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一元二次方程根与系数关系

发布时间:2014-06-23 14:08:11  

新课标华师大九(上)· §22.3.4

一元二次方程根与系数的关系

中学数学教研组

复习引入
1.按要求解下列方程: (1)x2 + x-2=0(因式分解法) (2)x2 -3x- 4=0 (求根公式法) 解: (x+2)(x-1)=0 (x+2)=0或(x-1)=0 ∴ x1= -2,x2= 1. 解:这里a=1,b= -3,c= - 4, △=(-3)2-4×1×(-4)=25 x= ∴ x1 = 4, x2 = -1.

1.填下表,并仔细观察比较:
方程 x2+x-2=0 x2-3x-4=0 x1+x2 x1 ·x2 一次项系数 常数项

-1
3

-2
-4

1
-3

-2
-4

2.小结:若x1,x2是关于的方程x2+px+q=0的两个根,则:
两根之和与一次项系数互为相反数,两根之积等于常数项。

即:x1+x2=

-p

, x1·x2=

q



3.猜想:若x1 ,x2 是关于x的方程ax2+bx+c=0 (b2-4ac≥0) 的两个根,则x1+x2 = 。 x1 · x2 = 。 请你验证一下自己的猜想是否正确?

验证:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),由求根公式 可知,
x1= ,x2=

x1+x2= x1·x2= .

+ =

=

= = =

小结:若x1,x2是关于的方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两 个根,则x1+x2 = , x1 · x2 = 。 这就是一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)。

基础练习 1、设 X1、X2是方程 -2X2- 4X+1=0的两个根,则

-2 X1+X2 = _____

,

X1X2 = _____

2X1X2 = _____ 5 X12+X22 = ( X1+X2 )2 - _______
( X1-X2)2 = ( ______ X1+X2 )2 - 4X1X2 = _____ 6

2、判断正误:
以2和-3为根的方程是x2- x- 6=0 ( ×)


2和-1 3、已知两个数的和是1,积是-2,则这两个数是_______

精讲精析

1.已知方程2x2-9x+8=0,求作一个二次方程,使它的一个根 为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方. 解:设x1,x2为方程2x2- 9x+8=0的两根,则
9 ? ? x1 ? x 2 ? 2 ? ? ? x1 x 2 ? 4

设所求方程为y2+py+q=0,它的两根为y1,y2,据题意有
y1 ? 1 2 ? x1 ? x 2 9
161 36

y 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
q ? y1 y 2 ? 34 36

81 17 ? 16 ? 4 4

p ? ?( y1 ? y 2 ) ? ?

所以,求作的方程是y2 -

y+

=0,即:36y2-161y+34=0.

1.已知,a和b是方程x2 +2x-2013=0的两个根,求a2b+ab2的值。

2.如果X=10 是方程3x2+kx-5=0的一个根,求它的另一个根 X2及k的值. 3.关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一个正根, 一个负根,求m的取值范围。





韦达定理:若x1,x2是x关于的方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0) 的两个根,则x1+x2 = , x1 · x2 = 。 应用:1.求相关代数式的值。2.利用韦达定理,构造方程(组)。

作业:P 31 ,第6题(1),(2)。 P 33,第6题。 同步练习册

再 见

例5.已知方程 x ? kx ? k ? 2 ? 0 的两个实数根 2 2 ? x2 ? 4,求k的值。 是 x1, x 2 ,且 x1
2

解:由根与系数的关系得
X1+X2=-k, X1×X2=k+2 又 X 1 2+ X 2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2)=4 K2-2k-8=0

解得:k=4 或k=-2

∵ △= K2-4k-8

当k=4时, △<0
当k=-2

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