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角的问题之二——角的计算

发布时间:2014-05-22 11:56:53  

2中等数学

●数学活动课程讲座●

角的问题之二———角的计算

黄全福

(安徽省怀宁县江镇中学,246142)

  (本讲适合初中)

文[1]讨论了角的证明问题,

有关角的计算问题,出现,类型,.

[1]中讲过,这里不再赘述.下面举例说明.

例1 在凸四边形ABCD中,∠A-∠B=∠B-∠C=∠C-∠D>0,四个内角中有一个角为84°.求其余各角的度数.

讲解:令∠A-∠B=∠B-∠C=∠C-∠D=α.则

∠C=∠D+α,∠B=∠D+2α,∠A=∠D+3α.

又∠A+∠B+∠C+∠D=360°,则

)+(∠D+2α)+∠D+(∠D+α

(∠D+3α)=360°.

故∠D+

α=90°>84°.2

讲解:如图1,CA.+AK=AC+AI

=CB.

图1

从而,△CBI△CKI.故∠CBI=∠CKI.

又AK=AI,则∠CAI=2∠CKI.

故∠ABC=2∠CBI=2∠CKI=∠CAI=

∠CAB=×70°=35°.22

评注:构造两个三角形全等是解决本题

的关键.

【思考】如果将求∠B的度数改为求∠C或求∠AIC、∠AIB的度数,又该如何?

例3 圆的半径既是两条弦的比例中

项,又等于这两条弦的差.求两条弦所对的圆心角的度数.

讲解:如图2

,AB、CD是⊙O的两条弦,AB>CD.取

AM=CD,则BM=OB.

由已知

OA=AB?CD

2

由此可知只有两种情况.

(1)∠D=84°,此时,α=4°.故∠C=88°,∠B=92°,∠A=96°.(2)∠C=84°,此时,α=12°.故∠D=72°,∠B=96°,∠A=108°.【思考】如果将条件84°改为93°,那么,其余各角的度数是多少?存在几种情况?

例2 在△ABC中,

∠A=70°,点I是内心.已知AC+AI=BC.求∠B的度数.

(2003,泰国数学奥林匹克)

  收稿日期:2006-09-07 修回日期:2006-11-13

=AB?AM,

图2

=.ABOA

所以,△OAB于是,△BOM

△MAO.△OCD.

从而,OM=AM=CD.故∠COD=∠B.

2007年第3期3

设∠A=∠B=α,则∠AOM=∠A=α,

∠BOM=∠BMO=∠AOM+∠A=2α,∠AOB=∠AOM+∠BOM=3α.在△OAB中,因为

∠AOB+∠A+∠B=3α+α+α=180°,所以,α=36°.

因此,∠AOB=3α=108°,∠COD=α=36°.评注:观察图2,发现点M是线段AB的黄金分割点,且∠AOB与∠OCD互补.

例4 aa>、a数.

讲解:将两个等腰三角形拼成如图3的形状,其中,AB=AC=CD=a,BC=BD=b.

因为∠BAC+∠DBC=180°,所以,底角必互余,即

∠ACB+∠BCD=90°.

作BE⊥DC于点E,BF⊥AC于点F.因为BF=EC=

DC=a=AB,222

讲解:如图4,作正

△AEF,联结BF.易知正五边形ABCDE的一内角为108°.所以,

∠BAF=108°+60°=168°.

而AF=AE=AB

,则 ∠AFB=∠ABF

.

,知B、P、F三点共线.又∠PEF=∠AEP+∠AEF=12°+60°=72°,

∠EFP=∠AFE-∠AFB=60°-6°=54°,

则∠EPF=180°-72°-54°=∠EFP.所以,EP=EF=AE.

此时,等腰△EAP的一个底角

)=84°∠EAP=(180°-12°.

2

而∠EAC=180°-∠AED=180°-108°=72°,故∠PAC=84°-72°=12°.

评注:解此题的关键是,作出正△AEF后,既发现了B、P、F三点共线,又发现了△EAP为等腰三角形.

例6 在锐角△ABC中,AB>BC>CA,O、I、H分别是它的外心、内心、垂心.已知∠A=60°.求证:

(1)∠OIH-∠ABC是一个定值;(2)∠OIH+∠ACB也是一个定值.

讲解:如图5,作两高BE、

CF,H是它们

图4

图3

所以,∠BAF=30°,即∠BAC=30°.此时,∠ABC=∠ACB=75°,

∠BDC=∠BCD=15°,∠DBC=150°.评注:由两个等腰三角形的顶角互补发现了它们的一对底角互余,从而,将它们拼成了图3的形状,为解题提供了便利.

【思考】利用图3,还可求得a∶b的值,怎样求呢?

例5 在正五边形ABCDE内部有一点

P.已知∠ABP=6°,∠AEP=12°.求∠PAC的

的交点.作OD⊥AB于点D.其余辅助线如图所示.

图5

度数.

(2005,日本数学奥林匹克)

4中等数学

设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α.因为∠BOD=∠ACB=∠BCE,所以,∠ABO=∠OBD=∠CBE=α,∠ABC=∠ABE+α=(90°-∠A)+α=30°+α.

40°,∠BAC=20°,∠BCA=35°.求AC、BD所夹锐角

的度数.

(提示:延长BD到点P,使DP=DB.只须证A、B、C、P四点共圆,则DC=DP=DA,∠ADC=110°,

∠ACD=35°.故所夹锐角为75°.)

4.如图6,△ABC内的两条线段BQ、CR交于点P,AR=BR=CP,PQ=CQ.求∠BRC的度数.

又∠BOC=2∠BAC=120°,∠BIC=90°+

∠BAC=120°,2

(2003,)

(:

在CRRK=RC,RS=PC.

∠BHC=∠EHF=180°-∠A=120°,则∠BOC=∠BIC=∠BHC.于是,知B、O、I、H、C.此时,∠OBC=∠CIH∠OIC=∠OBC=150°.故∠OIH=150°+α.(1)∠OIH-∠ABC

)-(30°)=120°(定值);=(150°+α+α(2)∠OIH+∠ACB

)+(90°)=240°(定值).=(150°+α-α

=CP=SR.从而,

=60°,∠BRC=120°.)

图6图7

5.如图7,在△ABC中,AB=AC<BC,在射线AB、CA上各取一点D、E.已知AD=BC=CE=DE.

求证

:∠BAC=100°.

(提示:作??BDFC.易证△ECF

△DEA.则EF

评注:由已知可知60°<∠ACB<90°,从而,0°<α<30°.故有150°<∠OIH<180°.

【思考】如果规定∠OIH的度数是整数,那么,∠OIH的度数共有多少种?

=DA=BC=DF=DE.从而,△DEF为正三角形.设

∠ABC=α,则∠ADF=α,∠ADE=180°-4α.所以,

(180°)+α=60°-4α,α=40°.故∠BAC=100°.)

参考文献:

[1] 黄全福.角的问题之一———角的证明[J].中等数学,

2007(2).

练习题

1.在凸四边形ABCD中,AB=BC=CD,且∠A=∠B=∠C.求各内角的度数.

2

(提示:作∠B的平分线交AD于点K.易得

致 读 者

1.《中等数学》2006年合订本现正发

BCK△BAK,△

DCK△BCK.故∠A=∠B=

售,分上、下册和全一册两种,上、下册每

本27元,全一册每本50元(含邮挂费).

2.《2004—2005国内外数学竞赛套

).80°,∠C=160°,∠D=40°

2.在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,点M在AC

上且满足AM=BC.求∠BMC的度数.

(提示:作正△PAB,点P、M位于AB的异侧.易

题及精解》余量有限,每本

23元(含邮挂费).

欲购者请汇款至编辑部陈卫明老师处。

证△P

AM△ACB,PM=AB=PA=PB.从而,P为

△ABM的外心,∠ABM=∠APM=×20°=10°,

22

本刊编辑部

∠BMC=∠ABM+∠BAM=30°.)

3.在凸四边形ABCD中,∠ADB=70°,∠CDB=

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