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八年级数学平方差公式课件人教版

发布时间:2014-07-07 12:00:00  

15.2.1
平方差公式

计算下列多项式的积,你能发 现什么规律?
2-1 x (1)(x+1)(x-1)=___________;
2- 4 m (2)(m+2)(m-2)=__________; 2-1 4 x (3)(2x+1)(2x-1)=_________.
请思考下面的问题:

1.等式左边的两个多项式有什么特点?
2.等式右边的多项式有什么特点? 3.请用一句话归纳总结出等式的特点.

(a ? b)(a ? b)
? a(a ? b) ? b(a ? b) 2 2 ? a ? ab ? ba ? b 2 2 ? a ?b

? (a ? b)(a ? b) ? a ? b
2

2

一般地,我们有
(a+b)(a-b) = a2-b2
.

即两个数的和与这两个数的差的
积,等于这两个数的平方差. 这个公式叫做(乘法的)平方差公式.

讨论
你能根据图15.2-1中的面积说 明平方差公式吗?
a S1 b b b a 图15.2-1

S2

例1 运用平方差公式计算:
(1) (3x+2) (3x-2); (3) (-x+2y) (-x-2y).
(3x+2) (3x - 2) = (3x)2 - 22

(2) (b+2a)(2a-b);

分析:在(1)中,可以把3x看成a,2看成b,即

(a + b) (a - b) = a2 - b2

解:(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) =(3x)2-22 =9x2-4. =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2

(3)(-x+2y)(-x-2y) = (-x)2-(2y)2 =x2-4y2.

=4a2-b2

例2 计算:

(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98=(100+2)(100-2)

= 1002-22=10 000 – 4 = 9 996.
(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.

练习

1. 下面各式的计算对不对?如果不对,应当 怎样改正?
(1)(x+2)(x-2) = x2-2 ; (2) (-3a-2) (3a-2) = 9a2 -4 . 2.运用平方差公式计算. (1) (a+3b) (a-3b); (3) 51×49; (2) (3+2a) (-3 + 2a) ;

(4) (3x+4)(3x-4) – (2x+3) (3x-2).

独立思考 归纳验证 2 2 (a ? b)(a ? b) ? a ? b
(1)公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差的积. 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反. (2)公式右边是这两个数的平方差; 即左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方. (3)公式中的 a 和 b 可以代表数, 也可以是代数式.

特征
结构

开放训练 应用拓展
下列各式能否用平方差公式进行计算?
(能) ⑴ (7ab ? 3b)(7ab ? 3b) (不能) ⑵ (?8 ? a )(a ? 8) ⑶ ( 2a ? 3b)( 2a ? 3b) (能)

⑷ ( x ? 3)( ? x ? 3) ⑸ (?3 ? m)( m ? 3)

(不能)

(能)

思维延伸
已知,两个正方形的周长之和等于32cm,它们的面积之差为 48cm2,求这两个正方形的边长.

创新应用
如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b),把 余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部 分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( ) A. a2-b2 = (a+b) (a-b)
a a

B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. (a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
b 图1 b 图2

综合拓展
计算 20042-2003×2005

P156 第1题


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