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专题八 数学应用性问题

发布时间:2014-07-03 08:04:02  

高三二轮复习专题数学(理)

专题八数学应用性问题

一、函数型应用题

函数型应用题是近年来高考重点考查的题型之一,解决这类问题一般可以从建立函数解析式入手,将其函数化,运用函数的知识、方法解决问题.常见的问题主要有:成本最低、利润最高、效益最好、用料最省等实际问题.

例1

某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,

长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π3立方

米,且l

2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有

关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.

l

rr

rr

(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;

(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V,由题意知V=πr2l+

43πr3,又V=80π

3

,V-4πr3

故l=3

=80420πr2

3r2-3r=43èr2-r÷.由于l

2r,因此0<r

2.

所以建造费用

y=2πrl×3+4πr2c=2πr×420

3èr

2-r÷×3+4πr2c,因此(c-2)160π

y=4π

r2+r

,0<r2.

(2)由(1)得y′=8π(c-2)r-160πr

2

=

80π(c-2)

r

2

èr3-20c-2

÷

,0<r

2.

由于c>3,所以c-2>0,当r3-20

3

20

c-2

=0时,r=c-2

.3

20

c-2

=m,则m>0,所以′=

8π(c-2)yr

2

(r-m)(r2+rm+m2)

.

①当0<m<2,即c>92时,

当r=m时,y′=0;当r∈(0,m)时,y′<0;当r∈(m,2)时,y′

>0.所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.②当m2,即3<c92时,

当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减,所以r=2是函数y的最小值点.

综上所述,当3<c

92

时,

建造费用最小时

3

r=2;当c>9202

时,建造费用最小时r=

c-2

.点拨

本题考查球与圆柱的体积公式、表面积公

式,函数建模,导数在解决实际问题中的应用.首先根据容积求出r,l的关系,即利用r表示l,根据l

2r

即可求出r的取值范围,根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积建立建造费用y关于r的函数关系,然后利用导数求解这个函数的最小值,注意分类讨论思想的灵活运用.

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