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圆与相似形的证明题

发布时间:2014-06-13 11:30:02  

圆与相似形的证明题

1.如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.

求证:AB·AC = AE·AD

证明:连结BE

∵ AE⊙O的直径,AD⊥BC

∴ ∠ABE = ∠ = 90°

∵ ∠E = ∠

∴ △ABE ∽ △

∴ ?

???

? ∴ AB·AC = AE·AD

2.如图,由直径AB的端点A引两弦AC、AD,延长AC、AD和过B点的切线分别交 于E、F 求证:EFAF? CDAC

证明:连结CB

∵ AB是直径,EF与圆相切于点B

∴ ∠ACB = ∠ABE = 90°

∴ ∠EAB + ∠E = ∠EAB + ∠ABC = 90°

∴ ∠ABC = ∠

又 ∵ ∠ABC = ∠

∴ ∠ = ∠

∵ ∠CAD = ∠FAE

∴ △ ∽ △

∴ EFAF? CDAC

3.如图,已知D为△ABC的BC边上一点,且∠ADB = ∠BAC,

过D、C的圆交AC于E,连BE,与圆交于F点。

求证:AB 2 = BF·BE

证明: ∵ ∠ADB = ∠BAC,∠ABD = ∠ABC

∴ △ ∽ △

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∴ ?

???

? ∴

∵ BD·BC = BF·BE

∴ AB 2 = BF·BE

4. 如图,已知AD是圆的弦,BD = CD,DE是圆的切线且与弦AB的延长线相交于点E. 求证:AD 2 = AC·AE

证明:连结BD

5. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E. 求证:AD·EC = AC·BD

证明:

6. 如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G.

求证:AC·DG = AG·DF

证明:连结CG

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7. 如图,PD切⊙O于D,PC = PD,B为⊙O上一点,PB交⊙O于A,连结AC、BC. 求证:AC·PB = PC·BC

证明:

8. 如图,⊙O是弦AB∥CD,延长DC到E,EB延长线交⊙O于F,连结DF. 求证:AD·ED = BE·DF

证明:连结CB

9. 如图,CD切⊙O于P,PE⊥AB于E,AC⊥CD,BD⊥CD.

求证:① PE:AC = PB:PA; ② PE 2 = AC·BD

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10. 如图,△ABC内接于⊙O,⊙O的直径BD交AC于E,AF⊥BD于F,延长AF交BC于G. 求证:AB 2 = BG·BC

证明:连结AD

11. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直AB于M,P是CD延长线上一点,PE切⊙O于E,BE交CD于F.

求证:PF 2 = PD·PC

证明:连结AE

12. 如图,△ABC中,AB = AC,O是BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AC相切于点A,过点C作CD⊥BA,垂足为D.

求证:① ∠DAC = 2∠B; ② CA 2 = CD·CO

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13. 如图,⊙O 1 和⊙O 2 相交于点A和点B,且O 1 在⊙O 2 上;过点A的直线CD分别与

⊙O 1 、⊙O 2 交于点C、D,过点B的直线EF分别与⊙O 1 、⊙O 2 交于点E、F,⊙O 2 的弦O 1 D 交AB于P.

求证:① CE∥DF; ② O 1 A2 = O 1 P·O 1 D

证明:

14. 如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD,BD交AC于点F,过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.

求证:①AE∥BD; ②AD 2 = DF·AE

证明:

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15. 已知: ,过点D作直线交AC于E,交BC于F,交AB的延长线于G,经过B、G、F三点作⊙O,过E作⊙O的切线ET,T为切点.

求证:ET = ED

证明:

16. 如图,AB、AC分别切⊙O于M、N,且BE = EF = FC.

求证:AB = AC

证明:

17. 如图,⊙O的两弦AB、CD相交于E,过E作BC的平行线,交AD的延长线于F,过F点作圆的切线FG,G为切点.

求证:FG = FE

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18. 如图,⊙O与⊙O′外切于点P,AB是外公切线,切点是A、B,AP的延长线交⊙O′于C,CD切⊙O于D.

求证:BC = CD

证明:

19. 如图,A是⊙O上一点,割线PC交⊙O于B、C两点,D是PC上的一点,且PD是PB和PC的比例中项,PD = PA,连结AD,并延长交⊙O于点E.

求证:BE = CE

证明:

20. 如图,△ABC中,AC = BC,以BC为直径的圆与AB、AC分别交于P、Q,过P的切线交AC于M.

求证:① PM⊥AC; ②AM = MQ

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