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求线段和的最小值

发布时间:2014-07-02 15:14:48  

求线段和的最小值

三门九年制学校 温晓艳

一、复习回顾
一牧童在A处牧马,牧童的家在B处,A、B处距河岸的距离分别是 AC=500m,BD=700m,且C、D两地间距离也为500m,天黑前牧童 从A点将马牵到河边去饮水,再赶回家,为了使所走的路程最短.牧童 应将马赶到河边的什么地点?请你在图中画出来.并求出最短路程。
A’ 500m D

P

C A E

700m
B

500m

(易知Rt △ABC ,A’E=1200m,BE=500m, 可得A’B=1300m。)

模型:
①一条直线l; ②线同侧有两个不同点A、B, 要求:在线l上找一点,满足 PA+PB 最短。

A’ P A B

l

方法:选择合适的一点A, 作其关于直线l的对称点 A’,连接A’B,交直线 l于点P,此时PA+PB最短。

二、教学过程 1、在三角形中求线段和的最小值
(1)如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AB边上一点.若AE=2,EM+BM的最小值 为 .
A

E
M

析:由图知,B关于AD的 对称点为C,连接EC交AD于点 M,此时EM+BM最小为EC.
C

B

D

法一: 过点E作EF ⊥BC,垂足为F。
A E 2 M 6

法二:过点E作EF ⊥AD,垂足为F。
A E 2 F M B 6

B

F D

C

D

C

由 ?AEF ~ ?ABD, 可得 EF=1,AF=
3

在Rt△BEF中,∠ B=60°,BE=4.可得
EF= 2 3 ,BF=2. 在Rt △EFC中,FC=4,因此CE=

,FD= 2 3 .

由 ?MEF ~ ?MCD

2 7

3 3 3 可得FM= ,MD = 2 . 2



Rt?MFE和Rt?MDC 中,
,MC=
3 7 2

7 可得EM= 2

.

因此CE=

2 7

.

2、在四边形中求线段和的最小值
(2)、如图,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1, ∠ABC=60°,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则 PA+PB的最小值为 .
A E P B C D

析:由图知,B关于EF的对称点 为C,连接AC交EF于点P,此时 PA+PB值最小为AC。 解,由题得∠D= ∠ DAB=120 °, ∵DA=DC, ∴ ∠ DAC=∠DCA=30 °, ∴ ∠BAC=90 °. 在Rt △ABC中,AC= 3

F

(3)、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB 的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值 为 ___.
D

析:由图知,B关于AC的对称点 为D,连接DE交AC于点P,此时 PE+PB值最小为DE。

2 A E B

P

C

解: ∵ ∠BAD=60 °,菱形ABCD ∴ △ ADB为等边三角形, ∵ E为AB中点 ∴ DE ⊥ AB, 在Rt △DEA中,DA=2,∴DE= 3

(4)、如图,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的 中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长 的最小值为 ___cm.(结果不取近似值).

析:△PBQ周长=PB+PQ+BQ=PB+PQ+1, 要求△PBQ周长的最小值即求PB+PQ的 最小值。 由图知,B关于AC的对称点为D, 连接DQ交AC于点P,此时PB+PQ值最小 为DQ。

A D

P B Q C

解:在Rt △DQC中,DC=2,QC=1, 可得DQ= 5 ,则△PBQ的周长最小值 为( 5+1 )cm。

3、在圆中求线段和的最小值 (5)、如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上, ∠AMN=30°,B为AN弧的中点

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