haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

0601中点问题

发布时间:2014-07-05 13:39:34  

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

广 州 学 乐 教 育

中点问题

学生姓名 ___________________

就读年级 ____________________

授课日期 ____________________

教研院审核_________________

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

中点有关知识:

1、线段中点:如AB中点为C,则AC=CB

等分点:

2、中垂线(垂直平分线):垂直平分线上的点到两端点的距离相等;

到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

3、中线:(1)三角形的中线把三角形的面积两等分;

(2)等腰(等边)三角形底边的中线有“三线合一”

(3)直角三角形斜边中线等于斜边的一半

4、中位线:三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

线性质定理,常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论,

①一组平行线在一直线上截得相等线段,在其他直线上截得的线段也相等

②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线,必平分第三边

③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线,必平分另一腰

5、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理”

6、轴对称:

7、中心对称:

8、坐标中点:A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点坐标为(

x1?x2y1?y2,) 22

解题思路:几何问题一般是添加辅助线构造全等三角形。

涉及到中点问题通常有以下三种思路:

(1) 找中点使之成为中位线构造全等三角形。

(2) 倍长中线法构造全等三角形。

(3) 直角三角形中取斜边中点,斜边中线为斜边的一半。

总之核心就是能构造出全等(相似)三角形、直角三角形,则思路正

确。

1

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012丰台二模

1、在△ABC中,D为BC边的中点,在三角形内部取一点P,使得∠ABP=∠ACP.过点P作PE⊥AC于

点E,PF⊥AB于点F.

(1)如图1,当AB=AC时,判断的DE与DF的数量关系,直接写出你的结论;

(2)如图2,当AB?AC,其它条件不变时,(1)中的结论是否发生改变?请说明理由.

AAFEF DCDC

图1 图2

2

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012朝阳二模

2、如图,D是△ABC中AB边的中点,△BCE和△ACF都是等边三角形,M、N分别是CE、CF的中点.

(1)求证:△DMN是等边三角形;

(2)连接EF,Q是EF中点,CP⊥EF于点P.

求证:DP=DQ.

同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面

两位同学的解题思路作为参考:

小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造

三角形的中位线,添加出了一些辅助线;小慧同学想到要

证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角形呢?她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

ADB 3

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012海淀二模

3、在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上,且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中

点, 点E在直线CF上(点E、C不重合).

(1)如图1, 若AB=BC, 点M、A重合, E为CF的中点,试探究BN与NE的位置关系 及CE的值, 并证明你的结论; BM

(2)如图2,且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE,你在(1)中得到的两个结论是否

成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;

(3)如图3,若点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的结论两个是否成立, 请

直接写出你的结论.

B B B MM A( M) D A N D

图1 图2 图3

4

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012海淀一模

5

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012西城一模

已知:在如图1所示的锐角三角形ABC中,CH⊥AB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,

AC边上一点E满足∠EDA=∠A,直线DE交直线CH于点F.

(1) 求证:BF∥AC;

(2) 若AC边的中点为M,求证:DF?2EM;

(3) 当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与BE

相等的线段,并证明你的结论.

图1 图2

6

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012丰台一模

已知:△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,联结EC,取EC的中点

M,联结BM和DM.

(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系

是 ;

(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.

AABC

E 7

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2009北京中考

问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC.若?ABC??BEF?60,探究PG与PC的位置关系及PG的值. PC

小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决. C D C D F G P F A E B E 图2 请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题: 图1

PG的值; PC

(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.

(3)若图1中?ABC??BEF?2?(0???90),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题PG的值(用含?的式子表示). PC

PG? 解:(1)线段PG与PC的位置关系是 ;PC中的其他条件不变,请你直接写出

(2)

8

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012昌平二模

8、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,过点B作BD⊥AC于D,BE平分∠DBC,交AC于E,过点A

作AF⊥BE于G,交BC于F,交BD于H.

(1)若∠BAC=45°,求证:①AF平分∠BAC;②FC=2HD.

(2)若∠BAC=30°,请直接写出FC与HD的等量关系.

A

BC

9.(2012石景山一模)(1)如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,M是AB的中点.直接写出∠BMD与∠ABECADM的倍数关系;

(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形, AB=2BC,M是AB的中点,过C作CE⊥AD与AD所

在直线交于点E.

①若∠A为锐角,则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系,并证明你的结论; ②当0???A?

?时,上述结论成立; ???A?180? 时,上述结论不成立. CD

CA9

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

10(2012顺义一模)

10

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

11(2011朝阳一模)

已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,点M是CE的中点,连接BM.

(1)如图①,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系

为 ;

(2)如图②,点D不在AB上,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.

图①

图② 11

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

中考压轴题之中点问题答案

2012丰台二模

2012朝阳二模

12

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012海淀二模

13

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012海淀一模

14

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012西城一模

15

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

16

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012丰台一模

(1)BM=DM且BM⊥DM. ………2分

(2)成立. ……………3分

理由如下:延长DM至点F,使MF=MD,联结CF、BF、BD. 易证△EMD≌△CMF.………4分

∴ED=CF,∠DEM=∠1.

∵AB=BC,AD=DE,且∠ADE=∠ABC=90°,

∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°.

∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6.

∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1,∠7=180°-∠6-∠9,

17

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

∴∠8=360°-45°-(180°-∠6-∠9)-(∠3+∠9)

=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 .

∴∠8=∠BAD.………5分

又AD=CF. ∴△ABD≌△CBF.

∴BD=BF,∠ABD=∠CBF.………6分

∴∠DBF=∠ABC=90°.

∵MF=MD,

∴BM=DM且BM⊥DM..…………7分

2009北京中考

.解:(1)线段PG与PC的位置关系是PG?PC;

PG?PC

··························································································································· 2分

(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.

证明:如图,延长GP交AD于点H,连结CH,CG. P是线段DF的中点,

?FP?DP.

由题意可知AD∥FG.

??GFP??HDP.

?GPF??HPD,

?△GFP≌△HDP.

?GP?HP,GF?HD.

四边形ABCD是菱形, D H A P F

?CD?CB,?HDC??ABC?60.

由?ABC??BEF?60,且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上, 可得?GBC?60.

??HDC??GBC.

四边形BEFG是菱形,

?GF?GB.

?HD?GB.

?△HDC≌△GBC.

?CH?CG,?DCH??BCG.

??DCH??HCB??BCG??HCB?120.

即?HCG?120.

CH?CG,PH?PG,

18

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

?PG?PC,?GCP??HCP?60.

?PG? ························································································································ 6分 PC

PG?tan(90??). ·(3)································································································· 8分 PC

2012昌平二模

2012石景山一模

(1)∠BMD= 3 ∠ADM ………… 2分

(2)联结CM,取CE的中点F,联结MF,交DC于N

∵M是AB的中点,∴MF∥AE∥BC, E∴∠AEM=∠1,∠2=∠4, ……… 3分

∵AB=2BC,∴BM=BC,∴∠3=∠4. F

∵CE⊥AE,∴MF⊥EC,又∵F是EC的中点, D∴ME=MC,∴∠1=∠2. ……….4分 ∴∠1=∠2=∠3. 13∴∠BME =3∠AEM. ………. 5分 A

(3)当0°<∠A<120°时,结论成立;

?180?时,结论不成立. …………7分 当120???A C

19

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

2012顺义一模

2011朝阳一模 . (1)BD=2BM. ……………………………………………………………………………2分

(2)结论成立.

证明:连接DM,过点C作CF∥ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,

20

学乐教育每一步 关注成长每一天 咨询电话:020—87762686

可证得△MDE≌△MFC.………………………………… 3分 ∴DM=FM, DE=FC. ∴AD=ED=FC. 作AN⊥EC于点N.

由已知∠ADE=90°,∠ABC=90°,

可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4分 ∵CF∥ED,∴∠1=∠FCM.

∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.

∴△BCF≌△BAD. …………………………………………………………………………5分 ∴BF=BD,∠5=∠6.

∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.

∴△DBF是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6分 ∵点M是DF的中点, 则△BMD是等腰直角三角形.

∴BD=2BM. ……………………………………………………………………………… 7分

21

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com