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数学:第二章 平方根(一)教案(北师大版八年级上)

发布时间:2014-06-26 12:05:33  

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

第二章 实数

2. 平方根(一)

一、学生起点分析

学生已具备了对无理数的认识,知道只有有理数是不够的.学生还具备了乘方运算的基础,并且有计算正方形等几何图形面积的技能.在前面的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具备了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.这节课的教学,力求从学生实际出发,以他们熟悉的问题情景引入学习主题,在关注现实生活的同时,更加关注数学知识内部的挑战性.

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》.本节内容计2个课时,本节课是第1课时,主要是算术平方根的概念和性质的教学.课程标准要求,对于数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,因此确定本节的教学目标如下: ·知识与技能目标

1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.

2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.

3.了解算术平方根的性质.

·过程与方法目标

1.在概念形成过程中,让学生体会知识的来源与发展,提高学生的思维能力.

2.在合作交流等活动中,培养他们的合作精神和创新意识. ·情感与态度目标

1.让学生积极参与教学活动,培养他们对数学的好奇心和求知欲.

教学重点:

了解算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个正数的算术平方根.

教学难点:

对算术平方根的概念和性质的理解.

三、教法学法

教学方法:讲授法.

课前准备:

教具:教材,多媒体课件,电脑.

学具:教材,笔,练习本.

四、教学过程:

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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本课时设计六个环节:第一环节:问题情境;第二环节:初步探究;第三环节:深入探究;第四环节:反馈练习;第五环节:学习小结;第六环节:作业布置.

本节课教学流程为:

第一环节:问题情境

方法一:问题导入

内容:上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.比如上一节课我们做过的:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大的正方形,那么有a2=2,a,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们一起来学习.

方法二:问题导入

内容:前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结合图形完成填空: x2,y2,z2w2

意图:方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学习算术平方根的必要性. 效果:能表示x2=2,y2=3,z2=4,w2=5;能求得z=2,但不能求得x、y、w的值.

说明:方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前启后的作用,方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明学习这节课的必要性.相对而言,建议选用方法二。

第二环节:初步探究

内容1:情境引出新概念X k b 1 . c o m

x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,已知幂和指数,求底数x,你能求出来吗? 意图:让学生体验概念形成过程,感受到概念引入的必要性.

效果:学生可以估算出x,y是1到2之间的数,w是2到3之间的数但无法表示x、y、w,从而激发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算——开方.

说明:无论是用方法一引入,还是方法二引入,都是激发学生继续往下学习的兴趣,都可以提出同样的问题“已知幂和指数,求底数x,你能求出来吗?”

内容2:在上面思考的基础上,明晰概念:

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记

为“a”,读作“根号a”.特别地,我们规定0的算术平方根是0,即?0. 意图:对算术平方根概念的认识.

效果:了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的. 内容3:简单运用 巩固概念

例1 求下列各数的算术平方根:

(1)900; (2)1; (3)

49

; (4)14.

64

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意图:体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是.

效果:会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,负数没有算术平方根.

答案:解:(1)因为30=900,所以900的算术平方根是30,即900?30;

(2)因为1=1,所以1的算术平方根是1,即?1; 22

7?49,所以 49的算术平方根是7, 即497; (3)因为?????648648864??

(4)14的算术平方根是.

内容4:回解课堂引入问题 2

x2=2,y2=3,w2=5,那么x=2,y=3,w=5.

第三环节:深入探究

内容1:例2 自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系

为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多

长时间?

意图:用算术平方根的知识解决实际问题.

效果:学生多能利用等式的性质将h=4.9t2进行变形,再用求算术平方根的方法求得题目的解.

解:将h=19.6代入公式得h=4.9 t, t =4,所以t = 4=2(秒) .

即铁球到达地面需要2秒.

说明:此题是为得出下面的结论作铺垫的.

内容2:观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.

意图:让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:a中的a是一个非负数,a的算术平方根a也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.

效果:再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.

22

第四环节:反馈练习

一、填空题:

1.若一个数的算术平方根是7,那么这个数是

2.9的算术平方根是

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3.()2的算术平方根是

4.若m?2?2,则(m?2)2.

二、求下列各数的算术平方根:

36,231215,15,0.64,10?4,225,()0. 1446

三、如图,从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固

定帐篷.若绳子的长度为5.5米,地面固定点C到帐篷支撑竿底

部B的距离是4.5米,则帐篷支撑竿的高是多少米?

答案:一、1.7;2. ;3.

0.8;10?2;;1; 2 ;4.16;二、611;;312

三、解:由题意得 AC=5.5米,BC=4.5米,∠ABC=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得

.所以帐篷支撑竿的高是米. AB?AC2?BC2?5.52?4.52?(米)意图:旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况,以便根据学生情况调整教学进程. 效果:练习注意了问题的梯度性,由浅入深,一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答,教师要给予评价和点评。

第五环节:学习小结

内容:这节课学习的算术平方根是本章的基本概念,是为以后的学习做铺垫的.通过这节课的学习,我们要掌握以下的内容:

(1)算术平方根的概念,式子a中的双重非负性:一是a≥0,二是a≥0.

(2)算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.w w w .x k b 1.c o

(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.

意图:依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点,强化算术平方根的概念和性质.

第六环节:作业布置

习题2.3

五、教学设计说明

1.设计理念 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化的过程.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化.

“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征.算术平方根的本质特征就是定义中指出的:“如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a

的算术平方根,”

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的 “正数x”,即被开方数是正的,由平方的意义,a也是正数,因此算术平方根也必须是正的.当然零的算术平方根是零.

“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练,如在求正数的算术平方根时,不是直接写出算术平方根,而是通过平方运算来求算术平方根,非平方数的算术平方根只能用根号来表示.

“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组,在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.

2.知识拓展

在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可用以下的例题和练习题进行知识的拓展:

内容:例 已知x?2?

解:因为 x?2和y?4?0,求yx的值. y?4都是非负数,并且x?2?y?4?0,所以 x?2?0 ,y?4?0,

x2解得x=2,y= -4,所以y?(?4)?16.

意图:加深对算术平方根概念中两层含义的认识,会用算术平方根的概念来解决有关的问题. 效果:达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的.[来源:学§科§网][来源:Www.zk5u.com]

课后还可以布置相应的拓展性习题:

内容:1.已知x?1??y?2?2?2z?3?0,求x+y+z的值. 2

2.若x,y满足2x?1??2x?y?5,求xy的值.

3.求x?x?5?5中的x.

4.若5?的小数部分为a,5?的小数部分为b,求a+b的值.

5.△ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b满足a?1?b2?4b?4?0,求c的取值范围. 解:1.因为x?311322≥0,?y?2?≥0,z?≥0,且x???y?2??z??0 , 2222

所以x?13312=0,?y?2?=0,z?=0,解得x?,y??2,z??,所以x+y+z= ?3. 2222

1115 ,当 x=时,y=5,所以 xy=×5=. 22222.因为2x-1≥0,1-2x≥0,所以 2x-1=0,解得 x=

3.解:因为x-5≥0,x?5?5?x≥0 ,所以 x=5 .

4.解:因为3??4 ,所以5?的整数部分为8,5?的整数部分为1,所以5?的小数部分a?5??8??3,5?的小数部分b?5??1?4?,所以

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a?b??3?4??1.

5.解:由a?1?b2?4b?4?0,可得a?1?(b?2)2?0,因为 a?1≥0,(b?2)2≥0, 所以a?1=0,(b?2)2=0,所以a = 1,b = 2,由三角形三边关系定理有:b- a < c < b+a ,即1 < c < 3.

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