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12.2.1 三角形全等的判定SSS

发布时间:2013-09-28 11:38:42  

§11.2 三角形全等的判定(一)
A E

B

F

C

1、 什么叫全等三角形?
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF,找出其中相等的边与角
A D

B

C

E

F

①AB=DE ④∠A= ∠D

② BC=EF
⑤∠B=∠E

③ CA=FD

⑥∠C=∠F

A

D

B

①AB=DE

② BC=EF

C

E

③ CA=FD

F

④ ∠A= ∠D

⑤ ∠B=∠E

⑥ ∠C= ∠F

思考:
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗? 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ DEF吗?

1.只给一个条件
①.只给一条边时; ②.只给一个角时;
45? 45?

3㎝

3㎝

结论:只有一条边或一个角对应相等的两 个三角形不一定全等.

2.如果满足两个条件,你能说出有哪 几种可能的情况?
①两边;

②一边一角;
③两角。

①如果三角形的两边分别为4cm,6cm 时

4cm

4cm

6cm

6cm

结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.

②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:

30? 4cm

30? 4cm

结论:一条边一个角对应相等的两个三
角形不一定全等.

③如果三角形的两个内角分别是30°,45°时

30? 45?

30?

45?

结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.

一个条件 ①一角; ②一边;

两个条件 ①两角; ②两边; ③一边一角。

结论:只给出一个或两个条件时,都 不能保证所画的三角形一定全等。

探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件,你能说出有 哪几种可能的情况?
①三角;

②三边;
③两边一角; ④两角一边。

⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°, 60° ,90° 它们一定全等吗?

300

60o

60o

60o

结论:
三个内角对应相等的三角形不一定全等。

⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、 4cm、6cm 。它们一定全等吗? 3cm
6cm 4cm 6cm 3cm 4cm 6cm 3cm 4cm

上述结论反映了什么规律?

【边边边公理】一般地,有三边对 应相等的两个三角形全等. 可以简写成“边边边”或“SSS” (S—边)
【注】 这个定理说明,只要三角形的三边 的长度确定了,这个三角形的形状和大小 就完全确定了,这也是三角形具有稳定性 的原理。

如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢

A

几何语言:
C B’

A’

B

C’

在△ABC和△A'B'C'中
AB=A’B’ BC=B’C’ AC=A’C’ ∴ ABC ≌ A'B'C' (SSS)

过判 程断 ,两 叫个 做三 证角 明形 三全 角等 形的 全推 等理 。

?

例1 如图, △ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接A 与BC中点D的支架,求证: △ABD≌△ACD 求证:∠B=∠C。 证明:∵D是BC的中点
A C D

∴BD=CD

B

在△ABD与△ACD中 AB=AC(已知) BD=CD(已证) AD=AD(公共边) ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠B=∠C,

证明的书写步骤:
①准备条件:证全等时要用的条件要先 证好; ②

三角形全等书写三步骤:
写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论

练习: 已知:如图,AB=AD,BC=DC, 求证:△ABC≌ △ADC

证明:在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) B BC=DC ( 已知 ) AC = AC (公共边 ) ∴ △ABC ≌ △ADC(SSS)

A

D

C

1、填空题: (1)如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等? 试说明理由。 A D 解: △ABC≌△DCB 理由如下: AB = CD
=
Ⅴ Ⅴ

=

B

C

AC = BD

△ABC ≌ △DCB SSS ( A
= × ×

) E
=

BC = CB
(2)如图,D、F是线段BC上的两点, AB=CE,AF=DE,要使△ABF≌△ECD ,

还需要条件 BF=CD 或 BD=FC

B

D

F

C

例:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,
D C

请问△ABD≌△CDB吗?∠A=∠C吗.请说明理由。

解:在 △ ABD和△CDB中
AB=CD (已知)

AD=CB
BD=DB

(已知)
(公共边) A B

ABD ≌ CDB (SSS) 所以 ∠A= ∠C (全等三角形的对应角相等) 所以

已知:如图1 ,AC=FE,AD=FB,BC=DE 求证:△ABC≌△FDE , 求证:AB∥EF;DE∥BC 求证:∠C=∠E 证明:∵ AD=FB ∴AB=FD(等式性质) 在△ABC和△FDE 中 AC=FE(已知) BC=DE(已知) AB=FD(已证) ∴△ABC≌△FDE(SSS)
A
D =


E ?

?

c
= B F


图1

(2)∵ △ABC≌△FDE(已证) ∴ ∠C=∠E (全等三角形的对应角相等)

? 已知:如图,AB=AC,DB=DC, ? 请说明∠B =∠C成立的理由
解:连接AD 在△ABD和△ACD中, AB=AC (已知) DB=DC (已知) AD=AD (公共边)

A

D B C

∴△ABD≌△ACD (SSS)

∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等)

已知:AC=AD,BC=BD, 求证:AB是∠DAC的平分线. 证明:在△ABC和△ABD中 ∵ AC=AD( 已知 ) BC=BD( 已知 ) A ) 1 2

C B

AB=AB( 公共边

∴△ABC≌△ABD( SSS ) D ∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等) ∴AB是∠DAC的平分线 (角平分线定义)

? 已知: 如图, 四边形ABCD中, AD=CB,AB=CD ? 求证: ∠A= ∠C。
D
4 2

C

A

1 3

B

分析:要证两角或两线段相等,常先证这两角或两线段 所在的两三角形全等,从而需构造全等三角形。

构造公共边是常添的辅助线

如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全 等?试说明理由。 D A 解: △ABC≌△DCB

因为在△ABC和△DCB中B AB = CD (已知) AC = DB (已知) BC = CB(公共边)
所以△ABC ≌△DCB(SSS) _____

C

小结:
1.边边边公理:有三边对应相等的两个三角 形全等 简写成“边边边”(SSS) 2.边边边公理发现过程中用到的数学方法(包 括画图、猜想、分析、归纳等.)
3.边边边公理在应用中用到的数学方法:

证明线段(或角)相等 转 化 证明线段(或角)所 在的两个三角形全等.
两个三角形全等的注意点:

1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 3. 有时

需添辅助线(如:造公共边)


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