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8.2 消元——二元一次方程组的解(2)(用代入法、加减法解二元一次方程组)

发布时间:2014-06-05 13:55:50  

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8.2 消元(二)(第一课时)

一、知识与技能目标

1.用代入法、加减法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.

3.会用二元一次方程组解决实际问题.

4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.

5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,?进一步提高解方程组的技能.

二、过程与方法目标

1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,?了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯.

2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.

三、情感态度与价值观目标

1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想,从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信息。

2.培养学生合作交流,自主探索的良好习惯。

3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养应用数学的意识。

4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣。

新授课:

一、创设情境,导入新课

甲、乙、丙三位同学是好朋友,平时互相帮助。甲借给乙10元钱,?乙借给丙8元钱,丙又给甲12元钱,如果允许转帐,最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱,欠多少?

二、师生互动,课堂探究

(一)提高问题,引发讨论

?x?y?22 我们知道,对于方程组?可以用代入消元法求解。 2x?y?40?

这个方程组的两个方程中,

y的系数有什么关系??利用这种关系你能发现新的消元方法吗?

(二)导入知识,解释疑难

1.问题的解决

上面的两个方程中未知数y的系数相同,②-①可消去未知数y,得(2x+y)-(x+y)=40-22 即x=18,把x=18代入①得y=4。另外,由①-②也能消去未知数y,?得(x+y)-(2x+y)=22-40 即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.

?4x?10y?3.6 2.想一想:联系上面的解法,想一想应怎样解方程组?

?15x?10y?8

未知数x的值。

解:由①+②得 19x=11.6 x= 分析:这两个方程中未知数y的系数互为相反数,?因此由①+②可消去未知数y,从而求出58 95

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58?x??589?95 把x=代入①得y=- ∴这个方程组的解为? 99595?x???95?

3.加减消元法的概念

从上面两个方程组的解法可以发现,把两个二元一次方程的两边分别进行相加减,就可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

4.例题讲解

?3x?4y?16 用加减法解方程组? 5x?6y?33?

分析:这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同,直接加减两个方程不能消元,试一试,能否对方程变形,使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。

解:①×3,得 9x+12y=48 ③

②×2,得 10x-12y=66 ④

③+④,得 19x=114

x=6

把x=6代入①,得3×6+4y=16 4y=-2, y=-1 2

?x?6? 所以,这个方程组的解是?1 y????2

议一议:本题如果用加减法消去x应如何解?解得结果与上面一样吗?

解:①×5,得 15x+20y=80 ③

②×3,得 15x-18=99 ④

③-④,得 38y=-19 y=-

把y=-1 211代入①,得3x+4×(-)=16 22

3x=18

x=6

?x?6? 所以,这个方程组的解为?1 y????

2

2

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如果求出y=-

5.做一做 11后,把y=代入②也可以求出未知数x的值。 22

?2x?3y2x?3y??7??43 解方程组?

?2x?3y?2x?3y?8?2?3

分析:本题不能直接运用加减法求解,要进行化简整理后再求解。

?14x?3y?84 解:化简方程组,得?

?10x?3y?48

③-④,得4x=36

x=9 把x=9代入④(也可代入③,但不佳),得

10×9-3y=48

-3y=-42

y=14

?x?9 ∴这个方程组的解为? y?14?

点评:当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+?3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B?为未知数的二元一次方程组.

6.想一想

(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?

(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?

师生共析:

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,?可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,?可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.

第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,?合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,?常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

(三)归纳总结,知识回顾

本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”

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作业:

1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.

?3x?2y?15 (1) ?消元方法_________. ?

5x?4y?23

?7

m?3n?1 (2) ?消元方法_________. 2n?3m??2?2.用加减法解下列方程组:

(1) ??4x?y?2?3x?2y??1 (2) ?

?4x?3y??6?x?4y??7

?3x?2y?5?x?4y?9 (3) ? (4) ? 4x?3y?1x?4y?10??

参考答案

1.(1)①×②-②消去y (2)①×2+②×3消去n

19?x???x?0?x?1?x?1?2 2.(1) ? (2) ? (3) ? (4) ? 1y??2y??1y?2????y???8?

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