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第二讲 立方根及实数的概念

发布时间:2014-06-28 15:08:42  

第二讲 实数

一、新知探索与考点剖析

知识点一 立方根

1、立方根:一般地,如果一个数x的立方等于a,这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根).0的立方根是0.

2、每一个数只有一个立方根,数a的立方根记作a,读作“三次根号a”. 3、立方根的性质:正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根仍旧是0.

4、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。

例1 求下列各数的立方根:

(1)-8; (2)8; (3)?

例2、求下列各式的值:

(1)27; (2)?27; (3)2

【实战演练】

1、求下列各数的立方根:

(1)?64; (2)0.125; (3)?

2、求下列各式的值:

2161(1)??; (2)27??512; 648; (4)0.216; (5)0 271027. ; (4)??2764512; (4)64. 27

(3)?3?(?2)3?2

第 1 页 13124?(?1)100; (4)???0.027?0.064 4125

知识点二 平方根与立方根的区别与联系

平方根和立方根的区别:

二者的联系:平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算

例3 若A?a?2ba?3b是a?3b的算术平方根,B?2a?b?a2为1?a2的立方根,试求A+B的平方根.

【实战演练】

1、若a2?(?5)2,b3?(?5)3,则a?b的所有可能值为( ).

A.0 B.?10 C.0或?10 D.0或?10

2、下列说法:①一个数的平方根一定有两个;②只有正数才有平方根;③一个正数的平方根一定是它的算术平方根;④负数没有立方根;⑤任何数的立方根都只有一个.其中正确的个数有()

A, 0个 B,1个 C,2个 D,3个

3、若一个数的平方根是?8,则这个数的立方根是( ).

A.2 B.?2 C.4 D.?4

4、下列各式中无论x为任何数都没有意义的是( ).

A.

D

5、若a、b表示两个实数,则下列关系成立的是( )

A、若a?,则a?b B、若a?b,则a2?b2

C、若a?ba?b,则a?b D、若a?b,则a?b

总结:_______________________________________________________________________

第 2 页

知识点三 实数

1、无理数:无限不循环小数叫做无理数.

(1)所有开方开不尽的方根都是无理数,如2,35等; (2)圆周率π及一些含π的数是无理数;

(3)不循环的无限小数是无理数,如2.1010010001?; (4)有理数都化成分数,而无理数则不能化成分数. 2、实数:有理数和无理数统称为实数. 3、实数的分类:

(1)按定义分类: (2)按正负分类:

4、实数的性质 (1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)比较大小 (以前有理数中的这些概念在实数同样适用) 5、实数与数轴上点的一一对应关系

实数和数轴上的点是一一对应,即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示;反过来,每个实数都可以在数轴上找到表示它的点.

6、非负数的概念及性质

(1)在实数范围内,正数和0统称为非负数. (2)非负数的性质:

①有限个非负数的和仍然是非负数;

②如果几个非负数的和等于零,那么它们分别为零.

12????, 例4 把下列各数填入相应的横线上:3,0.15?7?8,??,??223?3?

22

9,3.14,0.1010010001?

7

无理数: 有理数: 正实数:

负有理数:

例5 判断正误

(1)有理数包括整数、分数和零 (2)无理数都是开方开不尽的数 (3)不带根号的数都是有理数 (4)带根号的数都是无理数 (5)无理数都是无限小数 (6)无限小数都是无理数

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

第 3 页

【实战演练】

1、在数0.222;-1.42;2.525252?;π-3;-??32;1.1351335?;3.1416;;(-431)2;-1.424224222?其中无理数的个数为( )。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、下列各数中:-

2.121122111222?.

其中有理数有____________________________________________________. 无理数有___________________________________________________________. 3、下列说法中:①无限小数是无理数;②无理数是无限小数;③无理数的平方一定是无理数;④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是( )

A、1 B、2 C、3 D、4

例6 比较下列各组数里数的大小:

(1)3,1.7; (2)?6,?7; (3)3?2,?

【实战演练】比较大小:

(1)1?_________1?; (2)?5_______7?6;

(3)2____33; (4)

例7

已知x?2?(y?4)?2110?,,3.14159,π,,-4,0,0.3,,,342 3?31______ 44?0,求(xz)y的平方根。

例8 已知实数a、b、c在数轴上对应点位置如图,化简:

|b?c|?|?b|

第 4 页

【实战演练】

1、已知三角形的三边长分别为a、b、c,且a?c那么|c?a|?

A、2a?b B、 2c?b C、b?2a D、b?2c 2、

已知实数a,b,c满足a?c?b2=( ) 11c a-bc2?c??0,则的算术平方根是。24ab

3、已知a,b

二、课外分层训练

A组:夯实基础

1、求下列各式的值:

(1)?0.027; (2)?343; (3)

(5)?61; (4)?; 276419737; (6)??1; (7)?0.729; (8)?1。 27864

2、求下列各式的值:

(1)0.0625; (2)?321; (3)?12; (4)?。 243128

3、把下列各数分别填入相应的集合里:

?22??2,?125,0.1010010001?,,0.3,? ?,0,72

有理数集合:{ };

无理数集合:{ };

负实数集合:{

};

第 5 页

4、现有四个无理数567,其中在2?1与?1之间的有 . 5、无限小数包括无限循环小数和.

6、如果x2?10,则x是一个 数,x的整数部分是 .

7、1?5的相反数是 .

8、选择题:下面个对数中,互为相反数的一对数是( )

A.|a|,|-a| B.a2,

B组:能力提升

1、计算:

(1

)2

?

2、(1)实数a、b、c在数轴上的位置如下图,化简a?b?b?c?c?a

(2)实数a、b在数轴上的位置如下图,比较

3、已知x?5?

4、(1)计算

?a?2 C.a3,a-3

D. a,?a ?1;

(2??2??4??11和?的大小。 aby?6?(z?8)2?0,求3x?y?z?1的值. 2,4,6,36,39,312

你能从中找出计算的规律吗?如果将根号内的10换成5,这种计算的规律是否依然保持?

-3(2)选择题:10的3次方根是( )

A.10-1 B.±10-1 C.10-9 D.±10-9

第 6 页

5、已知2a?6??7a?3,求a的值。

C组:趣味竞赛

1、设a、b、c

是实数,若a?b?c???14, 求a(b?c)?b(c?a)?c(a?b).

2、已知有理数a、b、x、y

满足y的值.

?1?a2x?3?y?1?b2,试求2x?y?2a?b

111333ax?by?cz2、已知,???

1?xyz

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