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二次函数的实际应用

发布时间:2014-05-28 14:04:29  

二次函数的实际应用

在生活实践中,人们经常面对带有“最”字的问题,如在一定的方案中,花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等;解数学题时,我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题,这就是我们要讨论的最值问题。

知识要点:

b24ac?b2

)?二次函数的一般式y?ax?bx?c(a?0)化成顶点式y?a(x?,2a4a2

如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).

4ac?b2b即当a?0时,函数有最小值,并且当x??,y最小值?; 2a4a

4ac?b2b当a?0时,函数有最大值,并且当x??,y最大值?. 2a4a

如果自变量的取值范围是x1?x?x2,如果顶点在自变量的取值范围x1?x?x2

4ac?b2b内,则当x??,y最值?,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变2a4a

量的取值范围内的增减性;如果在此范围内y随x的增大而增大,则当x?x2时,

2y最大?ax2?bx2?c,当x?x1时,y最小?ax12?bx1?c;

2如果在此范围内y随x的增大而减小,则当x?x1时,y最大?ax1?bx1?c,当

2x?x2时,y最小?ax2?bx2?c

求最值的问题的方法归纳起来有以下几点:

1.运用配方法求最值;

2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值;

3.建立函数模型求最值;

4.利用基本不等式或不等分析法求最值

利润最大(小)值问题

经常出现的数据:商品进价;商品销售量;商品售价 销售量变化率;其他成本。 ? 单价商品利润=商品定价-商品售价

? △(价格变动量)=商品定价-商品售价 (或者直接等于商品调价); ? 销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格;

? 总利润(W)=单价商品利润×总销售量-其他成本

总利润(W)?(商品定价?商品售价1)?[商品销售量1???

[例1]:求下列二次函数的最值:

(1)求函数y?x?2x?3的最值. 2销售量变化]?其他成本单位价格变动

[例2]:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

[练习]:1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?

2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?

[例3]: 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:

若日销售量y是销售价x的一次函数.

⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;

⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

3.(2006十堰市)市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30?元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y(千克)?与销售单价x(元) (x?30)存在如下图所示的一次函数关系式.

⑴试求出y与x的函数关系式;

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销

售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?

⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480

元,?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮

助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案).

4.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000 kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式.

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润-收购总额)?

5.(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州

委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元) .

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?

(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?

6.(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y?

价,12x?5x?90,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售10

,请你用含的代数式表(万元)均与满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用) (1)成果表明,在甲地生产并销售吨时,示甲地当年的年销售额,并求年利润(万元)与之间的函数关系式;

(为常数),且在乙地当(2)成果表明,在乙地生产并销售吨时,年的最大年利润为35万元.试确定的值;

(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得

面积最大(小)值问题

[例1]:在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q两点同时出发,分别到达B、C两点后就停止移动.

(1)运动第t秒时,△PBQ的面积y(cm2)是多少?

(2)此时五边形APQCD的面积是S(cm2),写出S与t的函数关系式,并指出自变量的取值范围.

(3)t为何值时s最小,最小值时多少?

[例2]:小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门(木质).花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大?

中考预备题

1. 为了迎接旅游旺季的到来,某风景区家庭加工点准备刺绣A种面料380平方米,B种面料360平方米。

(1) 如果该加工点安排15人分成两组分别刺绣这两种面料。刺绣A种面料的一组每人

每天能绣19平方米,刺绣B种面料的一组每人每天12平方米,则怎样安排人数才能使两组同时完成各自的刺绣任务?

(2) 该加工点把完成的刺绣面料加工成男女两种服装共300套,加工一套男装和女装所

需的面料及产生的利润如下

A种面料(平方米/套) B种面料(平方米/套) 利润(元/套)

男装 1.4 1.1 200

女装 1.0 1.3 150

则该加工点分别生产男女服装多少套才能获得最大利润?并求出最大利润。

2. 某工厂生产一种合金薄板,这些薄板的形状是正方形,边长在5—50之间。每张薄板的

成本价与它的面积成正比例,每张薄板的出厂价由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例,在营销过程中得到了表格中的数据。

薄板的边长(CM) 20 30

出厂价 (元/张) 50 70

(1) 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式;

(2) 已知销售一张边长为40 的薄板,获得的利润是26元

求一张薄板的利润与边长之间的满足的函数解析式。

当边长为多少时,销售一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少

3.(本题10分)某品牌手机去年每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系:

y=-50x+2600,去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系,其中1~6

(1)求p关于x的函数关系式;

(2)求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大?最大是多少万元?

(3)今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%,而销售量也比去年12月份

下降了1.5m%.今年2月份,经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售,这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台.若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元,求m的值.

作业布置:

1.(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:米)与小球运动时间t(单位:秒)的函数关系式是

米 .

,那么小球运动中的最大高度h最大?

2.(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函数的图像上,(如图所示),则6楼房子的价格为 元/平方米.

3.如图所示,在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=x m,长方形的面积为y m2,要使长方形的面积最大,其边长x应为( )

A.245m B.6 m C.15 m D.m 42

4.(2008湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当x取下面哪个数值时,长方体的体积最大( )

A.7 B.6 C.5 D.4

5.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是: y??

1225x?x?,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) 1233B.12 m C.8 m D.10m A.6 m

(图5) (图6) (图7)

6.某幢建筑物,从10 m高的窗口A,用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直,如图6,如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面

落地点B离墙的距离OB是( )

A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m

7.(2007乌兰察布)小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y??

如图7所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是( )

A.4.6m B.4.5m C.4m D

.3.5m

40m,则水流312x?3.5的一部分,5

8.某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围成.若设花园的宽为x(m) ,花园的面积为y(m2).

(1)求y与x之间的函数关系,并写出自变量的取值范围;

(2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少?

9.如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为x米.

(1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m?

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米?比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

11.(2006年南京市)如图,在矩形ABCD中,

AB=2AD,线段EF=10.在EF上取一点M,?

分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形

MFGN,使矩形MFGN∽矩形ABCD.令

MN=x,当x为何值时,矩形EMNH的面积S

有最大值?最大值是多少?

12.(2008四川内江)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米.

13.(2008黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的

矩形场地,矩形面积S(单位:平方米)随矩形一边长x(单位:米)

的变化而变化.

(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值

范围;

(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大?最大面积是多

少?

14.(2008年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润

量成正比例关系,如图12-①所示;种植花卉的利润图12-②所示(注:利润与投资量的单位:万元

) 与投资与投资量成二次函数关系,如

(1)分别求出利润与关于投资量的函数关系式;

(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?

15.(08山东聊城)如图,把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).

(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?

(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;

(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况;如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.

16.(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示),求抛物线的解析式;

(2)求支柱的长度;

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.

[例3]:已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.

[例4]:某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状,并说明理由;

(2)E、F在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?

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