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重要1.初三数学反比例函数知识点及经典例题

发布时间:2014-06-24 14:16:11  

第一章 反比例函数

一、基础知识

kk1. 定义:一般地,形如y?(k为常数,k?o)的函数称为反比例函数。y?xx

还可以写成y?kx?1

2. 反比例函数解析式的特征:

⑴等号左边是函数y,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k(也叫做比例系数k),分母中含有自变量x,且指数为1.

⑵比例系数k?0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法:描点法

① 列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序)

③ 连线(从左到右光滑的曲线) k⑵反比例函数的图像是双曲线,y?(k为常数,k?0)中自变量x?0,函x

数值y?0,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是y?x或y??x)。 ⑷反比例函数y?kk(k?0)中比例系数k的几何意义是:过双曲线y? xx(k?0)上任意引x轴y轴的垂线,所得矩形面积为k。

4

5. 反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k)

6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,

但是反比例函数y?

7. 反比例函数的应用 k中的两个变量必成反比例关系。 x

二、例题

【例1】如果函数y?kx2k

是多少?

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y?k,(k?0)即y?kxx?12?k?2的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值(k?0)又在第二,四象限内,则k?0可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义,得:

1??2k2?k?2??1?k??1或k?解得??2 k?0??k?0?

?k??1

21?k??1时函数y?kx2k?k?2为y?? x

1【例2】在反比例函数y??的图像上有三点?x1,y1?,?x2,y2?,?x3,y3? 。x

若x1?x2?0?x3则下列各式正确的是( )

A.y3?y1?y2 B.y3?y2?y1 C.y1?y2?y3 D.y1?y3?y2

【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。 解法一:由题意得y1??111,y2??,y3?? x1x2x3

?x1?x2?0?x3,?y3?y1?y2所以选A 1解法二:用图像法,在直角坐标系中作出y??的图像 x

描出三个点,满足x1?x2?0?x3观察图像直接得到y3?y1?y2选A 解法三:用特殊值法

1?x1?x2?0?x3,?令x1?2,x2?1,x3??1?y1??,y2??1,y3?1,?y3?y1?y2 2

3n?m的图像相交于点【例3】如果一次函数y?mx?n?m?0?与反比例函数y?x

12)(,,那么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 2

【解析】

?1?m?23n?m?1??m?n?2 ?直线y?mx?n与双曲线y?x相交于?,2?,??2解得?x?2??3n?m?1?n?1?

y?2x?1?1?1?直线为y?2x?1,双曲线为y?解方程组?y?x?x?

?x??1得?1 y??1?1

1??x2??2??y2?2

??1,?另一个点为?1?

【例4】 如图,在Rt?AOB中,点A是直线y?x?m与双曲线y?

的交点,且S?AOB?2,则m的值是

_____. m在第一象限x

解:因为直线y?x?m与双曲线y?

则有yA?xA?m,yA?m过点A,设A点的坐标为?xA,yA?. xm.所以m?xAyA. xA

又点A在第一象限,所以OB?xA?xA,AB?yA?yA.

111OB?AB?xAyA?m.而已知S?AOB?2. 222

所以m?4. 所以S?AOB?

三、练习题

21.反比例函数y??的图像位于( ) x

A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限

2.若y与x成反比例,x与z成正比例,则y是z的( )

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm2,那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为( )

A B C D

4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,

气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 )

的反比例函数,其图象如图所示.当气球内气压大于120 kPa

时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( )

554A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 445 D、小于43 m5

1的图象上的任意两点,过A作xx

轴的垂线,垂足为B,过C作y轴的垂线,垂足为D,记Rt5.如图 ,A、C是函数y?ΔAOB的面积为S1,RtΔCOD的面积为S2则 ( )

A. S1 >S2 B. S1 <S2 C. S1=S2 D. S1与S2的大小关系不能确定

n?16.关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A(-2,1). x

求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)两函数图象的另一个交点B的坐标;

(3)△AOB的面积.

7. 如图所示,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于

A、B

k

x

1两点,与x轴交于点C.已知点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(m). 2

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

8. 某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6小时可将满池水全部排空.

(1)蓄水池的容积是多少?

(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?

(3)写出t与Q的关系式.

(4)如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少?

(5)已知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少需多长时间可将满池水全部排空?

.9.某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y(件)是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件.

(1)请写出y关于x的函数关系式;

(2)该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元,则其售价应为多少元?

10.如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y?的图象交于A(-2,1)、B(1,n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式;

(2)求△AOB的面积。

mx

四、课后作业

1.对与反比例函数y?2,下列说法不正确的是( ) x

A.点(?2,?1)在它的图像上

B.它的图像在第一、三象限

C.当x?0时,y随x的增大而增大

D.当x?0时,y随x的增大而减小

2.已知反比例函数y?

经过( )

A、(2,1) B、(2,-1) C、(2,4) D、(-1,-2)

k3.在同一直角坐标平面内,如果直线y?k1x与双曲线y?2没有交点,那么k1x

和k2的关系一定是( )

A. k1+k2=0 B. k1·k2<0 C. k1·k2>0 D.k1=k2

k,则这个函数的图象一定?k?0?的图象经过点(1,-2)x

4. 反比例函数y=P(-1.5,2),则k=________.

15. 点P(2m-3,1)在反比例函数y=的图象上,则m=__________. kxx

6. 已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则m的值为__________.

1?2m7. 已知反比例函数y?的图象上两点A?x1,y1?,B?x2,y2?,当x1?0?x2时,x

有y1?y2,则m的取值范围是?

8.已知y与x-1成反比例,并且x=-2时y=7,求:

(1)求y和x之间的函数关系式; (2)当x=8时,求y的值;

(3)y=-2时,x的值。

9. 已知b?3,且反比例函数y?1?b的图象在每个象限内,y随x的增大而增x

1?b大,如果点?a,3?在双曲线上y?,求a是多少? x

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