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相似三角形期终复习要

发布时间:2014-05-29 14:09:29  

2013—2014学年第二学期初二期终复习资料(2013版江苏科学技术出版社)

相似三角形期终复习要点(含例题、练习及答案)

一、知识要点:

1、相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形;

应注意:△ABC∽△A?B?C?与△A?B?C?∽△ABC的相似比互为倒数,当k=1时,两个三角形全等。

2、预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三

角形相似,这是今后证明三角形相似的重要依据。

3、三角形相似的判定定理:

定理1:两角对应相等,两三角形相似;定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; 定理3:三边对应成比例,两三角形相似。推论1:斜边和直角边对应成比例,两直角三角形相似; 推论2:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似;

4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。

二、典型例题:

(一)、求线段长或线段比

例1 雨后初晴,一学生在运动场上玩耍,从他前面2m远一块小积水处,他看到了旗杆的倒影,如果旗杆底端到积水处的距离为40 m,该生眼睛的高度是1.5 m,那么旗杆的高度是______.

例2 如图2所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E,若AF: FD=1:3,则AE:EB=___________;若AF:FD=1:n(n>0),则AE:EB=________.

(二)、求周长与面积或周长与面积比

例3 如图,已知:△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ//AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上.

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(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;

例4 如图3所示,在□ABCD中,E为DC边的中点,AE交BD于D.若S△DOE=9 cm2,则S△AOB等于( )

(A)18 cm2 (B)27 cm2 (C)36 cm2 (D)45 cm2

(三)、证明比例线段

例5 如图4所示,已知正方形ABCD中,O是AC与BD的交点,∠DAC的平分线AP于点P,∠BDC的平分线DQ交AC于点Q,求证:

(四)、实际应用举例

例6 如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,他发现教学楼后面有一水塔DC,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”心里很是纳闷,经过了解,教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m,它们之间的距离为30 m,小张身高为1.6 m,小张要想看到水塔,他与教学楼之间的距离至少应有多少米?

BDAP?. CDBQ

三、易混淆概念

1、比例线段的相关概念

在四条线段a,b,c,d中,如果a和b的比等于c和d的比,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a是b,c,d的第四比例项,那么应得比例式为:bdac?.②在比例式?(a:b?c:d)中,a、d叫比例外项,b、c叫比例内项, a、c叫比例前项,b、cabd

d叫比例后项,d叫第四比例项,如果b=c,即 a:b?b:d那么b叫做a、d的比例中项, 此时有b?ad。

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黄金分割:把线段AB分成两条线段AC,BC(AC?BC),且使AC是AB和BC的比例中项,即AC2?AB?BC,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中

AC?0.618AB.即

5?1AB≈2长短1ACBC1 简记为:= ??ABAC2全长2

0注:黄金三角形:顶角是36的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形

2、比例的性质

合、分比性质:aca?bc?d???. bdbd

等比性质:如果a?c?e???maacem?. ?????(b?d?f???n?0),那么b?d?f???nbbdfn

3、位似图形

(1) 位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点.

(2) 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.

(3) 位似图形的对应边互相平行或共线.

(4) 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形.

注:①位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,

或在图形上(图形边上或顶点上)。②外位似:位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“外位似”(即同向位似图形)③内位似:位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“内位似”(即反向位似图形)。

(5) 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点O为位似中心,相似比为k(k>0),原图形上点的坐标为(x,y),那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

(1)平行线型相似

四、基本图形

1、相似三角形的几种基本图形:

(1)如上图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)

(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

(3)如图:称 “垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)

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(3)图 (4)图

(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。

2、基本图形的具体应用:

(1)若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽△ABC

(2)射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)

222则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB,CD=AD·BD,BC=BD·AB;

(3)满足①AC=AD·AB,②∠ACD=∠B,③∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB. 2(4)当ADAE?或AD·AB=AC·AE时,△ADE

∽△ACB. AC

练习:

一、填空题

1、如图1,E是平行四边形ABCD的一边BA延长线上的一点,CE分别交AD、BD于F、G,图中共有______对相似三角形,按照对应顺序写出图中的相似形_________________________________________.

2、一个三角形的三边分别为8cm、6cm、12cm,另一个与它相似的三角形最长边为6cm,则其余两边为________

3、已知,如图2,,在△ABC中,DE//BC,AD=EC,BD=1cm,AE=4cm,BC=5cm,DE=____

4、如图3、AB//CD//EF,则图中相似三角形的对数为_____

5、已知:如图4,在△ABC中,∠BAC的外角平分线交BC于D,过D作AB的平行线交AC于E,若AB=m,

AC=n,则DE=_____

6、如图5,在△ABC中,AB=5cm,AC=4cm,AD是∠BAC的外角平分线,DE//AB交AC的延长线于点E,那

么CE=____

7、如图6、AD、BE是锐角△ABC的两条高,AD=BD连接DE,若DE:AB=1:2,则∠C的度数为_____

8、若P为△ABC(AB>AC)的边AB上一点,则添加一个条件使△ACP∽△ABC,那么这样的条件是___

__或_____或_____

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9、如图7,四边形ABCD、DCEF、EFHG是三个正方形,则?1??2??3?________

10、如图8,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O点,E是BC的中点,DE交AC于F,若DE=12,则EF=

____

二、选择题

1、如图9,在梯形ABCD中,AD//BC,且AC、BD相交于点O,过O点作EF//AD分别交AB、CD于E、F,

则图中有相似的三角形的对数为????????????( )

A、5 B、4 C、3 D、2

2、如图10,在△ABC中,中线CD、BE相交于点O,P、Q分别是BE、CD的中点,则PQ:BC=( )

A、1:2 B、1:3 C、1:4 D、1:6

3、下列说法中:①全等三角形都是相似三角形;②相似三角形都是全等三角形③所有等边三角形都相似;④所有等腰三角形都相似;⑤所有直角三角形都相似;⑥所有等腰直角三角形都相似,其中正确的个数是??.( ) A、6个 B、4个 C、3个 D、2个

4、已知△ABC∽?A?B?C?,且BC:B?C??AC:A?C?若AC?3,A?C??1.8,则?A?B?C? 与△ABC的相似比为????.( )A、2:3 B、3:2 C、5:3 D、3:5

5、在直角三角形中,两直角边分别为3、4,则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为????( )

A、25:12 B、5:12 C、5:4 D、5:3

6、如图11,在相似的直角三角形中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=6,AD=2,则AB的长为??( )

A、3 B、32 C、3或32 D、以上都不对

7、如图12,?AOB?900,OA?OB?BC?BD.则下列结论一定成立的是?????????( )

A、△OAB∽△OCA B、△OAB∽△ODA C、△BAC∽△BDA D、△OAC∽△ODA

8、下列四个命题中,真命题的个数为????????????????( )

①如果一个三角形的两边与夹角的角平分线同另一个三角形的两边与夹角的角平分线对应成比例,那么这两个三角形相似;②如果一个三角形的两边与第三边上的中线同另一个三角形的两边与第三边上的中线对应成比例,那么这两个三角形相似;③如果一个三角形的两边与第三边上的高同另一个三角形的两边与第三边上的高对应成比例,那么这两个三角形相似;④两个等边三角形相似。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

9、如图,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,角平分线AE交CD于H,EF⊥AB于F,则下列结论中不正确的是?????????( )A.∠ACD=∠B;B.CH=CE=EF;C.CH=HD;D.AC=AF

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10、下列四个命题中,真命题的个数为??????????????????( )

①,平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似;②,如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似;③,如果一个三角形的两边与其中一条边上的中线与另一个三角形的两边及其中一条边上的中线对应成比例,那么这两个三角形相似;④,如果一个三角形的两边及第三边上的高与另一个三角形的两边及第三边上的高对应成比例,那么这两个三角形相似

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

三、解答题

1、如图,已知∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB;求证:△ABC∽△DBE

2、已知:如图,D是AC边上一点,AD:DC=1:2,E是BD上一点,BE:ED=1:2, AE的延长线交BC于F,求BF:FC的值。

3、如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AF与DE交于点M,DF与BE交于点N,求证:MN//AB。

(第1题图) (第2题图) (第3题图)

4、如图,等腰Rt△ABC中,AB=2,∠A=90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且EF⊥BE。

求△CEF的面积。

5、如图,正方形ABCD中,M是AD的中点,以M为顶点作∠BMN=∠MBC,MN交CD于N。求证:DN=2NC。

(第4题图) (第5题图) (第6题图)

6、如图(1),在△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、AC边上的点,过D作DG//BC EH//CA、FI//AB。 ①求证:△HIG∽△ABC;②如图(2),如果将题目已知中的平行变为DG⊥AB,EH⊥BC,FI⊥CA,那么 △HIG与△ABC相似还成立吗?请证明你的结论。

7、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,CE的延长线交AB于F,FG//AC

交AD于G。求证:FB=2CG

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(第7题图)

8、阅读下面材料,并回答所提出的问题。三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得

的两条线段和这个角的两边对应成比例。

已知:如图,△ABC中,AD是角平分线。求证:

分析:要证BDAB? DCACBDAB?,一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似,现在B、DCAC

BDAB?D、C在一直线上,△ABD与△ADC不相似,需要考虑别的方法换比。在比例式中,AC恰好是DCAC

BD、DC、AB的第四比例项,所以考虑过C作CE//AD,交BA的延长线于E,从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE,这样,证明

A、数形结合思想 B、转化思想 C、分类讨论思想

(3)、用三角形内角平分线性质定理解答问题:

已知:如图,△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长

BDAB?就可以转化成证AE=AC。 DCAC

DECF?BDEF。9、如图,在△ABC中,AB=AC,直线DEF分别交AB、BC于D、E,交AC的延长线于F,求证:

10、如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,且AB⊥AC,高DE交AC于F点,BA、ED的延长线交于点G,求证:DE?EF?EG

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(9题图) (10题图) (11题图)

11、如图,已知AD、BE是△ABC的两条高,∠C=60°,F是AB的中点。求证:DE=DF

12. 下列俗语或成语与盲区无关的是( )

(A)井底之蛙 (B)一叶障目 (C)站得高,看得远 (D)鼠目寸光

13. 如图,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,则桶内油面的高度为( )

(A)0.9米 (B)0.8米 (C)0.7米 (D)0.6米

(13题图) (14题图)

14. 如图,路灯距地面8米,身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处,沿OA所在的直线行走14米到点B时,人影的长度( )

(A)增大1.5米 (B)减小1.5米 (C)增大3.5米 (D)减小3.5米

15. 下列结论中正确的有_________.

①走上坡时的盲区比走下坡时的盲区大;

②从船上向前看,在船前的盲区比船中的盲区大;

③将会场建成阶梯式,可减小与会人员的盲区;

④古人云:“站的高,望的远”,同一位置,高处比低处盲区小.

16. 如图,在离树AB 3米远处竖一长为2米的杆子CD,站在离杆子1米远的

EF处的人刚好越过杆顶C看到树顶A,已知EF高1.5米,则树高为______.

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17. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为______米.

18、如图,小莉发现垂直地面的电线杆AB的影子落在地面上和斜坡上,经测得BC=20米,CD=8米,CD与地面成30°角.此时垂直于地面的1米长的标杆的影长为2米,求电线杆的高.

19、如图所示,点D在△ABC的边AB上,满足怎样的条件时,△ACD与△ABC相似?试分别加以列举.

20、如图所示,已知△ABC中,AD是高,矩形EFGH内接于△ABC中,且长边FG在BC上,矩形相邻两边的比为1:2,若BC=30cm,AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

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