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一元一次方程及二元一次方程

发布时间:2014-06-07 13:48:22  

第6课时 一元一次方程及二元一次方程(组)

【知识梳理】

1.一元一次方程的概念

方 程:含有未知数的等式叫做方程.

方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,一个未知数的方程的解,也叫方程的根.

解 方 程:求方程解的过程叫做解方程.

一元一次方程:只含有1个未知数(元),并且未知数的最高次数是1 的整式方程,叫做一元一次方程.

一元一次方程的一般形式:ax+b=0 (a≠0).

2.一元一次方程的解法

一般步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.

注意:

(1)去分母时不要漏乘其中的常数项;

(2)去括号时要注意不要漏乘括号内的任何一项,括号前面是“-”号,去括号时括号内各项都要改变符号;

(3)移项时注意变号.

3.等式的概念及性质

等 式:表示相等关系的式子叫做等式.

等式性质:(1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.即如果a=b,那么a±c= b±c;

(2)等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么a/c =b/c.

4.二元一次方程的有关概念

定 义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

5.二元一次方程组的有关概念

定 义:把两个二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组.

二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

6.二元一次方程组的解法

代入消元法:解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”,主要步骤是,将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代人另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程,这种解方程组的方法称为代人消元法,简称代人法..

减消元法:通过方程两边分别相加(减)消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.

注意:在解二元一次方程组时,也常用整体代入、换元等方法来解决

7.用方程解决实际问题:关键是找到“等量关系”,在寻找等量关系时有时可以借助图表等,在得到方程的解后,要检验它是否符合实际意义.

【思想方法】

方程思想和转化思想

【例题精讲】

?3x?2y?152x?115?2x例1. (1)解方程解二元一次方程组 ???1.(2)?7x?2y?27 56

解:

例2.已知x??2是关于x的方程2(x?m)?8x?4m的解,求m的值. 方法1

例3.下列方程组中,是二元一次方程组的是( )

A. ?? x ? y ? 5 B. ? x 2

?1 ? y ? 10 C. ? x ? y ? 8 D. ?x?1

??1?5??x?y??2?xy?15??x?y

例4.在?x x ? y 2 y 6??3? 3 ? 0 中,用x 的代数式表示y,则y=______________. 例5.已知a、b、c满足??a?2b?5c?0,则a:b:c=

?a?2b?c?0 .

例6 .某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度,那么这个月这户只需交 10 元用电费,如果超过 A 度,则这个月除了仍要交 10 元用电费外,超过部分还要按每度 0.5 元交费.

①该厂某户居民 2 月份用电 90 度,

超过了规定的 A 度,则超过部分应该交电费多少元(用 A 表示)? .

②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况:根据右表数据,求电厂规定A度为

【当堂检测】

1.方程x?5?2的解是.

2.一种书包经两次降价10%,现在售价a元,则原售价为_______元.

3.若关于x的方程1

3x?5?k的解是x??3,则k?_________.

4.若??x?1?

?y??1,?x

?y??22,??x?3

?y?c都是方程ax+by+2=0的解,则c=____.

5.解下列方程(组):

(1)3x?2??5(x?2); (2)0.7x?1.37?1.5x?0.23;

?2x?5y?212x?11?4x(3)? ; (4)??1; 35x?3y?8?

6.当x??2时,代数式x2?bx?2的值是12,求当x?2时,这个代数式的值.

7.应用方程解下列问题:初一(4)班课外乒乓球组买了两副乒乓球板,若每人付9元,则多了5元,后来组长收了每人8元,自己多付了2元,问两副乒乓球板价值多少?

?mx?ny??8(1)8.甲、乙两人同时解方程组?由于甲看错了方程①中的m,?mx?ny?5 (2)

?x?4?x?2得到的解是?,乙看错了方程中②的n,得到的解是?,试求正确y?5y?2??

m,n的值.

第7课时 一元二次方程

【知识梳理】

1. 一元二次方程的概念及一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0)

概 念:只含有一个 ,且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。

2. 一元二次方程的解法:①直接开平方法②因式分解法③配方法④公式法

3.求根公式:当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为

x?

?b?b2?4ac

2a

4.根的判别式: 当b2-4ac>0时,方程有实数根.

当b2-4ac=0时, 方程有

当b2-4ac<0时,方程

【思想方法】

1. 常用解题方法——换元法

2. 常用思想方法——转化思想,从特殊到一般的思想,分类讨论的思想

【例题精讲】 例1.解下列方程:

① 直接开平方法

1、(3x -2)2-49=0 2、(3x -4)2=(4x -3)2

② 因式分解法(提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法)

(2)

③ 配方法

2x2-9x+8=0

化1:把二次项系数化为1; 移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 开方:两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.

④公式法

2x2-9x+8=0

例2 .已知一元二次方程(m?1)x2?7mx?m2?3m?4?0有一个根为零,求

m的值.

例3.用22cm长的铁丝,折成一个面积是30㎝2的矩形,求这个矩形的长和宽.又问:能否折成面积是32㎝2的矩形呢?为什么?

例4.已知关于x的方程x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0

(1) 求证:不论k取什么实数值,这个方程总有实数根;

(2) 若等腰三角形ABC的一边长为a=4,另两边的长b.c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.

【当堂检测】

一、填空

1.下列是关于x的一元二次方程的有1

x?3x2?2?0 ②x2?1?0

③(2x?1)2?(x?1)(4x?3) ④k2x2?5x?6?0 ⑤x2?3x?1?0 242⑥3x?2?2x?0

2.一元二次方程3x2=2x的解是.

3.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0,则m的值是

4.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,那么代数式m2

5.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则4a?c的值为 . b

6.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范

围是__________.

7.如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4,那么这个一元二次方程可以

是 .

二、选择题:

8.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个( )

A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数

9.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是( )

A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2

10.下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )

(A)x2+4=0 (B)4x2-4x+1=0(C)x2+x+3=0(D)x2+2x-1=0

11.下面是李刚同学在测验中解答的填空题,其中答对的是( )

A.若x2=4,则x=2 B.方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1

C.方程x2+2x+2=0实数根为0个 D.方程x2-2x-1=0有两个相等的实数

12.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形

的周长是( ) A.16 B.18 C.16或18 D.21

三、解下方程:

(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0

(4)x2+x-1=0 (6)(2y-1)2 -2(2y-1)-3=0

方程没有一次项,直接开方最理想。 如果缺少常数项,因式分解没商量。当我

们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解,公式法是万能的。

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