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探究三角形全等的条件

发布时间:2014-07-09 14:07:01  

【考纲说明】

1、理解三角形对应边相等、对应角相等。

2、灵活运用判定定理:SAS、ASA、AAS、SSS、HL。

3、中考会以选择、填空、解答题的形式出现,占3--10分。

【趣味链接】

小朋友们去野炊,小明有一双筷子,小红也有一双筷子,小方也有一双筷子,他们筷子的长度是一样的。吃完饭后想放风筝,于是他们把筷子分成2份,用橡皮筋把筷子2头扎起来,再用报纸一糊,做成了2只风筝,你说这两只风筝一样吗?

【知识梳理】

我们身边有很多的全等形,全等三角形是最基本,应用最广泛的一类全等形,要想学好全等知识,一定要掌握下

面的内容。

一、知识网络

??对应角相等性质???对应边相等???边边边 SSS??全等形?全等三角形?边角边 SAS?应用??判定? ?角边角 ASA??角角边 AAS?????斜边、直角边 HL?

作图? 角平分线??性质与判定定理

二、基础知识梳理

(一)、基本概念

1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;

3、全等三角形的判定方法

(1)SSS: 三边对应相等的两个三角形全等。

(2)ASA:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(3)AAS:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(4)SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(5)HL: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

1

4、角平分线的性质及判定

性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

(二)灵活运用定理

证明两个三角形全等,必须根据已知条件与结论,认真分析图形,准确无误的确定对应边及对应角;去分析已具有的条件和还缺少的条件,并会将其他一些条件转化为所需的条件,从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

(1)已知条件中有两角对应相等,可找:

①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)

(2)已知条件中有两边对应相等,可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

【经典例题】

【例1】(2011江苏宿迁)如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )

A、AB=AC B、BD=CD C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA

【例2】(2011南昌)如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( )

A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC

【例3】(2011年山东省威海市)在△ABC中,AB>AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点F在BC边上,连接DE,DF,EF,则添加下列哪一个条件后,仍无法判定△BFD与△EDF全等( )

2

A、EF∥AB B、BF=CF C、∠A=∠DFE D、∠B=∠DEF

【例4】(2011安徽省芜湖市)如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和BE的交点,CD=4,则线段DF的长度为( )

A

、 B、4 C

、 D

【例5】(2011梧州)如图,点B、C、E在同一条直线上,△ABC与△CDE都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是( )

A、△ACE≌△BCD B、△BGC≌△AFC C、△DCG≌△ECF D、△ADB≌△CEA

【例6】(2011广西百色)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC.∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:①△BCD≌△CBE;②△BAD≌△BCD;③△BDA≌△CEA;④△BOE≌△COD;⑤△ACE≌△BCE;上述结论一定正确的是( )

A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④

【例7】(2011南昌)如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,且∠DAB=30°.有以下四个结论:

①AF丄BC;②△ADG≌△ACF;③O为BC的中点;④AG:DE=错误!未找到引用源。:4,其中正确结论的序号

是 ..

3

【例8】(2011山西)如图,已知AB=12,AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10,点E是CD的中点,则AE

的长是_______.

【例9】(2011?郴州)如图,已知∠1=∠2=90°,AD=AE,那么图中有 对全等三角形.

(第18题)

【例10】(2011浙江台州,19,8分)如图,分别延长?ABCD的边BA.DC到点E.H,使得AE=AB,CH=CD,连接EH,分别交AD.BC于点F.G.

求证:△AEF≌△CHG.

【课堂练习】 1、(2011广东湛江,19,4分)如图,点B,C,F

,E在同直线上,∠1=∠2,BC=EF,∠1 _______(填“是”或“不是”)∠2的对顶角,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,可以是 _______(只需写出一个)

2、2011

重庆)如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:BC∥EF.

4

A C D

E

19题图

3、(2011江苏连云港)两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O

为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?为什么?

4、(2011江苏南京)如图,将?ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.

(1)求证:△ABF≌△ECF;

(2)若∠AFC=2∠D,连接AC、BE,求证:四边形ABEC是矩形.

5、(2011江苏无锡)如图,在?ABCD中,E、F为对角线BD上的两点,且∠BAE=∠DCF.求证:BE=DF.

【课后作业】

1.已知,如图,AD=AC,BD=BC,O为AB上一点,那么,图中共有

5

A

ABE

B

(第1题图) (第2题图)

2.如图,△ABC≌△ADE,则,,∠E=BAE=120°,∠BAD=40°,则∠. DC

3、如图,BE=CF,AB=DE,添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE ( )

(A)BC=EF (B)∠A=∠D (C)AC∥DF (D)AC=DF

AD

BCF

4、下列结论正确的是 ( )

(A)有两个锐角相等的两个直角三角形全等;

(B)一条斜边对应相等的两个直角三角形全等;

(C)顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等;

(D)两个等边三角形全等.

5、已知,如图,△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BE=CF,则下列说法正确的有几个 (

(1)AD平分∠EDF;

(2)△EBD≌△FCD;

(3)BD=CD; B

(4)AD⊥BC.

(A)1个 (B)2个

(C)3个 (D)4个 A

D

F

C

6、如图,AB=DF,AC=DE,BE=FC,问:ΔABC 与ΔDEF全等吗?

AB与DF平行吗?请说明你的理由。

7、如图,已知AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于O,ΔABE与ΔACD全等吗?说明你的理由。

6

8、已知如图,AC和BD相交于O,且被点O平分,你能得到AB∥CD,且AB=CD吗?

请说明理由。

【参考答案】

经典例题

1、解答:证明:A、∵∠1=∠2,AD为公共边,若AB=AC,则△ABD≌△ACD(SAS);故本选项正确,不合题意.

B、∵∠1=∠2,AD为公共边,若BD=CD,不符合全等三角形判定定理,不能判定△ABD≌△ACD;故本选项错误,符合题意.

C、∵∠1=∠2,AD为公共边,若∠B=∠C,则△ABD≌△ACD(AAS);故本选项正确,不合题意.

D、∵∠1=∠2,AD为公共边,若∠BDA=∠CDA,则△ABD≌△ACD(ASA);故本选项正确,不合题意. 故选B.

2、解:∵AD=AD,A.当BD=DC,AB=AC时,利用SSS证明△ABD≌△ACD,正确;B.当∠ADB=∠ADC,BD=DC时,利用SAS证明△ABD≌△ACD,正确;C.当∠B=∠C,∠BAD=∠CAD时,利用AAS证明△ABD≌△ACD,正确;D.当∠B=∠C,

4、解:∵AD⊥BC, ∴∠ADC=∠FDB=90°, ∵∠ABC=45°, ∴∠BAD=45°, ∴AD=BD, ∵BE⊥AC,

∴∠AEF=90°, ∴∠DAC+∠AFE=90°, ∵∠FDB=90°, ∴∠FBD+∠BFD=90°, 又∵∠BFD=∠AFE,

∴∠FBD=∠DAC,

在△BDF和△CDA中:错误!未找到引用源。, ∴△BDF≌△CDA, ∴DF=CD=4. 故选:B.

5、解:∵△ABC和△CDE都是等边三角形, ∴BC=AC,CE=CD

,∠BCA=∠ECD=60°,∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE,

∴在△BCD和△ACE中错误!未找到引用源。, ∴△BCD≌△ACE(SAS), 故A成立,

∴∠DBC=∠CAE, ∵∠BCA=∠ECD=60°, ∴∠ACD=60°, 在△BGC和△AFC中错误!未找到引用源。,

∴△BGC≌△AFC, 故B成立, ∵△BCD≌△ACE, ∴∠CDB=∠CEA, 7

在△DCG和△ECF中错误!未找到引用源。,∴△DCG≌△ECF, 故C成立, 故选:D.

6、解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE.

∴①△BCD≌△CBE (ASA); ③△BDA≌△CEA (ASA); ④△BOE≌△COD (AAS或ASA). 故选D.

7、解:∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,且∠DAB=30°.

∴∠CAF=30°,∴∠GAF=60°,∴∠AFB=90°,①AF丄BC正确;∵AD=AC,∠DAG=∠CAF,

∠D=∠C=60°,∴②△ADG≌△ACF正确;∵△ADG≌△ACF,∴AG=AF.∵AO=AO,∠AGO=∠AFO=90°,∴△AGO≌△AFO,∴∠OAF=30°,∴∠OAC=60°,∴AO=CO=AC,BO=CO=AO,∴③O为BC的中点正确;假设DG=x,∵∠DAG=30°,∴AG=x,∴GE=3x,④AG:DE=错误!未找到引用源。:4正确;故答案为:①②③④.

8、延长AE交BC于点F,则△EAD≌△EFC, FC= AD=5. △ABF中,由勾股定理得AF=13. 点E是CD的中点,则AE的长是1313. 解答 :22

9、解:①△AEB≌△ADC; ∵AE=AD,∠1=∠2=90°,∠A=∠A, 、AB=AC, ∴BD=CE;

②△BED≌△CDE; ∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED, ∵∠ADC=∠AEB,∴∠CDE=∠BED, ∴△BED≌△CDE.

③∵BD=CE,∠DBO=∠ECO,∠BOD=∠COE, ∴△BOD≌△COE. 故答案为3.

10、证明:在?ABCD中,AB∥CD,AB=CD, ∴∠E=∠H,∠EAF=∠D, ∵AD∥BC, ∴∠EAF=∠HCG,

∵AE=AB,CH=CD, ∴AE=CH, ∴△AEF≌△CHG(ASA). 课堂练习

1、根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角.要使△ABC≌△DEF,已知∠1=∠2,BC=EF,则只需补充AC=FD或∠BAC=∠FED都可,答案不唯一.

解答:解:根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角

故填:不是.

添加AC=FD或∠BAC=∠FED后可分别根据SAS、AAS判定△ABC≌△DEF,

故答案为:AC=FD,答案不唯一.

2、 证明:∵AF=DC, ∴AC=DF, 又∵AB=DE,∠A=∠D, ∴△ACB≌△DEF, ∴∠ACB=∠DFE, ∴BC∥EF.

3、证明:△AOF≌△DOC. ∵两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF, ∴AB=BD,AC=DF,

∴AF=DC,AO=DO, ∵∠A=∠D, ∴△AOF≌△DOC.

4、证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AB=DC, ∴∠ABF=∠ECF, ∵EC=DC,∴AB=EC, 在△ABF和△ECF中, ∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC, ∴△ABF≌△ECF.

(2)∵AB=EC,AB∥EC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴FA=FE,FB=FC, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠D, 又∵∠AFC=2∠D, ∴∠AFC=2∠ABC, ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF, ∴∠ABF=∠BAF,

∴FA=FB, ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC, ∴四边形ABEC是矩形.

5、 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF, 又已知∠BAE=∠DCF,

∴△ABE≌△DCF, ∴BE=DF.

课后作业

1.3; 2.AD,∠C,80; 3、D 4、C 5、D 6、 能; 7、 能,理由略; 8、 三角形全等;

8

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