haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

全等

发布时间:2013-09-28 11:38:40  

一.全等三角形:
1:什么是全等三角形?一个三角形经过哪些变 化可以得到它的全等形?
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角 形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2:全等三角形有哪些性质?
(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2)全等三角形的周长相等、面积相等。

(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 线分别相等。



知识回顾:
1、(SSS定理)如图:△ABC与△DEF中 ∵
? ? __________ _________ AB DE ? ? BC EF ? __________ _________ ? __________ __________ ? AC DF ?

∴△ABC≌△DEF( SSS )

语言概述: 两边对应相等,两三角形全等。

知识回顾:
2、(SAS定理)如图:△ABC与△DEF中

? ? __________ _________ AB DE ? ∠B ? ∠E ? __________ _________ ? __________ __________ ? BC EF ?

∴△ABC≌△DEF(

SAS ) 两边及夹角对应相等,两三角形全 语言概述: 等。

知识回顾:
3、(ASA定理)如图:△ABC与△DEF中

? ? __________ _________ ∠ A ∠ D ? AB ? DE ? __________ _________ ? __________ __________ ? ∠ E ? ∠ B

三边及夹角对应相等,两三角形全 语言概述: 等。

∴△ABC≌△DEF( ASA )

知识回顾:
4、(AAS定理)如图:△ABC与△DEF中

? ? __________ _________ ∠ A ∠ D ? ? ∠ E ∠ B ? __________ _________ ? __________ __________ ? BC EF ?

∴△ABC≌△DEF( AAS )

语言概述: 两角及其中一条对应相等,两三角形全等。

知识回顾:
5、(HL定理)如图:Rt△ABC与Rt△DEF中 , ∠ A= ∠ D=90°



BC EF ? ? __________ _________ ? ? __________ _________ AB ? DE ? __________ __________ ? ?

∴ Rt △ABC≌ Rt △DEF( HL )

语言概述:斜边及一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等。

知识回顾:

包括直角三角形

一般三角形 全等的条件:

1.定义(重合)法; 种解 2.SSS; 方题 不包括其它形 法 中 3.SAS; 常 状的三角形 用 4.ASA; 的 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件: HL.
4

知识回顾:
边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成

“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写 成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简 写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (可简写成“AAS”) 斜边.直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等(可简写成“HL”)

方法指引:
证明两个三角形全等的基本思路:
找第三边 (SSS)

(1)已知两边----

找夹角

(SAS)

找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 找这个角的另一个边(SA

S) 找这边的对角 (AAS) 已知一边和它的对角 找一角(AAS) 已知角是直角,找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)

(2)已知一边一角---

(3)已知两角---

4:全等三角形的性质 ∵△ABC≌△DEF ∴AB= ,AC= ,BC= , ∠A= ,∠B= ,∠C= ; ①全等三角形的对应边 的对应角 ②全等三角形的周长 、面积 对应边上的对应 、 等。

全等三角形


、 分别相

二.全等三角形的性质与判定定理的运用举例 1、如图1,已知△ABE≌△DCE,AE=2cm,BE=1.5cm, ∠A=25°∠B=48°;那么DE= cm,EC= cm, ∠C= 度;∠D= 度;
B E D C
(第1小题)

A

2、如图2,已知,∠ABC=∠DEF,AB =DE,要说明△ABC≌△DEF, (1)若以“SAS”为依据,还须添加 的一个条件为 ; (2)若以“ASA”为依据,还须添加 的一个条件为 ; (3)若以“AAS”为依据,还须添加 的一个条件为 ;

(第2小题)

4、如图4,平行四边形ABCD中,图中的全等三角形 是 ;

如图3

4、如图4,已知∠CAB=∠DBA,要使△ABC≌△BAD ,只需增加的一个条件是 ;(只 需填写一个你认为适合的条件)

如图4

5、分别根据下列已知条件,再补充一个条件使得 下图中的△ABD和△ACE全等; (1)AB=AC,∠A=∠A, ; (2)AB=AC,∠B=∠C ; (3)AD=AE, ,DB=CE.

如图5

6、如图,AC=BD,BC=AD,说明 △ABC和△BAD全等的理由. 证明:在△ABC与△BAD中, ∵
? _______ ? _______ ? ??????????? ? ? ? ??????????? ? ? _______ ? _______ ? ? ? ________ ? __________ ?

如图6

∴△ABC≌△BAD(



7、如图, CE=DE,EA=EB,CA=DB, 求证:△ABC≌△BAD. 证明∵CE=DE, EA=EB ∴ = 在△ABC和△BAD.中, ∵ ?_______? ______ ?已知?
? ?已证? ? ________? _______ ? ________? __________ ? ?

?

∴△ABC≌△BAD.(



三.课堂小结

1、如图1,已知AC=AB,∠1=∠2;求证:BD=CE 2、如图2,点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点,△AMD 和△BMC全等吗?为什么? 3、如图3,已知:如图,AB∥CD,AB=CD,BE∥DF; 求证:BE=DF;

如图1

如图2

如图3

练习
1、如图:在△ABC中,∠C =900,AD平分∠ BAC,DE⊥AB交AB于E,BC=30,BD:CD=3:2, 12。 则DE=

c
D

A

E

B

2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证 :点P到三边AB、BC、CA的距离相等
A 证明:过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC ND 于E,PF⊥AC于F M F

∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM B 上, E ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

P

C

3.如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相 交于点F, 求证:点F在∠DAE的平分线上.
证明: 过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD 于H,FM⊥BC于M ∵点F在∠

BCE的平分线上, FG⊥AE, FM⊥BC M G

∴FG=FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上, FH⊥AD, FM⊥BC ∴FM=FH ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上

4.已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B, C,D在一条直线上求证:BE=AD
证明: ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 E

A

∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA

B

C

D

在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD

变式:以上条件不变,将
△ABC绕点C旋转一定角度 (大于零度而小于六十度), 以上的结论海成立吗?

5.如图,已知E在AB上,∠1=∠2, ∠3=∠4, 那么AC等于AD吗?为什么?
C 3 A E 4 D 1 2 B

解:AC=AD

理由:在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4

EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD

6.如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中 有那几对全等三角形?请任选一对给予证明。
E F C B

答:
D

△ABC≌△DEF

A

证明: ∵ AB∥DE
∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D

AB=DE
∴ △ABC≌△DEF (SAS)

7.如图,已知,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再 选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个 正确的命题。(只写出一种情况)①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知: EG∥AF 求证:
E
B G D C F

A

拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.

求证:BC∥EF
E D

F

A B C

拓展题

9.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA, CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法: 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段,然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 (割)

A

B

2、把一个三角形移到另一位置, 使两线段补成一条线段,再证明 它与长线段相等。(补)

10.如图:在四边形ABCD中,点E在边CD上,连接AE、BE并延长AE交BC的延长 线于点F,给出下列5个关系式::①AD∥BC,②,DE=EC③∠1=∠2,④ ∠3=∠4,⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知,另外两个作为结论 ,构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题:(书写形式:如果 ……那么……)(1) ;(2) ;

A 2 1

D

E 3 B 4 (第18题) C F

11.如图,在R△ABC中,∠ACB=450,∠BAC=900 ,AB=AC,点D是AB的中点,AF⊥CD于H交BC于F ,BE∥AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且 平分DE.

12.已知:如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB 两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上 截取CG=AB,连结AD、AG。 求证:△ ADG 为等腰直角三角形。
A G F D H C E

B

13.已知:如图21,AD∠BAC,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,DB=DC, 求证:EB=FC


结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1)要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角” 与 “对角”的不同含义; (2)表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字 母要写在对应的位置上; (3)要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其 中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4)时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com