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2010届中考数学复习课件 一元二次方程

发布时间:2014-06-19 13:50:28  

内容: 一、一元二次方程根的判别式 二、一元二次方程根与系数的关系 三、二次三项式的因式分解

一、 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2

? bx ? c ? 0?a ? 0?根的判式是:

? b ? 4ac
2

一元二次方程
判别式的情况

ax ? bx ? c ? 0?a ? 0?
2

根的情况

定理与逆定理

? b 2 ? 4ac ? 0 两个不相等实根 ? b 2 ? 4ac ? 0 两个相等实根 ? b 2 ? 4ac ? 0 无实根(无解)

?0 ?0 ?0

两不相等实根 两相等实根 无实根

判别式的应用: 1、不解方程,判别方程的根的情况

例1:不解方程,判别下列方程的根的情况

2 x ? 3x ? 4 ? 0 2 (2) 16 y ? 9 ? 24 y (3) 5?x 2 ? 1? ? 7 x ? 0
(1)

2

解:(1)

=

b ? 4ac ? 3 ? 4 ? 2 ? ?? 4? ? 41 ? 0
2 2

所以,原方程有两个不相等的实根。 说明:解这类题目时,一般要先把方程化为一般形式,求出△, 然后对△进行计算,使△的符号明朗化,进而说明△的符号情 况,得出结论。

2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围
例2:当k取什么值时,已知关于x的方程:

(1)方程有两个不相等的实根;(2)方程有两个相等的实根;(3) 方程无实根;
解:△=

2 x 2 ? ?4k ? 1?x ? 2k 2 ? 1 ? 0

?? ?4k ? 1??2 ? 4 ? 2?2k 2 ? 1?
? 16k 2 ? 8k ? 1 ? 16k 2 ? 8 ? 8k ? 9

9 (1).当△>0 ,方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即k ? ? 8 9 (2).当△ = 0 ,方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 k ? ? 8 9 ? (3).当△ <0 ,方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K< 8

说明:解此类题目时,也是先把方程化为一般形式,再算 出△,再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围

例3、已知m为非负整数,且关于x的方程 :

(m ? 2) x 2 ? (2m ? 3) x ? m ? 2 ? 0
有两个实数根,求m的值。 解:∵方程有两个实数根 ∴

? 2 ? ? [ ? ( 2 m ? 3 )] ? 4(m ? 2)(m ? 2) ? 0 ? ?m ? 2 ? 0
1 2 且m ? 2 12

解得:m ?

∵m为非负数 ∴m=0或m=1

说明:当二次项系数也含有待定的字母时,要注意 二次项系数不能为0,还要注意题目中待定字母的取 值范围.

2 ? ( m ? 2 ) ?4 证明:? ? ?? ?m ? 2?? ? 4?2m ? 1? ? m ? 4m ? 8 2 无论m取任何实数都有: ?m ? 2? ? 4 ? 0
2 2

x ? 例4、求证:关于x的方程: 有两个不相等的实根。
2

3、证明方程根的情况

?m ? 2?x ? 2m ?1 ? 0

即:△>0

所以,无论m取任何实数,方程有两个不相等 的实数根。
说明:此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出△ ,如果不能直接判断△情况,就利用配方法把△配成含 用完全平方的形式,根据完全平方的

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