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新华师版——菱形的定义、性质

发布时间:2014-06-05 11:42:58  

§19.2 .1

菱形的定义、性质

菱形

情 景 创 设

前面我们学习了平行四边形 和矩形,知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)

如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?

在平行四边形中,如果内角大小保持不变,仅 改变边的长度,请仔细观察和思考,在这变化过程 中,哪些关系没变?哪些关系变了?
平行四边形 邻边相等
菱形

如果改变了边的长度,使两邻边相等,那么 这个平行四边形成为怎样的四边形?

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD



四边形ABCD是菱形

菱形的性质

如何利用折纸、剪切的方法,既快又准 确地剪出一个菱形的纸片?
有同学是这样做的:将一张长方形的纸对 折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,打 开即可.你知道其中的道理吗?

(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是,有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?

菱形是中心对称图形

A B D

菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、 面积等方面来探讨

C

菱形的性质:
菱形是特殊的平行四边形,具有平行四 边形的所有性质.
由于平行四边形的对边相等, 而菱形的邻边相等, 故: 菱形的性质1: 菱形的四条边都相等。 又:

A B

D

菱形的性质2:
菱形的两条对角线互相垂 直,并且每一条对角线平 分一组对角。

C

命题:菱形的对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角;
已知:菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,如下图,
求证:AC⊥BD ;
AC平分∠BAD和∠BCD ;BD平分∠ABC和∠ADC

证明:∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的四条边都相等) 在△ABD中,

A

D

O
C

又∵BO=DO ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD B 同理: AC平分∠BCD; BD平分∠ABC和∠ADC

D



菱形的两组对边平行且相等 A

O B 数学语言

C

菱形的四条边相等

菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形



菱形的邻角互补

DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线

∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =

=

菱形的两条对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角。

例 1 :如图 , 在菱形 ABCD 中,∠ BAD = 2∠B,试 求出∠B的大小,并说明△ABC是等边三角形。
解:在菱形ABCD中,
∠B+∠BAD=180° 又已知 ∠BAD=2∠B B A

D

可得
又∵

∠B=60°
AB=BC C

所以 △ABC是一个角为60°的等腰三角 形,即为等边三角形。

让我们一同走进生活中的菱形

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