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知识点 代数

发布时间:2014-07-11 11:40:01  

八年级下

第17章 分式

1.分式 A

形如B(A、B是整式,且B中含有字母,B?0)的式子,叫做分式。其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。

【注】分式中。分母不能为零,否则分式无意义。

2.有理式

整式和分式统称为有理式。

3.分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 最简分式

分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。

6.最简公分母

各分母所有因式的最高次幂的积

7.分式的运算

(1)分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简。

(2)分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相除。

(3)分式的乘方等于分子分母分别乘方。

(4)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。

异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减。

8.分式方程

(1)分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

(2)解分式方程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。

(3)增根是指不适合原分式方程的解(或根),因此,解分式方程必须进行检验。

(4)解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见,可将它代入最简公分母中,看它的值是否为零,若为零,则为增根。

9.零指数幂与负整指数幂

(1)任何不等于零的数的零次幂都等于1。

【注】0的零次幂没有意义。

(2)任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数。 a?n?1(a?0,n na是正整数)

利用10的负整指数幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成a?10的形式,其中n是正整数,

?n1?a?10。

第18章 函数及其图像

1.变量与函数

(1)变量:在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量。

(2)一般的,如果在一变化过程中,有两个变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量。此时也称y是x函数。

(3)表示函数关系的方法

1)解析法(关系式法):两个变量之间的关系,有时可以用一个含有这两个变量的等式表示,这种方法叫解析式法。

2)列表法

3)图像法

(4)在问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量。

(5)函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值全体。通常从两方面考虑1)在实际问题中,自变量x的取值会受到实际意义的限制。2)使函数的解析式有意义。

2.函数的图像

(1)直角坐标系

1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴,这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点。

2)在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N。这时,点M在x轴上对应的数字是m,称为点P的横坐标;点N在y轴上的坐标为n,称为点P的纵坐标,得到一对有序实数(m,n),称为点P的坐标,可记为P(m,n)。

3)在平面直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限,坐标轴上的点不属于任何一个象限。

x

1)一般来说,函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标

(x,y)代表函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值。

2)画函数图像的方法:描点法。即列表、描点、连线三步。

3.一次函数

(1)函数的解析式都是用自变量的一次整式表示,我们称它们为一次函数。 一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k?0。 特别的,当b=0时,一次函数y=kx(常数k?0),也叫做正比例函数。

(2)一次函数的图像

一次函数y=kx+b(k、b是常数,k?0)的图像是一条直线,通常也称为直线y=kx+b。特别的,正比例函数y=kx(k?0)的图像是经过原点(0,0)。 对于直线y=kx+b(k、b是常数,k?0),k表示直线的倾斜程度。b是直线与y轴交点的纵坐标。

(3)一次函数的性质

当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图像从左到右上升。

当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图像从左到右下降。

当k>0,b>0时,函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限。

当k>0,b<0时,函数经过Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限。

当k<0,b>0时,函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限。

当k<0,b<0时,函数经过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。

(4)求一次函数的关系式

待定系数法:先设待求函数关系式(其中含有未知数的系数),再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得出所求结果的方法,叫做待定系数法。

4.反比例函数

(1)一般的,形如y?k(k?0,k x是常数)的函数叫做反比例函数。

(2)反比例函数的图像时双曲线。

(3)反比例函数的性质

1)当k>0时,函数的图像在第Ⅰ、Ⅲ象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增大而减小。

2)当k<0时,函数的图像在第Ⅱ、Ⅳ象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增大而增大。

5.二元一次方程组的图像解法

画出方程组对应的两个一次函数的图像,找出它们的交点,这个交点的坐标就是二元一次方程组的解,这种解方程的方法叫做二元一次方程组的图像解法。

6.一次函数与一元一次不等式

使一次函数y=kx+b(k?0)的函数值y>0的自变量的所有的值,就是一元一次不等式kx+b>0的解集。

第19章 全等三角形

1.命题

判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题,错误的命题叫假命题。

命题可以写成“如果??,那么??”的形式。

2.定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理。

3.公理

数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定公理。

4.全等三角形的判定

一般三角形 SSS SAS ASA AAS

直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL

5.尺规作图

只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。

(1)作一条线段等于已知线段

(2)作一个角等于已知角

(3)作已知角的平分线

(4)经过一已知点(直线上、直线外)作已知直线的垂线

(5)作已经线段的垂直的平分线

6.逆命题

(1)对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题。

(2)原命题为真,它的逆命题不一定为真

7.等腰三角形的判定

(1)利用定义:两条边相等的三角形叫等腰三角形。

(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边)。

8.勾股定理的逆定理

如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和,那么这个三角形是直角三角形。

9.角平分线

到一个角两边距离相等的点,在这个角的平分线上。

10.线段垂直平分线

到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

平行四边形的判定

1.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2.矩形的判定

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)对角线相等的平行四边形是矩形。

(3)有三个角是直角的四边形是矩形。

3.菱形的判定

(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(3)四条边都相等的四边形是菱形。

(4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

4.正方形的判定

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(2)有一个角是直角的菱形是正方形。

(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

5.等腰梯形的判定

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形。

(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

(3)两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

第21章 数据的整理与初步处理

1.算术平均数

若一组数据为x1,x2,x3......xn,它们的平均数为x,则?x??1?x1?x2?x3?????xn?n。平均数反映了这组数据中个数据的平均大小或者是集中趋势。

2.加权平均数

一般来说,由于各个指标在总结果中占有不同的重要性,因而会被赋予不同的权重,各指标乘以相应的权重后所得的平均数就是加权平均数。

x??f1x1?f2x2?????fnxn(f1?f2?????fn?n)f1?f2?????fn

3.扇形统计图的制作

(1)先计算出各部分数量占总数量的百分比。

(2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角的度数。

(3)按照圆心角度数,在圆中画出各个扇形。

(4)在每个扇形中标出所表示各个部分数量名称和所占的百分比。

5.中位数

把一组数据按由小到大的顺序排列,若有奇数个数时,则处在正中间的数是中位数。

若有偶数个数时,则取中间两个数的平均数是中位数。

中位数也反映的是一组数据的集中趋势。

6.众数

一组数据中出现次数最多的那个数据值。它也反映的是一组数据的集中趋势。 一组数据中可以不止一个众数,也可以没有众数。

7.极差=最大值—最小值,反映这组数据的变化范围。

8.方差

用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均。”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况,这个结果叫做方差。

通常用s表示一组数据的方差,x表示一组数据的平均数。

?2?2?2??1??????s2???x1?x???x2?x???????xn?x??n??????????

9.标准差 2?

?2?2?2?1???????s???x1?x???x2?x???????xn?x??n??????????

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