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第17章 分 式17.4零指数幂与负整指数幂

发布时间:2014-06-12 11:29:47  

第17章 分



§17.4零指数幂与负整指数幂

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1

一零指数幂负整指数幂
? 引入问题 m n m?n ? 同底数幂的除法公式 a ? a ? a 时,有一个 附加条件:m>n,即被除数的指数大于除数的指 数.当被除数的指数不大于除数的指数,即m=n或 m<n时,情况怎样呢? ? 探 索 ? 第一种情况:被除数的指数等于除数的指数的情 况.

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2

? 考察下列算式
52 ? 52 ? 25 ? 25 ? 1 5 ?5 ? 5
2 2 2? 2

?5

0

a ? a ? 1(a ? 0)
m m m m

比较两式可知: 50 ? 1

a ?a ? a a ?1
0

0

103 ? 103 ? 1000? 1000? 1 103 ? 103 ? 100 可知 100 ? 1
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? 概



任何不等于零的数的零次幂都等于1.

a ? 1(a ? 0)
0

零的零次幂没有意义

( x ? 10) 有意义,则 x ? -10
0
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? 第二种情况:被除数 的指数小于除数的指 数的情况, ? 探 索 ? 例如: 52 ? 54 ? 一方面,如果仿照同 底数幂的除法公式来 计算,得:
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5 ?5 ? 5
2 4

2? 4

?5

?2

另一方面,可利用约分,直接算出:

1 1 5 ? 5 ? 25 ? 625 ? ? 2 25 5
2 4

可知:

1 1 5 ? ? 2 25 5
?2

5

概 括
? 一般地,我们规定:

a

?n

1 ? n a

(a≠0,n是正整数)

任何不等于零的数的-n (n为正整数)次幂, 等于这个数的n 次幂的倒数.

零的负次幂没有意义
( x ?1) 当x ? 1时有意义
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?3

? 例1计算
1)3?2 1 32 1 ? 9 1 2)( ) 0 ? 10?1 3 1 ? 1? 10 1 ? 10 ?

( x ?1) ?3当x ? 1时有意义

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7

?探 索 ? 现在,我们已经引进了零指数幂和负整指 数幂,指数的范围已经扩大到了全体整数. 那么,在§13.1“幂的运算”中所学的幂的 性质是否还成立呢? ? 讨论并交流一下

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? 判断下列式子是否成立.

a ?a
2

?3

?a

2 ? ( ?3)

(ab) ? a b
(a ) ? a
?3 4 ( ?3)?4

?3

?3 ?3

a ?a
2

?3

?a

2?( ?3)

?a

?12

?指数的范围已经扩大到了全体整数, ?幂的运算中所学的幂的性质仍然成立.
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二科学记数法
? 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大 的数,即利用10的正整数次幂,把一个绝 n 对值大于10的数表成 a ?10 的形式, 其中n是正整数,1≤∣a∣<10.例如, 864000可以写成 8.64?105 .

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10

? 类似地,我们可以利用10的 负整数次幂,用科学记数法 表示一些绝对值较小的数, ?n 即将它们表示成 a ?10 的形式,其中n是正整数, 1≤∣a∣<10.
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? 0.000021 = 2.1? 10
? 0.000000000415= ? -0.0023=

?5

4.15?10
?3

?10

? 2.3 ?10

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