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安徽省初三 第二讲 一元二次方程

发布时间:2014-07-08 13:59:50  

一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

一元二次方程(学案)

【中考要求】

【知识要点】

1.只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程,叫做一元二次方程;

2.ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的 形式,其中

是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项.

3. 填空:解一元二次方程的方法有四种,它们是直接开平方法、 、 、 .

4.(1

)通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.可以看出, 配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解.

(2) 一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2?bx?c?0,当b2?4ac?0,将a,b,c代入式子?b就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,这种解x?2a

法叫做公式法.由求根公式可知, 一元二次方程最多有两个实数根.

(3)用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.

(4)配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式; 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程, 因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.

【基础训练】

1.若n(n?0)是关于x的方程x2?mx?2n?0的根,则m+n的值为( )

A.1 B.2 C.-1 D.-2

1

一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

2. 下列方程中,关于x的一元二次方程是( ).

(A) 3(x?1)2?2(x?1) (B) 11??2?0 2xx

(C) ax2?bx?c?0 (D) x2?2x?x2?1

3. 如左下图所示,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为( )

A.1米 B.1.5米 C.2米 D. 2.5米

4. 利用判别式判断下列方程的根的情况:

(1)x2-5x=-7;

(2)(x-1)(2x+3)=x;

(3)x2

. 5. 以3和?1为两根的一元二次方程是( )

(A) x2?2x?3?0 (B) x2?2x?3?0

(C) x2?2x?3?0 (D) x2?2x?3?0

【典型例题】

例1. 用配方法解下列方程:

(1)x2?8x?2?0 (2)2x2?4x?9?0

解:(1)移项,得x2?8x??2

配方 x2?8x?42??2?42 (x?4)2?14

由此可得

x?4?

x1?4,x2?4.

(2) 移项,得2x2?4x?9

二次项系数化为1,得x2?2x?

配方x2?2x?12?

∴x?1?

9 29211?1 即 (x?1)2? 22?1,x2?1 ∴x1?评注:运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数

2

一个成功者所知道的,不是勤奋,便是谦虚。——谚语

项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1” 的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为(ax?b)2?m的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.

例2. 解下列方程

1?0 (2)x(x?3)?x?3?0 4

11解

:(1)a?1,b?c?

,b2?4ac?(2?4?1??1

44(1)x2?

x??(1

?2?12

11 ,x2?22x1?

(2)因式分解,得(x?1)(x?3)?0

于是得 x?1?0或x?3?0

x1?1,x2?3

评注:掌握好一元二次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键. 因式分解法求根,解答过程较简单,但并不具有普遍意义.解一元二次方程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.

【课堂检测】

(1)用直接开平方法解方程:2(x-3)-6=0; 2

解:原方程化成 .

开平方,得 ,

x1= ,x2= .

(2)用配方法解方程:3x2-x-4=0;

解:移项,得 .

二次项系数化为1,得 .

配方 , . 开平方,得 ,

3

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x1= ,x2= .

(3)用公式法解方程:x(2x-4)=2.5-8x.

解:整理,得 . a= ,b= ,c= .

b2-4ac= = >0.

-b? x=, 2a

x1= ,x2= .

(4)用因式分解法解方程:x(x+2)=3x+6.

解:移项,得 .

因式分解,得 .

于是得 或 ,

x1= ,x2= .

(5)先指出下列方程用哪种方法来解比较合适,然后再按这种方法解:

(1)(2x-3)2=25;

(2)(2x-3)2=5(2x-3); (3)(2x-3)=x(3x-2).

【课后作业】

1. 如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 2

2. 如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.

3. 如果关于x的一元二次方程kx2?6x?9?0有两个不相等的实数根,那么k的取值范是

( ).

(A) k<1 (B) k?0 (C) k<1且k?0 (D)k>1

4. 用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)

(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y+1=; (3)(x-a)=1-2a+a(a是常数)

(4) x2?1)x??0 (5) (3x?2)?2(3x?2)?15?0

5. 已知关于x的方程x?2x?m?1?0无实数根,

求证:关于x的另一方程x?(m?2)x?2m?1?0必有两个不相等的实数根.

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6. 在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.

7. 如图,某农户为了发展养殖业,准备利

用一段墙( 墙长18米)和55米长的竹篱笆

围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、

鹅各一个.问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面

积为150米,那么有几种围法?(2)如果需要

围成的养殖场的面积尽可能大,那么又应

怎样围,最大面积是多少?

8.常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:

2

某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?

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