99个筐中就同时取出筐A、B.

如果还有两个这样的筐,那么,就对它们再作类

显然,2O既是 ABC的外心,又是 AO1O2的垂心.

由于点B与B′关于AC对称,所以,AC是线段

BB′的中垂线.这意味着点O1到点A、B、B′的距离

相等,故O1就是 ABB′的外心.

同理,O2是 ACC′的外心.

因此,线段AP作为 ABB′、 ACC′外接圆的公共弦,应当与两圆的连心线O1O2垂直,即AP

AO1O2中的一条高.所以,它经过垂心O.

8.5.用S(A)表示正整数A的各位数字之和.

通过观察两个正整数A、B的加法竖式,可知

S(A+B)≤S(A)+S(B),

并且等号当且仅当不发生进位时成立.

由题中条件可以推知,在求5N+5N=10N的过程中没有发生进位,这是因为

S(10N)=S(N)=100=S(5N)+S(5N).

另一方面,5N只能以5或0结尾,分别对应于

N为奇数和偶数.但是,若以5结尾,在做加法

5N+5N=10N

的过程中就会发生进位,此与事实不符.

所以,5N必以0结尾.故N是偶数.

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38中等数学

课外训练

数学奥林匹克初中训练题(97)

第一试

一、选择题(每小题7分,共42分)

3

5.已知x1、x2、x3、x4、x5是非负实数,且

x1+x2+x3+x4+x5=100,

M是x1+x2、x2+x3、x3+x4、x4+x5的最大

2

1.化简(A)

-2

2

).得(  

3 (B) (C) (D)22

).值.则M的最小值m满足(  

(A)20<m<30(B)30<m<40(C)40<m<45(D)45m<50

6.ABCD、BD相

2.已知a为自然数,关于x的方程2x-a

1-x-a+4=0

至少有一个整数根.则a(  ).

(A)1(C)D)3.半圆O,ACAD皆为弦,且∠BAC

E.,=20°,∠∠AEB=A°(B)65°(C)70°(D)75°二、填空题(每小题7分,共28分)

1.已知A1,A2,…,An依次是某直线公路上的11个车站,且

AiAi+2≤12(i=1,2,…,9),

AiAi+3≥17(i=1,2,…,8).

=∠CAD.那么,下列

式子中,成立的是图1

(  ).

2

(A)AC2=AB?(B)AB?ADAD>AC(C)AB+AD=2AC(D)AB+AD<2AC

2

4.已知方程x+2px-q=0无实根.则

).p+q的值(  (A)小于(B)等于

44(C)大于(D)不能确定

4

似的分装.如此下去,每分装一次,就减少一个这样的对子.若干次之后,就得到了重新分装过的99个筐子,其中,任何两个筐子都具有这样的性质:如果甲筐中的苹果多于乙筐中的苹果,那么,乙筐中的李子就多于甲筐中的李子.

现在,把重新分装过的99个筐子按苹果重量递降的顺序编号,从中挑选出第1,3,…,99号筐,显

若A1A11=56km,则A2A7=2.如图2,用四种

km.

颜色给四个小三角形染色,使得有公共边的三角形不同色.那么,共有

种不同的染法.3.满足等式

x+y-图2

006x

-006y+006xy

然,它们中装有不少于所有苹果的一半(因为1号筐中的苹果不少于2号筐中的苹果,3号筐中的苹果不少于4号筐中的苹果,如此等等),同时,它们中也装有不少于所有李子的一半(因为99号筐中的李子不少于98号筐中的李子,97号筐中的李子不少于

96号筐中的李子,如此等等).

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