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中考数学专题三——三角形

发布时间:2014-06-08 14:05:53  

中考数学专题——三角形

知识点:

一、关于三角形的一些概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫三角形的边;相邻两边的公共端点叫三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫三角形的内角,简称三角形的角。

1、三角形的角平分线。

三角形的角平分线是一条线段(顶点与内角平分线和对边交线间的距离)

2、三角形的中线

三角形的中线也是一条线段(顶点到对边中点间的距离)

3.三角形的高

三角形的高线也是一条线段(顶点到对边的距离)

注意:三角形的中线和角平分线都在三角形内。

如图 2-l, AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线,它们都在△ABC内 如图2-2,AD、BE、CF都是△ABC的中线,它们都在△ABC内

而图2-3,说明高线不一定在 △ABC内,

图2—3—(1) 图2—3—(2) 图2-3一(3) 图2-3—(1),中三条高线都在△ ABC内,

图2-3-(2),中高线CD在△ABC内,而高线AC与BC是三角形的边; 图2-3一(3),中高线BE在△ABC内,而高线AD、CF在△ABC外。

二、三角形三条边的关系

三角形三边都不相等,叫不等边三角形;有两条边相等的叫等腰三角形;三边都相等的则叫等边三角形。

等腰三角形中,相等的两条边叫腰,另一边叫底边,腰和底边的夹角叫底角,两腰的夹角叫项角。

三角形接边相等关系来分类:

1

?不等边三角形? 三角形三角形?三角形 ?底边和腰不相等的等腰

?等腰三角形?等边三角形??

用集合表示,见图2-4

推论三角形两边的差小于第三边。

不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边。

例如三条线段长分别为5,6,1人因为5+6<12,所以这三条线段,不能作为三角形的三边。

三、三角形的内角和

定理三角形三个内角的和等于180°

由定理可知,三角形的二个角已知,那么第三角可以由定理求得。

如已知△ABC的两个角为∠A=90°,∠B=40°,则∠C=180°–90°–40°=50° 由定理可以知道,三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角。 推论1:直角三角形的两个锐角互余。

三角形按角分类:

?直角三角形? 三角形? ?锐角三角形斜三角形???钝角三角形?

用集合表示,见图

三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫三角形的外角。

推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

例如图2—6中

∠1 >∠3;∠1=∠3+∠4;∠5>∠3+∠8;∠5=∠3+∠7+∠8;

2

∠2>∠8;∠2=∠7+∠8;∠4>∠9;∠4=∠9+∠10等等。

四、全等三角形

能够完全重合的两个图形叫全等形。

两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。

全等用符号“≌”表示

△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`, B和B`, C和C`是对应点。

全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

如图2—7,△ABC≌△A `B`C`,则有A、B、C的对应点A`、B`、C`;AB、BC、CA的对应边是A`B`、B`C`、C`A`。

∠A,∠B,∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。

∴AB=A`B`,BC=B`C`,CA=C`A`;∠A=∠A`,∠ B=∠B`,∠C=∠C`

五、全等三角形的判定

1、边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)

注意:一定要是两边夹角,而不能是边边角。

2、角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角“或“ASA”)

3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边’域“AAS”)

4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”) 由边边边公理可知,三角形的重要性质:三角形的稳定性。

除了上面的判定定理外,“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。

5、直角三角形全等的判定:斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边,直角边”或“HL”)

六、角的平分线

定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理2、一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。

由定理1、2可知:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

可以证明三角形内存在一个点,它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点(交于一点)

在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互为逆命题,如果把其中的一个做原命题,那么另一个叫它的逆命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫互逆定理,其中一个叫另一个的逆定

理。

3

例如:“两直线平行,同位角相等”和“同位角相等,两直线平行”是互逆定理。

一个定理不一定有逆定理,例如定理:“对顶角相等”就没逆定理,因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。

七、基本作图

限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作网_

最基本、最常用的尺规作图.通常称为基本作图,例如做一条线段等于己知线段。

1、作一个角等于已知角:作法是使三角形全等(SSS),从而得到对应角相等;

2、平分已知角:作法仍是使三角形全等(SSS).从而得到对应角相等。

3、经过一点作已知直线的垂线:(1)若点在已知直线上,可看作是平分已知角平角;

(2)若点在已知直线外,可用类似平分已知角的方法去做:已知点 C为圆心,适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点,再以A、B为圆心,用相同的长为半径分别作弧交于D点,连结CD即为所求垂线。

4、作线段的垂直平分线:

线段的垂直平分线也叫中垂线。

做法的实质仍是全等三角形(SSS)。

也可以用这个方法作线段的中点。

八、作图题举例

重要解决求作三角形的问题

1、已知两边一夹角,求作三角形 2、已知底边上的高,求作等腰三角形

九、等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,就是说:等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

例如:等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等,因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n

十、等腰三角形的判定

定理:如果一个三角形有两个角相,那这两个角所对的两条边也相等。(简写成“等角对等边”)。

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于3O°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 十一、线段的垂直平分线

定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

就是说:线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 十二、勾股定理

222勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方:a?b?c

222勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c有下面关系: a?b?c那么这个三角

形是直角三角形

((勾股数:能够构成直角三角形三条边的正整数{a,b,c}称为勾股数,常见的勾股数有:{3k,4k,5k},{5k,12k,13k},{8k,15k,17k},{7k,24k,25k},{9k,40k,41k},

4

其中k为正整数)

十三、轴对称和轴对称图形

把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线轴对称,两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点,这条直线叫对称轴。 两个图形关于直线对称也叫轴对称。

定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。

定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 定理3:两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。

逆定理:如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是对称轴。

例如:等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点,所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴,而等腰三角形是轴对称图形。

十四、中心对称和中心对称图形

中心对称:在平面内,一个图形绕某个点旋转180O,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称图形:如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合,这个图形就是中心对称图形。

性质:(1)关于中心对称的两个图形是全等形.

(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分. 判定:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于

这一点对称.

常见图形中:

仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ?? ; 仅是中心对称图形的有:平行四边形 ?? ;

是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 ?? .

注意:线段有两条对称轴(一条是线段的垂直平分线,另一条是线段本身所在的直线).

解直角三角形

知识点:

一、锐角三角函数:在直角三角形ABC中,∠C是直角,如图5-1

a c

b 2、余弦:把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA? c

a 3、正切:把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA? b

b 4、余切:把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA? a 1、正弦:把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA?

5

说明:由定义可以看出tanA·cotA=l(或写成tanA?1) cotA

5、锐角三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数 说明:锐角三角函数都不能取负值。

0< sinA< l; 0<cosA<;l

6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

即sinA=cos(90°一 A)=cosB;cosA=sin(90°一A)=sinB

7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

即tanA=cot(90°一 A)=cotB;cotA=tan(90°-A)= tanB

说明:式中的90°一A = B 。

8、三角函数值的变化规律

(1)当角度在0°— 90°间变化时,正弦值(正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

(2)当角度在0°—90°间变化时,余弦值(余切值)随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

9、同角三角函数关系公式

22 (1)sinA?cosB?1;(2)tanA?1sinA;(3) tanA= cotAcosA

10.一些特殊角的三角函数值

二、解直角三角形

由直角三角形中,除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。 若直角三角形ABC中,∠C=90°,那么A、B、C,a,b,c中除∠C=90°外,其余5个元素之间有关系:

222 (l)a?b?c;(2)∠A十∠B=90°;

(3)sinA?abab;cosA?;tanA?;cotA? ccba

所以,只要知道其中的2个元素(至少有一个是边),就可以求出其余3个未知数。 例如Rt△ABC中,∠C=90°,且∠A=30°,a=5,

则由:a1?sinA?sin30???c?10 c2

b3?sinB?sin60?

??b?53 c26

A?B?90??B?60?

?b?5,c?10,B?60?

三、应用举例

是实际问题中的解直角三角形,或者说用解直角三角形的方法解决实际问题。 例如一杆AB直立地面,从D点看杆顶A,仰角为60°,从C点看杆顶A,仰角为30°(如图5~2)若CD长为10米,求杆AB的高。

解:设AB=x ?即tan60?xx?,tan30?, BD10?BD

??x?3BD即? ???10?BD

x?10?1

x,2x?,∴x?5

即杆高约8.66米,应用题中要注意:

(1)仰角,俯角见图5-3

(2)跨度、中柱:如房屋顶人字架跨度为AB,见图5—4

(3)深度、燕尾角

如燕尾槽的深度,见图5—5

(4)坡度、坡角

见图5一6坡度i=7坡度的垂直高度h水平宽度l,i?

h?tana(a叫坡角)

l

7

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