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中考数学特训之二次函数

发布时间:2014-05-26 14:53:42  

二次函数

A级 基础题

1.(2013年浙江丽水)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点( )

A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2)

2.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为( )

A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0 C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2

3.(2013年浙江宁波)如图3-4-11,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=1,图象经过(3,0),下列结论中,正确的一项是( )

A.abc<0 B.2a+b<0 C.a-b+c<0 D.4ac-b2<

图3-4-11 图3-4-12

4.(2013年山东聊城)二次函数y=ax2+bx的图象如图3-4-12,那么一次函数y=ax+b的图象大致是(

)

A B C D

5.(2013年四川内江)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是( )

A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1

C.当x=1时,y的最大值为-4 D.抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0)

6.(2013

2

A.(-3,-3) B.(-2,-2) C.(-1,-3) D.(0,-6)

7.(2013年湖北黄石)若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为__________.

8.(2013年北京)请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式______________.

9.(2013年浙江湖州)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)求抛物线的顶点坐标.

1

B级 中等题

10.(2013年江苏苏州)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )

A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3

11.(2013年四川绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3-4-13,给出下列结论:①

b2a+b>0;②b>a>c;③若-1<m<n<1,则m+n<-;④3|a|+|c|<2|b|.其中正确的结a

论是____________(写出你认为正确的所有结论序号).

图3-4-13

12.(2013年广东)已知二次函数y=x-2mx+m2-1.

(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;

(2)如图3-4-14,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C,D两点的坐标;

(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.

2

图3-4-14

C级 拔尖题

113.(2013年黑龙江绥化)如图3-4-15,已知抛物线y=x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点a

B,C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.

(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值;

(2)在(1)的条件下,解答下列问题;

①求出△BCE的面积;

②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.

2

图3-4-15

14.(2012年广东肇庆)已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1<0<x2,与y轴交于点C,O为坐标原点,tan∠CAO-tan∠CBO=1.

(1)求证:n+4m=0;

(2)求m,n的值;

(3)当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时,求二次函数的最大值.

15.(2013年广东湛江)如图3-4-16,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点,交x轴与B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系,并给出证明;

(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图3-4-16

3

二次函数

1.A

2.B 解析:利用反推法解答, 函数y=(x-1)2-4的顶点坐标为(1,-4),其向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到函数y=x2+bx+c,又∵1-2=-1,-4+3=-1,∴平移前的函数顶点坐标为(-1,-1),函数解析式为y=(x+1)2-1,即y=x2+2x,∴b=2,c=0.

3.D 4.C 5.C 6.B

7.k=0或k=-1 8.y=x2+1(答案不唯一)

9.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0),

∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),

即y=-x2+2x+3.

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

∴抛物线的顶点坐标为(1,4).

10.B 11.①③④

12.解:(1)将点O(0,0)代入,解得m=±1,

22二次函数关系式为y=x+2x或y=x-2x.

(2)当m=2时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

∴D(2,-1).当x=0时,y=3,∴C(0,3).

(3)存在.接连接C,D交x轴于点P,则点P为所求.

由C(0,3),D(2,-1)求得直线CD为y=-2x+3.

3?3当y=0时,x=,∴P??20?. 2

13.解:(1)将M(-2,-2)代入抛物线解析式,得

1-2-2-2)(-2+a), a

解得a=4.

1(2)①由(1),得yx-2)(x+4), 4

1当y=0时,得0=(x-2)(x+4), 4

解得x1=2,x2=-4.

∵点B在点C的左侧,∴B(-4,0),C(2,0).

当x=0时,得y=-2,即E(0,-2).

1∴S△BCE6×2=6. 2

1②由抛物线解析式y=(x-2)(x+4),得对称轴为直线x=-1, 4

根据C与B关于抛物线对称轴x=-1对称,连接BE,与对称轴交于点H,即为所求. 设直线BE的解析式为y=kx+b,

??-4k+b=0,将B(-4,0)与E(0,-2)代入,得? ??b=-2,

1??k=-2,1解得?∴直线BE的解析式为y=-x-2. 2??b=-2.

13将x=-1代入,得y=-2=-, 22

3-1,-?. 则点H?2??

14.(1)证明:∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2,

4

n∴抛物线的对称轴为x=2,即-2, 2m

化简,得n+4m=0.

(2)解:∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1<0<x2,

np∴OA=-x1,OB=x2,x1+x2=-x1·x2=mm

令x=0,得y=p,∴C(0,p).∴OC=|p|.

OC|p|OC|p|由三角函数定义,得tan∠CAO==-,tan∠CBO==. OAx1OBx2

|p||p|∵tan∠CAO-tan∠CBO=1,即--=1. x1x2

x1+x2-1化简,得. x1·x2|p|

n-m-1npp将x1+x2=-,x1·x2=化简,得?n=±1. mmp|p||p|

m

由(1)知n+4m=0,

11∴当n=1时,mn=-1时,m=44

11∴m,n的值为:m=,n=-1(此时抛物线开口向上)或m=-,n=1(此时抛物线开44

口向下).

1(3)解:由(2)知,当p>0时,n=1,m 4

1∴抛物线解析式为:y=-x2+x+p. 4

11联立抛物线y=-x2+x+p与直线y=x+3解析式得到-x2+x+p=x+3, 44

2化简,得x-4(p-3)=0.

∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点,

∴一元二次方程根的判别式等于0,

即Δ=02+16(p-3)=0,解得p=3.

11∴y=-x2+x+3=-x-2)2+4. 44

当x=2时,二次函数有最大值,最大值为4.

15.解:(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4,

此抛物线过点A(0,-5),

∴-5=a(0-3)2+4,∴a=-1.

∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+4,

即y=-x2+6x-5.

(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.

证明:令y=0,即-x2+6x-5=0,得x=1或x=5,

∴B(1,0),C(5,0).

设切点为E,连接CE,

由题意,得,Rt△ABO∽Rt△BCE.

1+51ABOB∴,即=, BCCE4CE

4解得CE=. 26

4∵以点C为圆心的圆与直线BD相切,⊙C的半径为r=d=. 26

5

又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2,而2>4. 26

则此时抛物线的对称轴与⊙C相离.

(3)假设存在满足条件的点P(xp,yp),

∵A(0,-5),C(5,0),

∴AC2=50,

222222AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+yp+10yp+25,CP=(xp-5)+(yp-0)=xp+yp-10xp+

25.

①当∠A=90°时,在Rt△CAP中,

由勾股定理,得AC2+AP2=CP2,

∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25,

整理,得xp+yp+5=0.

∵点P(xp,yp)在抛物线y=-x2+6x-5上,

∴yp=-x2p+6xp-5.

∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0,

解得xp=7或xp=0,∴yp=-12或yp=-5.

∴点P为(7,-12)或(0,-5)(舍去).

②当∠C=90°时,在Rt△ACP中,

由勾股定理,得AC2+CP2=AP2,

∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25,

整理,得xp+yp-5=0.

∵点P(xp,yp)在抛物线y=-x2+6x-5上,

∴yp=-x2p+6xp-5,

∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0,

解得xp=2或xp=5,∴yp=3或yp=0.

∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)

综上所述,满足条件的点P的坐标为(7,-12)或(2,3).第二部分

6 空间与图形

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