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解分式方程(组)的若干技巧By初二1班的胡蔡劼51号

发布时间:2014-06-03 14:32:15  

解分式方程(组)的若干技巧

初二(1)班 胡蔡劼 51号

解分式方程(组),初中二年级代数课本上只介绍了两种常规的方法:“去分母”和“换元法”。但有时会遇到十分复杂的分式方程(组),若用这两种基本方法做就可能会加大计算量,使解题变得繁琐。现在我就向大家介绍几种在解分式方程(组)时可用到的技巧。【移项化简法、各式化简法、添项化简法、构造方程(组)法、倒数方程法、倒数法】

(1)移项化简法

例1、解方程 2534 + = + x+8x+9x+15x+6

思考:本题若两边通分,会很麻烦,考虑可用“移项化简法”。 解:原方程可化为 2345=x+8x+15x+6x+9

6-x6-x = (x+8)(x+15)(x+6)(x+9)

当x=6时,(x+8)(x+15)(x+6)(x+9)≠0

当x≠6时,则原方程可化为(x+8)(x+15)=(x+6)(x+9)

解得x=-33 4

33经检验,x=6或x=-均为原方程的根。 4

这种方法适用于加法较多、运算量大的分式方程(组),若各项分子皆为1,则可利用公式使计算更简便。

(2)各式化简法

x-7x-3x-4x-6例2、解方程 + = + x-9x-5x-6x-8

经观察,在每个分式中,分母都比分子少2,即可先把各个分式化简。 解:原方程可化为 1+2222=1+x-9x-5x-6x-8

2x-142x-14=x2-14x+45x2-14x+48

显然,当2x-14=0时,分母皆不为零,则x=7

而当2x-14≠0时,原方程无解

∴原方程解为x=7

例3、解方程 x+12x-33x-7 + = x-1x+2x-2

若方程两端直接乘以最简公分母,容易出错,观察到方程中分子与分母都是关于x的同次式,所以可以用各式化简法。

解:原方程可化为 (x-1)+22(x+2)-73(x-2)-1=x-1x+2x-2

2711+=3-x-1x+2x-2

217=0 x-1x-2x+2

32x2-11x+12=0 解得x=4或x= 2

3经检验,x=4或x= 都是原方程的解。 2

这种方法虽可以减少计算量,但一般却不易发现,可以看分子与分母的比来决定用否。

(3)添项化简法

例4、解方程 2x-32x-62x-42x-5=x+3x+6x+4x+5

发现 (2x-3)+(x+3)= (2x-6)+(x+6)= (2x-4)+(x+4)= (2x-5)+(x+5)=3x 解:原方程可化为 1+2x-32x-62x-42x-5 +1+ =1+ +1+ x+3x+6x+4x+5

3x3x3x3x + = + x+3x+6x+4x+5

3x3x3x3x - = - x+3x+4x+5x+6

3x3x = (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)

若3x=0,则x=0,分母都不为零。

9若3x≠0,则(x+3)(x+4)= (x+5)(x+6) 解得x=- 2

9经检验,x=0或x=- 均为原方程之解。 2

此法也属于各式先化简法的一类,但比较特殊,各式的分子与分母相加为同一值时可用。

(4)构造方程(组)法

例5、解方程 111x2+11x-8x2+2x-8x2-13x-8

观察出每式分母都含x2-8,即可构造方程组。

解:设x2-8=y,则原方程可化为方程组

x2-8=y ①

111 + + =0 ② ②可化为3y2-147x2=0, y+11xy+2xy-13x

解得y=±7x ③

把③再代入①,分别解得x=-1,x=8,x=1,x=-8

经检验,x=±1,x=±8均为原方程的解。

例6、解方程 8(x2+2x)3(x2-1)x2-1x2+2x

从题中可以看出第一项去掉系数与第二项去掉系数互为倒数,则可构造方程。

解:设 8(x2+2x)3(x2-1),,则有m+n=11,m·n=24。 x2-1x2+2x

解得m1=3,n1=8或m2=8,n2=3。

由m1=3得8(x2+2x)1 =3,解得x1=-3,x2=-x2-15

8(x2+2x)1由m2=8得 =8,解得x3=- x2-12

同理可知,当n1=8,n2=3时,与上面相等。

11经检验,x=-3,x=-,x=-都是原方程的解。 52

构造方程(组)法一般都要先换元,所以遇到换元时要注意能否用此法。

(5)倒数方程法

zz初二课本中有一题曰:“解关于x的方程x+ =y+ ”,像这样的方程我们把xy

z它称作倒数方程,它的两根为x1=y,x2= 。利用它可以使许多方程解起来更为y

简便、快捷。

例7、解方程 3xx2-15 + = x2-13x2

观察可发现3xx2-151与 互为倒数,再仔细看也可发现可拆为2+ x2-13x22

3xx2-11x2-13x2解:原方程可化为

3x3x1利用公式,∴或 x2-1x2-12

1解之,得x1=-,x2=2,x3=3+10 ,x4=3-10 2

1经检验,x1=- ,x2=2,x310 ,x4=3-10 均为原方程的根。 2

例8、解关于x的方程 x+11 =a+ x-1a-1

观察可发现能用添项法来构造公式解题。

解:原方程可化为 (x-1)+11(a-1)+x-1a-1

1a∴x-1=a-1 或 x-1=解得x1=a,x2= a-1a-1

经检验,x1=a,x2=a均为原方程的根。 a-1

20例9、解方程 x2+3x- =8 x2+3x

本题关键在怎样把8分为 y+-20的形式 y

解:原方程可化为 x2+3x+

-20-2-20-20=-2+x2+3x2∴x2+3x=-2或x2+3x=

∴x1=-1,x2=-2,x3=2,x4=-5

经检验,x1=-1,x2=-2,x3=2,x4=-5均为原方程解。

(6)倒数法

有的分式方程组,若硬去通分,则效率低,先用倒数试试也许就能化难为易。 例10、解方程组

xyzx+y

xyz6y+z5

xyz3x+y2

原方程乍一看很繁,但若做成倒数则可约分化简。

解:原方程可化为

111① yzxz2

115② xzxy6

112③ xyyz3

①+②+③111,得④ 2xyyzxz

④分别减去①、②、③,得11⑤ xy2

11⑥ yz6

11⑦ xz3

⑤×⑥×⑦ ,得11±⑧ xyz6

再用⑤、⑥、⑦分别除以⑧,得,例11、解方程组

4x2 =y 1+4x2

4y2 =z 1+4y2

4z2 =x 1+4z2

解:当xyz≠0时,原方程可化为11 +1= ① 4x2y

11 +1= ② 4y2z

11 +1= ③ 4z2x

①+②+③,整理得(111-1 )2+(-1 )2+(-1 )2=0 2x2y2z

1根据平方数的非负性,得x=y=z=;当x=y=z=0时,显然也可满足原方程2

组。

1∴原方程组的解为x=y=z=或x=y=z=0 2

总结:解分式方程(组)的技巧还很多,但差不多都是上述几种方法的穿插用法。若能熟练掌握解分式方程(组)的方法,并仔细观察、灵活运用,朝着“分式方程(组)→整式方程(组)”的方向探索,就可又快又好地解分式方程(组)了。

Edited by hcj0131

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