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第一章 发现数学

发布时间:2014-06-27 11:27:36  

第一章 发现数学

第一节数学门外谈数学

数学科学是人类(主要是数学家)所发现的数学规律按照数学特有的演绎规 律组成的科学体系,从数学的形成来看,它是人类的数学发现和创造积累的结 果,浓缩了所有数学研究的正确结论。对人类而言,数学从发展到现在,就数学 知识所达到的广度和深度来说,它就像一个浩渺无际的大海。

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大家都知道有一个很著名的“盲人摸象”的故事,这个故事说明:由于每个 人自己感知事物的角度不同,对同一个事情,不同的人常常有不同的看法。人们 对概念的掌握通常不是通过精确的定义,而是通过对具体事物的感觉和接触而逐 渐形成的,就如盲人摸象,如果不是只摸了一个部位,而是从不同的角度摸到 了,也就大概知道象是个什么事物了。人们对数学的认识常常是由自己所掌握的 数学知识所组成的,由于对数学的理解和学习的深度不同,人们对数学的感觉和 认识也不一样。

在现实生活中,人们通常根据数学和自己的关系来对“什么是数学”形成判 断。一些人对数学不太了解,也不想了解太多,但是也知道数学是学校教育中的 基础课程之一,是一门很重要的必考课程。数学给很多人的印象是,学数学很枯 燥,很乏味,很费脑子,要做很多很多令人厌倦的题,令人想逃避,要想学好数 学更是一件难事。

人们对数学的了解主要是在学校里的课堂上得到的,大部分人对数学的认识 就是数学课,一系列的数学知识和一系列的数学题,但是课堂上的数学由于教育 的目的,出于对学生的接受能力的考虑,是经过精心编排的数学。在抽象性上不 像数学科学那样高度抽象。数学科学,是严格按照逻辑法则建立起来的逻辑链, 大多接触过数学的人看稍微深一点的数学书,就会感觉像是在看天书似的。 数学给人的印象是:符号、公式和定理,让人认为去理解数学是一件非常不容易 的事情。但是符号只是一种语言,一种表达和交流的工具,数学的语言是精确 的,每一个符号、每一句话都有其特定的含义,这一点上不像日常生活中的语 言,有些词和句子我们很早就学会了,也在使用它们,但是我们常常不能很好地 解释它们,有些诗人和语言大师们运用词和句子的用意更是让人难以捉摸。从这 个角度来说,数学是简单的。当然学会使用数学的语言也像学习其他语言一样, 需要下一点功夫。当然,数学本身不只是“数字符号”,它有更丰富的内涵,数 学更需要人们动脑筋思考。

数学的思考是建立在抽象概念的基础上的,很多人在理解数学时遇到了困 难,便为自己找借口说:“数学太抽象了。”其实所谓“抽象”,顾名思义就是“从 现象中抽出来”,目的是为了研究的方便,因此抽象并不可怕,数学中最常见的 数字和图形,都是从现实世界中我们所能感觉到的现象中抽出来的,它们并没 有超出人类经验的范围。无穷大“o。”和复数虽然人们看不到,但也是可以在 现实的基础上想象的。数学是一门高度抽象化的科学,抽象的结果不过是抛弃 了一些干扰我们视野的具体形象,从而简化了我们的思考,使我们更方便地研 究这个世界。

移≯天多苏时候是科现实世界的一种思考、描述、刻俪:解释、理解,其目 ∞≯砖珥睨安韭界书蕊蕴藏的一些包括数量、图形,以及其他可以予以抽象的事 物嚣翘律。从遮个意奠卜醅,数学与k的生活是息息相芙的。对数学门外汉采 说,势掌量带潍秘赞。随是斛坪数学蚴神秘面纱,际会发观数学原来就存自己的

鲁匆。甚至蜓近,耪存R E:。的夕嘛乏专,血卷想的潦处。所以圳把数学想象得那 么圉辟彳D诂垛。以下婆叹为数学排斥常谤。馥半阪陬是常以的一种很微妙的表达 ∥志。

数学最令人苦恼的地方,莫过于数学问题的丰富和对智力的挑战,或许你对 数学非常害怕、非常恐惧,认为学好数学是需要某种智慧和天赋的,自己很笨, 不可能学好数学,但事实上,数学能力的发展有其关键的阶段,如果没有错过这 个时间段的话,你完全可以很好地发展自己的数学能力。数学有各种层次的数 学,最高层次的数学创造能力是需要天才一般的数学天赋的,也需要一种执著精 神。但是每个人都可以根据自己的能力来学到自己需要的那一部分数学。学数学 学到微妙处,就能为自己的人生增添一种前进的动力。

数学其实很可爱

有些人喜欢数学,有些人不喜欢数学,这就像有些人喜欢下围棋,而有些人 不喜欢。通常,人们对某些事物入门以后才会喜欢。对于喜欢数学的人来说,它 是一种有趣的游戏,其中趣味和研究者对其的爱好,正是数学发展的主要动力之

一。是否对数学感兴趣也是在学校里的数学成绩优劣的决定因素之一。

很多学生并不喜欢数学,甚至有些反感,在他们的印象中数学只是“计算” 和“证明”,学数学只要会做题就行。事实上这种看法是一种偏见,也是传统应 试教育的引导所造成的误区。或许正是因为反复地做大量的题,才使人们对数学 逐渐形成了一种厌烦情绪,抑制了人们对数学的兴趣。

通过阅读本书后面的部分,你将会感觉到数学有着比做题要丰富得多的内 涵。数学的学习方式也不是只有在有限的课堂上的学习形式。数学学习有着更广 泛的思维空间和实践空间,是生动有趣的学习活动。在数学的花园里,做一个好 奇的学生去用心体会和感悟,就会发现这里是一个拥有很多奇妙果实的世界。我 们可以自由探索自己心目中的数学世界,正是这种自由探索才能体会到数学之可 爱,也丰富了作为万物之灵的人的人性。

f}2多人出:欢下饪t、打扑克、打嘛将等游戏,细究为什么会沉迷于它们,甚至 LjI慧?原I天]之一就是H为游戏过程中有数学的计算和要运用数学的思维。但是学 卜棋真要下到成为·种爱好,是需要人门的。同样,学数学只要入对了门径,你 就会觉得数学是·种非。带?令人沉迷的学山J,通过学数学,你还有可能得到一些游 戏Lllli能得到的乐趣和知_【I{,而这些可能会影响到你一生的发展。因此,数学实 化是人nf爱I,1、

第二节人的智慧、模型和数学

一个学生如果数学成绩好,会被认为很聪明;一个人如果成为数学家,会被 队为具有某种智慧。那么这是一种什么性质的智慧呢?数学到底是什么,以及这 种数学方面的智慧来源干何方?对此我们未必十分清楚,原因之一是我们对这些 问题缺乏研究。

按照现代的观点来看,人的大脑就认识和判断的能力来说,是一个信息加工 机器。它对来自外界环境的各种信息进行选择、归类和推理等加工,加工的目的 是认识这个世界,以及为更好地适应或改变这个世界作出决策。加工的方式之 一,是把自己的观察和思想组织成概念的体系,我们可将这些概念的体系称为模 型。这种模型如果发展成熟到某种程度就称之为理论。在生活中,我们有时会感 到某些人说话一套一套的,其实是指一套理论,可以观察到大多数人都在某些时 候有这种应用或建立理论模型的倾向。大多数人满足于别人所构造的模型,也有 些人能创建新的模型或改进旧的模型。人其实是具有学习、构造和应用理论模型

的能力、趣味和需要的。

模型的建立在人类思想的发展中起着极其重要的作用,模型的建立使我们得 到对外在世界的原始观念,进而使我们得到科学的理论模型。在科学中,模型的 正确与否是通过逻辑和实验来检验的。这就使得我们有必要把模型和我们设想该 模型所表现的外在世界十分清楚地区别开来。这个原则现在已经在许多科学分支 中通用。正是这个原则在科技上的普遍应用,使人类的知识和能力达到了一个全 新的生机勃勃的境界。

数学正是人类所构造的一种科学模型。数学模型在概念上是首尾贯穿的,并 且具有严密的逻辑性、唯一性。比如,宗教是人类在世界中的位置的模型,哲学 也是关于人类和世界的模型,它们也使用逻辑作为推理工具,但不具有唯一性, 以至于不同的宗教和不同的哲学夕问谁柏.不能{详H曙谁.伯县特璺静不同谁柏不 会去反对它,因为反对它,就是向自己的常识和逻辑挑战。

最简单的数学模型就是自然数1.2.3??集合。如果有一些对象,除了它 们的数目之外其他性质我们都不予考虑的话,我们就可以用自然数来数它们。在 一切语言中,都有自然数出现,只是有的语言中表示数目的名称多些,有的语言 中少些。一切民族都使用自然数这种模型。

希腊数学家创造了一种数学模型——欧几里得几何。欧几里得的《几何原 本》中描述了这个模型,并且讨论了直线、三角形以及其他几何对象,它们都出 现于我们的日常生活中,例如拉直了的绳子和所画的图形。它们已经抽象化,而 它们的相互关系总结在一些类型的公理中:“通过任意两个不同的点,能够作且 仅能作一条直线。”欧几里得几何模型就是通过这些为人类的直观所认可的公理 固定下来的。于是欧几里得几何理论以逻辑为其唯一工具而建立起来。这种理论 包含着大量与现实观察从来不矛盾的结果,例如这样的定理:三角形的三个内角 之和等于两个直角。数学正是通过诸如欧几里得几何而获得最严格与最纯粹的科 学的名声的。

早期数学的产生和发展始终围绕着数和形这两个概念不断地澡化和演变。大 体上说,凡是研究数和它的关系的部分,划为代数学的范畴;凡是研究形和它的 关系的部分,划为几何学的范畴。数和形的研究经常是相互交叉的,解析几何则 是把代数方法和几何方法结合起来的一种创造。

数学的发展在早期是相对缓慢的,随着认识的发展和研究的积淀,数学逐渐 取得了较大的发展,特别是最近的四个世纪是数学的一个大发展时期,数学的内 容更加成熟和丰富,一些新的数学分支也建立起来。推动数学发展的动力一方面 是现实的应用,另一方面人类主要是数学家建立在人类天赋基础上的对数学对象 的领悟力和非凡的创造力。在数学的模型世界里,数学的对象显然是抽象概念。 在数学家看来,对数学对象进行逻辑组织并进行公理化,似乎是唯一令人放心的 合理的建立数学体系的方法,并且逻辑是最后判断正误的标准。数学发展到了20 世纪,随着数学的系统化,模型的分析受到重视,逐渐发展出称为集合、群、环、 线性空间、拓扑空间之类的数学模型。构成它们的是数学对象,而不是那些呈现 在日常生活中的东西。在这个意义下,它们是第二代模型,集合论就是这种模型 的一个例子。

数学的发展存在两种可能:一种是离开现实,只是纯粹推理;另一种是和现 实生活联系起来。反映到数学发展中,就存在两种可能,一是不管现实如何,只 是研究数学,就形成了纯粹数学;另外一种就是把数学和现实联系起来,就是应 用数学。

现代的数学科学其实就是人类历史上所创造的各种数学模型的总和,它在 语言的表达上是精确的,在逻辑演绎上有严格的要求,在应用方面是人类生存 智慧的至高境界:以抽象概括能力和逻辑能力为基础创造一种模型作为工具, 用以理解世界以及建立其他模型,终极的目的是实现人类的各种理想。

第三节走近数学看数学

数学既然是。种理论模型,那么这种理论模型有什么特点?它对于人来说意 味着什么?它有什么用处?这足=我f『J所关心的问题。数学可以}人为是智力的白m 运用和最高运用,数学使人的思维发腱到了一个全新的境界,因为数学,人类的 理性思维才达到了它光辉的顶点。

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柏拉图说:“数学是一切知识中的最高形式。”数学是一个知识体系,这个知 识体系是精妙的,是一种令人惊叹的理论创造。它使人类的眼光和思索延伸到了 无限远的空间。数学自身的特点使数学在人类文化史中赢得了众多的溢美之词。 有些学者甚至对数学有一种奇特的坚定的信念,毕达哥拉斯认为“数支配着宇 宙”,“上帝创造了整数,其他一切都是人造的”。黑格尔则说:“数学是上帝描述 自然的符号。”

数学理论模型的_个重要价值是宅韵征磁幽0爱因斯坦说:“数学之所以 比其他一切科学受到尊重,一个理由是因为它的命题是绝对可靠和无可争辩 的,而其他的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险??数学之所以有崇 高的声誉,另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化,给予自然科学某 种程度的可靠性。”数学的研究内容是抽象的,研究的结论建立在严格的推理 基础上。

恩格斯认为:“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学。”由于传 统的影响,恩格斯的这一段话在我国广为人知。这句话很通俗,较为接近地反映 了数学的研究内容,但是现在看来这句话不全面。比如,数学中集合的思想,集 合既不是数量,也不是几何,它也是数学的研究内容。法国著名的数学学派布尔 巴基学派则认为:“数学是研究抽象结构的理论。”这话在数学专业人士看来,可 能更易接受一些,但是却不那么通俗了。

人类从现实世界中抽象出一些属于事物共同属性的侧面来,形成和创造一些 概念,凭心灵的直觉得到一些人人都得认可的公理知识,并在此基础上用符合逻 辑的数学方法,得出一些完全正确的数学真理。数学的正确正是来自干其方法的 力量,正是这种方法在结束人类知识的繁杂琐碎和众说纷纭,走向了秩序和有效 率的轨道,为科学的发展作出了强有力的贡献。

数学的研究对象不是具体事物的规律,它不能成为规律的发现者,数学也 不研究和缔造关于人生和社会的理论,但是可以毫不夸张地说,一切规律和假 说要想得到一切自由的人类心灵的认可,取得绝对正确的地位,都要借助于数 学的方法来说明白己,然后等待人类理性的裁判。如果没有数学所使用的方法 的认可,则所谓规律和理论最终可能是虚假的,最多也只能是幼稚和有待完善 的。所以现在的社会科学家,经常在尝试引用数学的工具,运用数学的方法来 说明白己的理论。

所以,数学的价值还住于它的方法,它推理出来的东西是千真万确的。相比 较I衔言,在人类的精神世界里,哲学太玄妙,宗教太神秘,文学太琐碎,艺术太 虚幻,信仰太缥缈,只有数学是真实存在。

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美国数学学会主席魏尔德诜“数学是一种会不断进化的文化。”数学也可以 看作一种文化,现在的数学也是一种过去所有时代的数学文化的积淀,所代表的 既是人类个体的智慧,又是人类社会群体的智慧。

宇宙是浩瀚的,生命是灿烂的,这些并不令人惊讶,令人惊讶不止的是人类 能够认识它,康德说过一句话:“令人惊讶的不是宇宙的疆域如此辽阔,而是人 类居然能够测量它。”测量它靠什么?靠科学,而数学正是在其中扮演着重要的 角色。莎士比亚有一段著名的独白:“啊!人类是一件多么了不起的杰作,多么 高贵的理性,多么伟大的力量,多么优美的仪表,多么文雅的举动,在行为上多 么像一个天使,在智慧上多么像一个天神,啊!宇宙的精灵,万物的灵长!”数 学的发展,以及数学对社会所产生的强大推动力量,正为莎士比亚这段话作出了 最好的诠释。

是啊,人类的理性是高贵的,它赋予人类伟大的力量。著名的美国数学思想 家克莱因在其著作《西方文化中的数学》一书里,对数学所代表的理性精神作了 精彩的论述,他说:“数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、 促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,也正是这种精神试图决 定性地影响人类的物质、道德和社会生涵试图回答有关人类自身存在提出的问 题努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完 美的内涵。”

在生活中人人都或多或少地使用数学,而只有少数人有机会深入研究,这使 数学成为了一种优雅的富有品位的爱好。在中世纪的欧洲,甚至数学会是一位贵 妇人的嗜好,而作为数学家的笛卡儿会被瑞典女王邀请到皇宫去讨论问题。正是 这种使人在数学世界里驰骋的智慧,使人类的数学知识不断地积累,并应用于科 学,使人类创造了现代的科学文明,从这个意义上看,说人类“在行为上多么像 一个天使,在智慧上多么像一个天神”也并不算太过分。

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“数学是科学的女王,而数论是数学的女王。”这是被称为“数学王子”的数 学家高斯的著名比喻。对于科学,数学之所以被高斯认为这么重要,原因之一 是因为科学的背后实在都有数学的支撑。笛卡儿也认识到了这一点,他说:“数 学是知识的工具,亦是其他知识工具的源泉。所有研究顺序和度量的科学均和 数学有关。”

被誉为现代科学的奠基人的英国哲学家培根说:。“数学是打开科学大门的钥 匙。”事实上,在数学没有取得决定性的成就之前,科技的发展是缓慢的,人类 的科学发展到今天,创造了古人做梦也想不到的奇迹,而数学正是科学发展的翅 膀。不仅是翅膀,其实数学还是渗透在科学肌体里的骨架和血脉。可以说,没有 数学的支撑,现代科技的发展是不可想象的。

科技的发展存在着数学化的倾向,很多科学家同时也是数学家,如著名的科 学家牛顿,既是著名的牛顿力学三定律的发现者,又是微积分的开创者之一,微 积分方法的形成就是因为他的物理学研究需要数学的方法和技巧。伽利略曾深有 感触地说:“自然界的书是用数学的语言写成的。”拿物理学来说,物理学要前进 需要两个车轮,一个是观察和实验,一个就是数学,数学是科学研究的必备工 具。在现代科学研究中,更是离不开数学,这种数学化的倾向更强烈。生物学应 该是和数学关系不是特别紧密的学科,但是现在正是在生物学领域,用数学方法 取得了很多激动人心的进展。

为什么数学对于科学那么重要呢?因为数学为科学事实的分析和推理提供了

理论和方法。20世纪伟大的德国数学家赫尔曼·外尔说:“事实,只认为是事实, 没有太大的用处。因其数量之多与显而易见的支离破碎,使人手足无措。但是, 把他们融合成理论,并使之协调,那么情况就不同了。理论是事实的本质,没有 理论,科学知识将只是一处疯人院。数学是无穷的科学。”

第四节数学的语言和逻辑

数学家岁素说:“数学是符号加逻辑。”数学文献是由数学语言写成的,数学 的语句在意义上是精确的,数学的表达方式是由符合逻辑的推理支撑的,数学的 结论是符合逻辑的。数学的这些特点,具有难以估量的价值,哲学家马赫说得 好:“也许听起来奇怪,数学的力量在于它规避了一切不必要的思考和它惊人地 节省了脑力劳动。”

数学的一个重要特点是它的符号,数学的公式和定理,数学的推导过程,除 了一部分常见的简单词语外,剩下的就是符号了。不懂得数学符号的人,就是这 一领域的文盲了。中国传统上有画符驱鬼的神秘说法,画的“符”谁也不知是什 么意思,数学符号看起来更复杂,却有其特定的含义,一点也不神秘。

数学不追求深奥,数学所追求的是化复杂为简单,数学之所以理解起来有时 候对有些人很难,或许是因为世界的结构太复杂,以及个人的智慧不够完善。数 学家兼哲学家怀特海写道:“这是一个可靠的规律,当数学或哲学著作的作者以 模糊深奥的话写作时,他是在胡说八道。”数学符号的运用正是力求使数学看起 来更简洁明了。

数学符号是数学语言的重要组成部分。为了表达的方便和简洁,数学在长期 的发展过程中形成了一些符号,数学符号的用法是约定俗成的。引入一个符号, 比如用丌表示圆周率,它使圆周率的表达更有效率,那么会节省人的时间,使表 达更清晰和易于理解。越来越多的人会接受丌这个符号,丌就成了表达圆周率的 符号。

数学符号是一种特殊的专业术语,符号的使用使数学更加直观,使数学的表 达富于美感,丰富了人的想象力,这使数学在一些人看来,带有一点神秘色彩。 事实证明:这种方法对数学的发展产生了积极有效的影响。

结构好的语言有很多好处,符号体现了数学语言的简洁性和美感,它简化的 记法常常是深奥理论的源泉。符号组成的数学的公式和定理给人一种美的感觉, 更激发人的灵感,因此符号表达也是数学发展的动力之一。没有符号,数学 就难以进步,也不可能取得现在这样的成就。

对学纠数学的人来说,熟悉符口.的用法是需要一个过程的。当我们使用符号 时,符号必须为他人所理解,不必去创造新的符号体系或去改变旧的-套符号。 对符号不负责任的改动会制造很多麻烦。

黧潮穗瓣言特点

数学本身几乎完全围绕抽象概念和它们的相互关系,几乎完全是靠推理和计 算,而不是像其他学科一样还要进行观察和实验。为了精确地表达数学内容,数 学在发展中形成了自己的有效的数学语言。

人们在日常生活中使用的语言常常是不够精确的,但是数学对概念的要求非 常精确,在数学上为了研究的方便,也借用了很多日常语言的词汇,但是对这些 词汇的意义作出了定义和规范,使每一个词都有确定的意思,因此数学的语言是 精确的,不像一般日常语言那样经常会产生歧义。因此,如果你不得不创造一些 新名词,那么你至少要首先弄清楚它们没有用来表示其他的不同意思。

读过中国古代数学文献的比如《九章算术》的人可能会有这样的感觉,就是

理解起来很困难,并且在表达上要复杂一些,另外这种表达形式还通过语言更深 刻地影响人的思维,看来中国占代数学的发展,在一定程度上是受制于没有形成 一种更合适的语言。 .

数学语言使数学的表达更清晰,节省了人理解的时间和力量,由于人的思维 有时候是以语言为媒介的,数学语言的使用另外一个方面也简化了人的思维,使 数学思维更有效率。

现在是计算机时代,计算机的编程语言也要求是有精确含义的。计算机的各 种软件,都是用程序语言编写的,这种程序语言可以说是一种数学语言。数学的 语言特征深刻地影响了计算机程序语言的发展。

数学语言的使用为数学的表达、交流和积累提供了方便,数学语言的使用也 为科学知识的发展树立了典范,即在语言上应该是简洁的,有确切含义的。 数学的语言是简单的,数学难存它的推理,是需要人的推理能力的,而不足 难化教学的语苫。掌握了它独有的语言,数学就是看得见摸得着的。通过数学的 学习,就能潜移默化地学列数学的表达方法,养成一种有效的、简洁的表达风 格,彤成一种好的表达)J惯。

。-0瓣是逻辑思想的诗篇

人类世界是一个大舞台,人类的思维也是百花齐放、百家争鸣,在思想的 领域是“江山代有才人出”,各种思潮“你方唱罢我登场”,经常有一些理论和 观点因站不住脚而被竞争出局。但是数学却没有对手,逻辑的对立站着另一个 它自身。

数学拥有概念化的组织结构、公理化的逻辑方法,这在数学发展中很有成

效,而且人们在这里得到最确实的知识,因此它和别的学科相比,都是最确定、 最明白、最显然的。爱因斯坦感受到了数学的美和力量,他这样赞美数学:“纯 粹数学,就其本质而言,是逻辑思想的诗篇。”

数学之所以拥有这样的特殊性,原因在于数学有着自己认识事物的方式—— 逻辑论证。逻辑论证使人的思维避免混乱,避免似是而非,使人能揭示事物的本 质和规律。以平面几何为例,平面几何学除了定义和公理之外,没有其他逻辑上 的基础,除了演绎以外,没有其他证明过程,但就在这一过程中,已建立了令人 惊叹的几何学体系,推导出众多无可置疑的定理和结论,这一过程使人对平面图 形的认识达到了一个全新的认识高度。康德说:“数学科学呈现出一个最辉煌的 例子,表明不用借助实验,纯粹的推理能成功地扩大人们的认知领域。”

数学展示了事物之间的联系,但是如果没有作为人的理性能力的逻辑智慧, 人就无法认识这种联系。平面几何是古代数学家创立的,而现代数学在更广阔的 领域取得了突飞猛进的进展,可以说在人类的理性方面,数学走得最远。

但演绎并不是数学的逻辑的全部,在我们所看到的完美的数学推导的背后, 还有数学家的其他思维方式在起作用。在提出数学问题和解决数学问题方面,归 纳和其他思维手段,也是重要的,数学家拉普拉斯说:“在数学中,我们发现真 理的主要工具是归纳和演绎。”

数学真理体系的建立是一项创造性的工作,除了逻辑的演绎以外,还需要有 敏锐的直觉,善于归纳和敢于猜测,还需要付出持久的努力。数学家哈尔莫斯 说:“数学的创作绝不是单靠推论可以得到的,首先通常是一些模糊的猜测,揣 摩着可能的推广,接着下了并没有十分有把握的结论。然后整理想法,直到看出 事实的端倪,往往还要费好大的劲儿,才能将一切付诸逻辑式的证明。这一过程 并不是一蹴而就的,要经过许多失败、挫折,一再地猜测、揣摩,在试探中白花

掉几个月的时间是常有的。”

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