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几何证明一

发布时间:2014-06-25 15:04:16  

几何证明一

1、如图,E、B、F、C四点在同一直线上,∠A=∠D=90?,BE=FC, AB=DF,求证:∠E=∠C. AD

EC BF

2、如图,⊿ABC中,E在AB上,F在AC上,EF∥BC,AD为CE的垂直的平分线,交BC于D,交EC于N,交EF于M,求证:⊿EDN≌⊿CDN≌⊿EMN.

F CB D

3、如图,⊿ABC中,∠ACB=90?,CE⊥AB于E,AD=AC,AF平分∠CAE交CE于F,求证:FD∥CB.

BC

4、如图,在⊿ABC中,BE、CF分别为AC边和AB边上的高,在BE上截取BP=AC,延长CF,并截取CQ=AB,求证:AP=AQ. Q A E BC

5、如图,A、F、C、D四点在一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE,求证:(1)⊿ABC≌⊿DEF; DE (2)∠CBF=∠FEC.

AB

6、如图,⊿ABC是等边三角形,过AB上的点D作DG∥BC,交AC于G,在GD的延长线上取点E,使DE=DB,连结AE、CD.

(1)求证:⊿AGE≌⊿DAC;

(2)过点E作EF∥DC,交BC于点F,连结AF,判断⊿AEF是怎样的三角

形,试证明你的判断. E

CB F

7、⊿ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90?,四边形BDEF是正方形,连结AF、CD、CE. A 求证:(1)AF=CD

(2)AF⊥CD E F D C

8、在⊿ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角形

尺按如图1所示的位置摆放,该三角形尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.

(1)猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;

(2)当三角尺以沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.猜想DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想.

9、如图,P是等边三角形ABC内一点,连结PA、PB、PC,以PB为边作∠PBQ=60?,且BQ=BP,连结CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论;

(2)若PA∶PB∶PC=6∶8∶10,连结PQ,试判断⊿PQC的形状. A

P

BC Q

10、如图,⊿ABC中,E 是AC的中点,ED⊥AC,交∠B的平分线于D,

DM⊥AC,交AC的延长线于M,DN⊥AB,交AB于N,求证:AN=CM. A

DE

B CM

11、如图,⊿ABC中,∠C=90?,CA=CB,CD⊥AB于D,CE平分∠BCD

交AB于E,AF平分∠A交CD于F,交CE于H,交CB于G,求证:EF∥BC

BADE

12、已知:如图,⊿ABC中,∠ABC=45?,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,

且BE⊥AC于E,与CD相交点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G. A (1)求证:BF=AC;

1 (2)求证:CE=BF; 2E(3)CE与BG的大小关系如何?试证明你的结论. G

BC H

13、已知:如图,⊿ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,点

G为垂足. A(1)求证:点G是CE的中点

(2)∠B=2∠BCE

C BD

几何证明二

1、已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边DC、AD上的点,且EF=EB,EF⊥EB,求证:AE平分∠BAD.

EDC

F BA

2、将平行四边形纸片ABCD按如图的方式折叠,使得点C与A重合,点D落在D′处,折痕为EF. (1)求证:⊿ABE≌⊿AD′F

(2)连结CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形? FA D

BE

3、如图,正⊿CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.

(1)求证:BE=DF; (2)求∠B的度数. DB

4、如图,在正方形ABCD中,⊿PBC、⊿QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于F. AD 求证:PM=QM MF

BC

5、已知:如图,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F.

(1)求证:⊿BCG≌⊿DCE;

(2)将⊿DCE绕点D顺时针旋转90?得到⊿DAE′,判断DAE′BGD是什么特殊四边形?并说明理由.

E'F

BE C

6、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAD的平分线AE交BC于E,又F、G分别是AB、AD的中点.

(1)求证:EF=EG;

(2)当AB与EC满足怎样的数量关系时,EG∥CD,并说明理由. G D

BC E

7、正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是AO上一点,过点P作PF⊥CD于点D,PE⊥PB交CD于E,求证:DF=EF F E

8、如图,点E、F、G分别是⊿ABC边AC,AB、BC的中点,AD⊥BC于D,点D于G不重合,求证:四边形DEFG是等腰梯形.

A E CB GD

19、如图,在⊿ABC中,∠BAC=90?,延长BA到D,使AD=AB,点E、F2

分别为边BC、AC的中点. (1)求证:DF=BE; AG (2)过点A作AG∥BC,交DF于G,求证:AG=DG F

BCE

10、两个全等的含30?、60?角的三角板ADE、和三角板ABC如图所示放置,E、

A、C三点在一条直线上,连结BD,取BD的中点M,连结ME、MC,试判断⊿EMC的形状,并说明理由. BM

D

E A

11、已知:如图,⊿ABC中,∠C=2∠B,AD是高,点E在BC上,点F是

1AC的中点,EF∥BA,求证:DE=AC. A2

F

CB ED

112、已知:如图,在⊿ABC中,∠ACB=90?,点D在BC的延长线上,CD=AB,2

点E是AB边的中点,∠ABC的平分线BF与DE交于点F,求证:BF=FD. A

E

BDC

13、四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动,(点E不与点A、B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线相交于点F,猜想DE与EF满足什么样的数量关系,请证明你的猜想.

C D

F AM E

参考答案

几何证明一

1、⊿ABC≌⊿DFE,∠E=∠C.

2、DE=DC,∠DNE=90?=∠DNC,DN=DN,⊿EDN≌⊿CDN. EN=NC,EF∥BC,∠MEN=∠DCN,∠ENM=∠CND,⊿EMN≌⊿CDN, ∴⊿EDN≌⊿CDN≌⊿EMN.

3、⊿ACF≌⊿ADF,∠ACF=∠ADF,∠ACF=90?―∠CAB=∠B, ∠ADF=∠B,∴FD∥CB.

4、∠ABP=90?―∠BAE=∠ACQ,BA=CQ,BP=CA,∴⊿ABP≌⊿QCA, AP=AQ.

5、(1)AF=CD,∴AC=DF,AB∥DE,∠A=∠D,AB=DE,⊿ABC≌⊿DEF.

(2)∠ABC=∠DEF,又∵⊿ABF≌⊿DCE,∠ABF=∠DEC,

∴∠CBF=∠FEC.

6、(1)由等边⊿ABC,AB=AC,∠B=∠ACB=∠BAC=60?,DG∥BC, ∠AGE=60?=∠DAC,AG=AD,又DE=DB,EG=AB=AC ∴⊿AGE≌⊿DAC

(2)⊿AEF是等边三角形.

证明:∵⊿AGE≌⊿DAC,∴∠AEG=∠ACD,AE=CD,又EF∥DC, DG∥BC,四边形EFCD是平行四边形,EF=DC,∴AE=EF, ∠DEF=∠FCD,∴∠AEG+∠DEF=∠ACD+∠FCD,

即∠AEF=∠ECA=60?,∴⊿AEF是等边三角形.

7、(1)∵∠ABC=90?=∠FBD,∴∠FBA=∠DBC,AB=BC,BF=BD, ⊿ABF≌⊿CBD,AF=CD.

(2)延长CD交AB于G,交AF的延长线于H,∠FAB=∠BCD, ∠AGH=∠CGB,∴∠AHG=∠GBC=90?.

8、(1)BF=CG

证明:∠F=90?=∠G,∠FAB=∠GAC,AB=AC,⊿FBA≌⊿GCA, ∴BF=CG.

(2)DE+DF=CG.

证明:过点D作DH⊥CG于点H,DE⊥BA于点E,∠G=90?, ∴四边形EDHG为矩形,DE=HG,DH∥BG,∠GBC=∠HDC,

∵AB=AC,∴∠FCD=∠GBC=∠HDC,∠F=90?=∠DHC,CD=DC, ∴⊿FDC≌⊿HCD,DF=CH,∴GH+CH=DE+DF,即DE+DF=CG.

9、(1)AP=CQ

证明:∵AB=CB,BP=BQ,∠ABC=60?=∠PBQ,

∴∠ABP=∠ABC―∠PBC=∠PBQ―∠PBC=∠CBQ,

∴⊿ABP≌⊿CBQ,AP=AQ.

(2)由PA∶PB∶PC=6∶8∶10,可设PA=6a,PB=8a,PC=10a. 在⊿PBQ中,由于PB=BQ=8a,且∠PBQ=60?,

∴⊿PBQ为等边三角形,∴PQ=8a.于是在⊿PQC中,

∵PQ2?QC2?64a2?36a2?100a2?PC2,∴⊿PQC是直角三角形.

10、连结AD、CD,∵ED垂直平方AC,∴AD=CD,∵BD平分∠B,DM⊥BM,

DN⊥AN,∴DM=DN,∠DMC=90?=∠DNA,∴⊿DMC≌⊿DNA, ∴AN=CM

11、∵∠ACB=90?,∴∠ACE+∠ECB=90?.

∵∠CDE=90?,∴∠AEC+∠DCE=90?.∵∠ECB=∠DCE

∴∠ACE=∠AEC,∴AC=AE,

又AF平分∠A,∴AH垂直平分CE,∴FC=FE,∴∠FCE=∠FEC, ∴∠ECB=∠FEC,∴EF∥BC.

12、(1)∠ABC=45?,CD⊥AB于D,∴∠DCB=45?,∴BD=DC,

∠DBE=90?―∠A=∠ACD,∠BDF=90?=∠CDA,∴⊿BDF≌⊿CDA, BF=CA.

(2)∵BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,∴∠A=∠BCA,∴BA=BC,

1 ∴AE=EC,∴CE=BF. 2

(3)连结CG,BD=DC,H是BC边的中点,∴DH垂直平分BC, ∴BG=CG,在Rt⊿GEC中,CE<CG,∴CE?BG.

13、(1)连结ED ∵AD是高,CE是中线,∴ED=BE,BE=DC,

∴DE=DC,又DG⊥CE,∴点G是CE的中点.

(2)∵ED=BE,∴∠B=∠EDB,∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,

又∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE,∴∠B=2∠BCE.

几何证明二

1、可证⊿DFE≌⊿CEB,得CB=DE=DA,从而知∠DAE=45?,于是 ∠EAB=45?,即AE平分∠BAD.

2、(1)由折叠可知:∠D=∠D′,CD=AD′,∠DCE=∠D′AE,

∵四边形是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,∠BCD=∠BAD, ∴∠B=∠D′,AB=AD′,

∠D′AE=∠BAD,即∠D′AD+∠DAE=∠BAE+∠DAE,

∴∠D′AD=∠BAE,∴⊿ABE≌⊿AD′F.

(2)四边形AECF是菱形.

证明:由折叠可知:AE=EC,∠AEF=∠FEC,

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠FEC=∠AFE,

∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∵AE=EC,∴AF=EC,

又∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形,∵AE=AF,

∴四边形AECF是菱形.

3、(1) 正⊿CEF的边长与菱形ABCD的边长相等,∴BC=CE,CF=CD, ∠B=∠BEC,∠CFD=∠D,又∠B=∠D,

∴∠BCE=180?―2∠B,∠DCE=180?―2∠D,∴∠BCE=∠DCE, CB=CD,CE=CF,∴⊿CBE≌⊿CDF,∴BE=DF.

(2)∠B=80?.

设∠B=x,则∠BCE=x,∵BE=DF,AB=AD,∴AE=AF,

11 ∴∠AEF=∠AFE,∠A=180―x,∠AEF=(180―∠A)=90?―∠A, 22

11 =90?―(180―x)=x ∵∠AEF+∠FEC+∠CEB=180?, 22

1即x +60?+x=180?,∴x=80?,即∠B=80?. 2

4、在正方形ABCD中,⊿PBC、⊿QCD是等边三角形

∴∠QCD=60?=∠PCB,∴∠QCB=30?=∠PCD,又∵BC=CD, ∠PBC=60?=∠QDC,∴⊿EBC≌⊿FDC,∴CE=CF.

又CQ=CD=BC=CP,∴PF=QE,又∠P=∠Q,∠QME=∠PME, ∴⊿MEQ≌⊿MFP,∴PM=QM.

5、(1)在正方形ABCD中,BC=CD,∠BCD=90?,

又∠BCD+∠DCE=180?,∴∠BCD=∠DCE=90?,

又∵CG=CE,∴⊿BCG≌⊿DCE.

(2)∵⊿DCE绕D顺时针旋转90?得到⊿DAE′

∴CE=CE′,∵CE=CG,∴CG=AE′,

∵ABCD是正方形,∴BE′∥DC,AB=CD,∴AB―AE′=CD―CG, 即BE′=DG,∴四边形DE′BG是平行四边形.

6、(1)∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,又∵∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,

11 又∵AF=AB,AG=AD,∴AF=AG, 22

又∵AE=AE,∠FAE=∠GAD,∴⊿AEF≌⊿AEG,∴EF=EG.

(2)当AB=2EC时,EG∥CD.

1 ∵AB=2EC,∴AD=2EC,∴GD=AD=EC,又∵GD∥EC, 2

∴四边形GECD是平行四边形.

7、过P作PG⊥BC于G,连结PD,

在 正方形ABCD中,AB=AD,AP平分∠BAD,AP=AP,

∴⊿ABP≌⊿ADP,∴BP=DP,

又∠PCB=45?=∠PCD,PG⊥BC,∴∠GPC=45?,∴PG=GC, PF⊥CD,∠BCD=90?,∴四边形PGCF是矩形,∵PG=GC, ∴四边形PGCF是正方形,∴PG=PF,

∵∠BPG+∠GPE=90?,∠FPE+∠GPE=90?,∴∠BPG=∠FPE, ∠PGB=90?=∠PFE,∴⊿PBG≌⊿PEF,∴PB=PE,

∴PD=PE,∵PF⊥ED,∴DE=DF.

18、∵AD⊥BC于D,点E是边AC的中点,∴DE=AC, 2

点E、F分别是边AC,AB的中点,∴EF∥BC,FG不平行DE, ∴四边形DEFG梯形,

1 又点F、G分别是边AB、BC的中点,∴FG=AC,∴DE=FG, 2

∴四边形DEFG是等腰梯形.

9、(1)连结AE,∵∠BAC=90?,点E是BC的中点,∴AE=BE,

1 点E、F分别为边BC、AC的中点,∴EF∥BD,EF=AB, 2

1 AD=AB,∴EF=AD,∴四边形AEFD是平行四边形,∴AE=DF, 2

∴DF=BE.

(2)∵在□AEFD中,DF∥AE,∠D=∠BAE,

∵EB=EA,∴∠BAE=∠B,∵AG∥BC,∴∠DAG=∠B,

∴∠DAG=∠D,∴AG=DG.

10、⊿EMC是等腰直角三角形.

证明:连结MA,

由两个全等的含30?、60?角的三角板ADE、和三角板ABC,

AD=AB,∠DAE=30?,∠BAC=60?,∴∠DAB=180?―30?―60?=90?, ∵M是DB的中点,∴DM=MA=MB,AM⊥DB,

MA平分∠DAB,∴∠DAM=45?=∠MAB,

∴∠DAM=∠MAB=∠MDA=∠ABM=45?

在⊿EDM和⊿CAM中,

DE=AC,DM=AM,

∠EDA=∠BAC,∠ADM=∠MAB,∴∠EDA+∠ADM=∠BAC+∠MAB, 即∠EDM=∠CAM,∴⊿EDM≌⊿CAM,∴ME=MC,∠DME=∠AME, ∵∠DME+∠EMA=∠AMC+∠EMA=90?,∴⊿EMC是等腰直角三角形.

11、连结DF,∵EF∥BA,∴∠B=∠FED,∵∠C=2∠B,∠C=2∠FED

1AD是高,点F是AC的中点,∴FD=FC=AC,∴∠FDC=∠C, 2

∴∠FDC=2∠FED,∵∠FDC=∠FED+∠EFD,∴∠FED=∠EFD,

11∴DE=DF,∵FD=AC,∴DE=AC. 22

112、连结EC,∵∠ACB=90?,点E是AB边的中点,∴EC=EB=AB, 2

∴∠ABC=∠ECB,∵∠EBF=∠FBC,∴∠ECB=2∠FBC,

1 ∵CD=AB,∴CD=CE,∴∠CED=∠D, 2

又∠ECB=∠CED+∠D,∴∠ECB=2∠D,∴∠FBC=∠D,

∴BF=FD.

13、DE=EF

证明:在AD上截取AG=AE,连结GE,

∵ABCD是正方形,∴∠A=90?,∵AG=AE,∴∠AGE=∠AEG=45?, ∴∠DGE=180?―45?=135?,又∠CBM=90?,BF平分∠CBM, ∴∠EBF=90?+45?=135?,∴∠DGE=∠EBF,

∵AD=AB,AG=AE,∴DG=EB,

∵∠DEF=90?,∴∠DEA+∠FEB=180?―90?=90?,

在Rt⊿DAE中,∠GDE+∠DEA=90?,∴∠GDE=∠FEB,

∴⊿DGE≌⊿EBF,∴DE=EF.

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