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安徽省初三 第九讲 二次函数(1)

发布时间:2014-07-08 13:59:46  

一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

二次函数(1)(学案)

【中考要求】

【知识要点】

1.形如____________的函数叫做二次函数,其中______是目变量,a,b,c是______且______≠0. 2.函数y=x2的图象叫做______,对称轴是______,顶点是______.

3.抛物线y=ax2的顶点是______,对称轴是______.当a>0时,抛物线的开口向______;当a<0时,抛物线的开口向______.

4.当a>0时,在抛物线y=ax2的对称轴的左侧,y随x的增大而______,而在对称轴的右侧,y随x的增大而______;函数y当x=______时的值最______.

5.当a<0时,在抛物线y=ax2的对称轴的左侧,y随x的增大而______,而在对称轴的右侧,y随x的增大而______;函数y当x=______时的值最______.

6.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的顶点坐标是______,对称轴是______,当x=______时,y有最值______;当a>0时,若x______时,y随x增大而减小.

7.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的顶点坐标是______,对称轴是______,当x=______时,y有最值

______;当a>0时,若x______时,y随x增大而减小.

8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有交点,则b2-4ac______0;

若一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1,x2,则二次函数可表示为y=_________ ____________.

9.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的位置关系:

一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac. (1)当△=b2-4ac>0时 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点; (2)当△=b2-4ac=0时 抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点; (3)当△=b2-4ac<0时 抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.

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一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

【基础训练】

1

2.已知二次函数y=2x+4x-6.

(1)将其化成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)写出开口方向,对称轴方程,顶点坐标; (3)求图象与两坐标轴的交点坐标; (4)画出函数图象;

(5)说明其图象与抛物线y=x2的关系; (6)当x取何值时,y随x增大而减小; (7)当x取何值时,y>0,y=0,y<0;

(8)当x取何值时,函数y有最值?其最值是多少? (9)当y取何值时,-4<x<0;

(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.

3.在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx-2(k≠0)的图象大致如图( )

4.如图,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直,若小正方形边长为x,且0<x≤10,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( )

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一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

5.如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4m高.球第一次落地后又弹起.据试验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.

(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;

(2)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少

米?(取4?7,2?5)

【典型例题】

例1. 已知抛物线y?ax2?bx?c如图,试确定:

(1)a,b,c及b2?4ac的符号;

(2)a?b?c与a?b?c的符号。

解:(1)由图象知抛物线开口向下,对称轴在y轴左侧,过A(1,0)与y轴交于B(0,c),在x轴上方 b?a?0,c?0,??0 2a

?b?0

∵抛物线与x轴有两交点

?b2?4ac?0 2?a?0,b?0,c?0,b?4ac?0

(2)∵抛物线过A(1,0)

?0?a?b?c

?a?c??b?0

a?b?c??2b?0

?a?b?c?0,a?b?c?0

例2. 求二次函数解析式:

(1)抛物线过(0,2),(1,1),(3,5);

(2)顶点M(-1,2),且过N(2,1);

3

一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

(3)与x轴交于A(-1,0),B(2,0),并经过点M(1,2)。

解:(1)设二次函数解析式为y?ax2?bx?c(a?0)

?2?0·a?0·b?c? 由题意?1?a?b?c

?5?9a?3b?c?

?a?1? ??b??2

?c?2?

∴所求二次函数为y?x2?2x?2

(2)设二次函数解析式为y?a?x?h??k

∵顶点M(-1,2)

?h??1,k?2 2?y?a?x?1??2

∵抛物线过点N(2,1) 2

?1?a?2?1??2

21?a??9

1?x?1?2?2 9

1217 即y??x2?x? 999

(3)设二次函数解析式为y?a?x?x1??x?x2?(a?0) ∴所求解析式y??

∵抛物线与x轴交于A(-1,0),B(2,0)

?y?a?x?1??x?2?

∵抛物线过M(1,2)

?2?a?1?1??1?2?

?a??1

∴所求解析式y???x?1??x?2?

即y??x2?x?2

例3. 抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是直线x?2?0,且在x轴上截取长度为22的线段,求解析式。

解:∵对称轴为x?2?0,即x??2

∴可设二次函数解析式为y?a?x?2??k

∵在x轴上截取长度为22

∴抛物线过?2?2,0与?2?2,0两点 ?0?a?2?2?2

22??????2?k?1? 又∵(-1,-1)在抛物线上 ??1?a??1?2??k?2?

由<1>、<2>解得:a?1,k??2

4

一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

∴解析式为y??x?2??2

即y?x2?4x?2 2

例4重庆市某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销

1售,区政府对该花木产品每投资x万元,所获利润为P=-50(x-30)2+10万元,为了

响应我国西部大开发的宏伟决策,区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,

49194每投资x万元可获利润Q=-50(50-x)2+5 (50-x)+308万元。

(1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少?

(2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?

(3)根据(1)、(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。

1(1)若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=-50 (x-30)2+10知道,只需从50万元

专款中拿出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M1=10×10=100万元。

(2)若对该产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是:

1P=-50 (25-30)2+10=9.5(万元)

则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元

设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。

49194 则由Q=-50(50-x)5-x)+308知,将余下的(50-x万元全部用于外地销

1售的投资.才有可能获得最大利润; 则后5年的利润是: M3=[-50-30)2+10]×5

49194+(-50x2+5x+308)×5=-5(x-20)2+3500 故当x=20时,M3取得最大值为3500万元。

∴ 10年的最大利润为M=M2+M3=3547.5万元

(3)因为3547.5>100,所以该项目有极大的开发价值。

例5某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)设公司获得的总利润(总利润?总销售额?总成本)为P元,求P与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;根据题意判断:当x取何值时,P的值最大?最大值是多少?

5

一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

解:(1)设y与x的函数关系式为:y?kx?b,

∵函数图象经过点(60,400)和(70,300), y(件)∴??400?60k?b, 解得??k??10?300?70k?b?b?1000. ∴y??10x?1000.

(2)P?(x?50)(?10x?1000) P??10x2?1500x?50000

自变量取值范围:50≤x≤70. ∵?b

2a??1500

?20?75,a??10<0.

∴函数P??10x2?1500x?50000图象开口向下,对称轴是直线x=75. ∵50≤x≤70,此时y随x的增大而增大,

∴当x?70时,P最大值?6000.

【课堂检测】

1、抛物线y=1

2x2 向左平移8个单位,再向下平移9个单位后,所得抛物线的表达式是( ) A. y=1212121

2(x+8)-9 B. y=2(x-8)+9 C. y=2(x-8)-9 D. y=2(x+8)2+9

2. (2011山东德州6,3分)已知函数y?(x?a)(x?b)(其中a?b)的图象 如下面右图所示,则函数y?ax?b的图象可能正确的是( )

第2题图

【答案】D

6

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3.(2011山东菏泽,8,3分)如图为抛物线y?ax2?bx?c的图像,A、B、C 为抛物线与坐标轴的

交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是( )

A.a+b=-1 B. a-b=-1 C. b<2a D. ac

<0

【答案】B

4. (2009年桂林市、百色市)二次函数y?(x?1)2?2的最小值是( ).

A.2 B.1 C.-3 D.

5、(2009威海)二次函数y??3x2?6x?5的图象的顶点坐标是( )

A.(?18)C.(?1,D.(1,2) ?4) , B.(18),

6.(2010年安徽芜湖)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(-333,1)、C(-33,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-3,1)、F(-,0)的直3

线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B′、C′.

(1)求折痕所在直线EF的解析式;

(2)一抛物线经过B、E、B′三点,求此二次函数解析式;

(3)能否在直线EF上求一点P,使得△PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由。

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7.(2010年浙江绍兴)如图,设抛物线C1:y?a?x?1??5, C2:y??a?x?1??5,C1与C2的交点22

为A, B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是-2.

(1)求a的值及点B的坐标;

(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,

在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的

直线为l,且l与x轴交于点N.

① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为

(1, 2),求点N的横坐标;

② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

第7题图

【课后作业】

1、 (2009年四川省内江市)抛物线y?(x?2)?3的顶点坐标是( )

A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)

2. (2011广东广州市,5,3分)下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是( ).

A.y = x

【答案】D

3. (2011山东威海,7,3分)二次函数y?x?2x?3的图象如图所示.当y<0时,自变量x的

取值范围是( ).

A.-1<x<3 B.x<-1 C. x>3 D.x<-1或x>3 222B.y = x-1 3C. y = x 41D.y = x

4、(2009年长春)如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按

原路返回,点P在运动过程中速度大小不变,则以点A为圆心,线段AP长为半径

的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为( )

5. (2011安徽芜湖,10,4分)二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示,则反比例函数y?一次函数y?bx?c在同一坐标系中的大致图象是( ). 2a与x

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【答案】D

6.(2010年浙江杭州) 在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =12x+1,点C的坐标为(–4,4

0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上.

(1) 写出点M的坐标;

(2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;

② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.

(第6题)

7.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD

的宽是10m.

(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此

桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不

计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当

行驶1h时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,

造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到

通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,

禁止车辆通行).试问:如果货车按原来速度行驶,

能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能,

要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千

米?

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