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期末复习:二次根式

发布时间:2014-06-12 11:29:54  

八年级数学复习卷:二次根式

知识点一:二次根式的概念

【知识要点】

a?0)的式子叫二次根式,其中a叫被开方数,只有当a

是一个非负数时,

【典型例题】

【例1】

下列各式其中是二次根式的是__________(填序号).

【变式题组】下列各式中,一定是二次根式的是( )

A

B

C

D

【例2】

x的取值范围是__________. x的取值范围是( ) A.x>3 B.x≥3 C. x>4 D.x≥3且x≠4

2

有意义,那么直角坐标系中点P(m,n)的位置在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【变式题组】1

【例3】

若y2009,则x?y?__________.

【变式题组】1

?(x?y)2,则x?y的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3

2.若x、y

都是实数,且y4,则x y=______. 3.当a?______

1有最小值,这个最小值为______.

【例4】已知a

b

a?1的值. b?2

【变式题组】1.若3的整数部分是a,小数部分是b

?b? .

22.若的整数部分为x,小数部分为y,则x?1?______. y

3

1的整数部分为a,小数部分为b

,则a)(b?1)?________.

1

知识点二:二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性:当a?

00.

2. 2?a(a?0).

注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全

平方的形式:a?2(a?0)

3. a???a(a?0)

??a(a?0)

注意:(1)字母不一定是正数.

(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.

(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外. 4.

?a???a(a?0)

?

?a(a?0)与2?a(a?0)的区别与联系

(1

a的范围是一切实数;

(2

)2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数;

(3

2的运算结果都是非负的.

【典型例题】

【例5】

若a?2(c?4)2?0,则a?b?c?________.

【变式题组】1

(n?1)2?0,则m?n的值为________.

2.已知直角三角形两边长x、y

满足x2?4?0,则第三边长为____________. 3.若a?b?

1(a?b)2005?________.

(公式2?a(a?0)的运用)

【例6】

化简:a?1?2的结果为( )

A.4—2a B.0 C.2a—4 D.4

【变式题组】在实数范围内分解因式:x2?3= ____________ ;m4?4m2?4=____________.

a???a(a?0)

??a(a?0)的应用)

【例7】 已知x?

2( )

A.x -2 B.x +2 C.-x -2 D.2-x

【变式题组】1、若2?a?

3

等于( )

A.5-2a B.1-2a C.2a -5

D

. 2a -1

2

2.若a-3<0,则化简a2?6a?9?4?a的结果是( )

A. -1 B. 1 C.2a-7 D. 7-2a

3

得( ) 2

A. 2 B. ?4x?4 C. -2 D. 4x?4

2a?2a?1 4.当a<l且a≠0时,化简=a2?a

5.已知a?

0.

6

2,则a的取值范围是( ).

A.a≥4 B.a≤2 C.2≤a≤4 D.a=2或a=4

7.已知x,y

是实数,且y?,则5x?6y?________. 【例8】如果表示a,b

两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简a?b( ).

A.-2b B.2b C.-2a D.2a 【变式题组】1.实数a

在数轴上的位置如图所示,化简:a?1______.

2.已知实数a,b,

c

a?b?______.

第1题图 第2题图

【例9】

化简二次根式 )

A

B.

C

D.【变式题组】1

、把二次根式AB. )

C

. D

. _________. 2.已知xy

?0,化简二次根式中根号外的(a-1)移入根号内得( ).

A

B

C.

D.3

.把(a?3

知识点三:最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式:满足条件“①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式,叫做最简二次根式.

2、同类二次根式(可合并根式):将二次根式化成最简二次根式,如果被开方数相同,则这样的二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式.

【典型例题】

【例10】

在根式__________. 【变式题组】1.下列根式不是最简二次根式的是( ).

A

B

C

2.把下列各式化为最简二次根式:

_______

?________

______

(4)x?________ D

【例11】

【变式题组】1.下列各组根式中,可以合并的根式是( ).

A

B

2

C

D

nm =____,n =____. 知识点四:二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1. 分母有理化:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.

2.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下:①单项二次根式:

?a来确定,

?b与?b等分别互为有理化因式.②两项二次根式:利用平方差公式来确定,

如a

a

3.分母有理化的方法与步骤:

①先将分子、分母化成最简二次根式;

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式.

【典型例题】

【例12】 把下列各式分母有理化.

?________ (4

?________ ?______ (2

?_______ (3

(1

【例13】把下列各式分母有理化:

?__________ (2

【变式题组】

已知x?y

(1

?_________ (3

?________ x?y,求下列各式的值:(1)(2)x2?3xy?y2 x?y4

知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.

2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根.

3

4

注意

:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.

【典型例题】

【例14】化简

(1

=______ (2

=______ (3

(4

(5

(6 (7=______8

【例15】计算

(1

)5?2

(2

(4

?23 (3

(6

(7)

(8(5

11(9

(10

?

【变式题组】已知a?b??3,ab?2

5

知识点六:二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变.

【典型例题】

【例16】计算

(1

) (2

(3

(4

)?;

(5

)1)2?(1?1(10; (6

)2);

(7

5 (8

(9

)? (10

)2

36x

【变式题组】

已知a?ba

b?,求代数式a?b的值.

6

知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】

1.确定运算顺序;

2.灵活运用运算定律;

3.正确使用乘法公式;

4.大多数分母有理化要及时;

5.在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化.

【典型习题】

【例17】计算

(1)233bbab5?

(?2ab)?3a

(2

(3

(4)(2?2?6)(23?32?6)

(5)(3?25)2?(4?)(4?) (6)(

26?5)10(26?5)11

【例18】先化简,再求值:

(1

)(6?(43

,其中x=2,y=27.

(2)(112y

x?y?x?y)

?

x2?2xy?y2,其中x?1y?1

(3)2x?3x2y

?

xy?x2?x

?2xy?3y

x2?2x?

1,其中x?2y?2

7

【变式题组】1.计算

(1)

? (2)

222

.已知x

yx2?xy?y2的值.

3.已知a?b?4a?2b?5?

0的值. 22

4.已知x2?3x?1?

知识点八:根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法 当a?0,b?0时,①如果a?

ba?

b 2、平方法 当a?0,b?0时,①如果a2?b2,则a?b;②如果a2?b2,则a?b. 3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较.

4、作差比较法 在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①a?b?0?a?b;②a?b?0?a?b 5、求商比较法 它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:①

【典型例题】

【例19】(1)

比较

的大小. ab?1?a?b; ②ab?1?a?b (2)

的大小.

【变式题组】设a=?2,b=2?,c=5?2,则a、b、c的大小关系是________.

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