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八年级下数学教案_第十七章__勾股定理

发布时间:2014-05-24 08:12:13  

第十八章 勾股定理

18.1 勾股定理

一、教学目标

1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。

二、重点、难点

1.重点:勾股定理的内容及证明。

2.难点:勾股定理的证明。

三、课堂引入

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。

毕达哥拉斯是古希腊数学家,他是公元前五世纪的人。希腊另一位数学家欧几里德在编著《几何原本》时,认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的,因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号:“百牛定理”。所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理",以后就流传开了。而他发现这个定理要比我们完了500多年。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗?

四、勾股定理及其证明

证明1(补充)已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠

B、∠C的对边为a、b、c。

求证:a2+b2=c2。

分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。

AB

⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S△+S小正=S大正

4×1ab+(b-a)2=c2,化简可证。 2

⑷ 勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

另一种证明方法:

已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 b222求证:a+b=c。

分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相b等。

aabcbca

1

左边S=4×

1

ab+c2 2

右边S=(a+b)2

左边和右边面积相等,即 4×

1

ab+c2=(a+b)2 2

化简可证。

于是,我们得到直角三角形三条边之间的关系:

定理:直角三角形两条直角边的平方和,等于斜边的平方。(勾股定理) 五、例题

例1 如图,在Rt△ABC中,两条直角边AC=5,BC=12,求斜边上的高CD的长

分析:S△ABC?

11

AC?BC?AB?CD.代入数字即可。 22

六、课堂练习

1. 2.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)

A

⑴两锐角之间的关系: ;

⑵若D为斜边中点,则斜边中线 ;

⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边: ; ⑷三边之间的关系: 。

222

3.△ABC的三边a、b、c,若满足b= a+c,则 =90°; 若

满足b2>c2+a2,则∠B是 角; 若满足b2<c2+a2,则∠B是 A 角。

4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习

1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则 ⑴c= 。(已知a、b,求c) ⑵a= 。(已知b、c,求a) ⑶b= 。(已知a、c,求b)

4.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。 求证:⑴AD2-AB2=BD·CD

⑵若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。

B

b

E

B

2

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