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2011中考数学真题解析53 二次函数的几何应用(含答案)

发布时间:2014-07-11 14:25:16  

(2012年1月最新最细)2011全国中考真题解析120考点汇编

二次函数的几何应用

一、选择题

1. (2011?安顺)正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设小正方形EFGH的面积为y,AE=x.则y关于x的函数图象大致是( )

A、 B、

C、 D、

考点:二次函数综合题。

分析:由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x,根据y=S

S△DGH,求函数关系式,判断函数图象.

解答:解:依题意,得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH

=1﹣4×(1﹣x)x=2x﹣2x+1,

即y=2x﹣2x+1(0≤x≤1),

抛物线开口向上,对称轴为x=,

故选C. 22正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣

第1页

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据题意,列出函数关系式,判断图形的自变量取值范围,开口方向及对称轴.

二、填空题

1. (2011山东日照,16,4分)正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当BM= 2 时,四边形ABCN的面积最大.

考点:二次函数的最值;正方形的性质;相似三角形的判定与性质。

专题:应用题。

分析:设BM=x,则MC=﹣4x,当AM⊥MN时,利用互余关系可证△ABM∽△MCN,利用相似比求CN,根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积,用二次函数的性质求面积的最大值.

解答:解:设BM=x,则MC=﹣4x,

∵∠AMN=90°,

∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC,

∴△ABM∽△MCN,则

解得CN=ABBM4x??,即, MCCN4?xCNx(4?x), 4

1x(4?x)12∴S四边形ABCN=×4×[4+]=﹣x+2x+8, 242

1∵﹣<0, 2

第2页

∴当x=?2

12?(?)2=2时,S四边形ABCN最大.

故答案为:2.

点评:本题考查了二次函数的性质的运用.关键是根据已知条件判断相似三角形,利用相似比求函数关系式.

三、解答题

1. (2011江苏淮安,26,10分)如图,已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交

点为A(4,0),与y轴交于点B.

(1)求此二次函数关系式和点B的坐标;

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P,使得△PAB是以AB为底的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由

.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)把点A的坐标代入二次函数,求出b的值,确定二次函数关系式,把x=0代入

二次函数求出点B的坐标.(2)作AB的垂直平分线,交x轴于点P,求出点P的坐标,若点P的横坐标是正数,那么点P就符合题意,这样的点是存在的.

解答:解:(1)把点A(4,0)代入二次函数有: 0=﹣16+4b+3,得:b=

所以二次函数的关系式为:y=﹣x+2x+3.

第3页

当x=0时,y=3, ∴点B的坐标为(0,3).

(2)如图:

作AB的垂直平分线交x轴于点P,连接BP,

则:BP=AP

设BP=AP=x,则OP=4﹣x,

在直角△OBP中,BP=OB+OP

即:x=3+(4﹣x), 解得:x=222222,∴OP=4﹣=

所以点P的坐标为:(,0)

点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标.(2)根据等腰三角形的性质,利用勾股定理求出点P的坐标.

2. (2011江苏淮安,28,12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在

AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧,设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是t=3时,正方形EFGH的边长是 ;

(2)当0<t≤2时,求S与t的函数关系式;

第4页

(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?

.......

考点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;勾股定理;正方形的性质。

专题:计算题;几何动点问题;分类讨论。

分析:(1)当时t=1时,可得,EP=1,PF=1,EF=2即为正方形EFGH的边长;当t=3时,PE=1,PF=3,即EF=4;

(2)正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状,依次为正方形、五边形和梯形;可分

三段分别解答:①当0<t≤

的函数关系式;

(3)当t=5时,面积最大;

解答:解:(1)当时t=1时,则PE=1,PF=1,∴正方形EFGH的边长是2;当t=3时,PE=1,PF=3,∴正方形EFGH的边长是4;

(2):①当0<t≤时, S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t;

22时;②当<t≤时;③当<t≤2时;依次求S与t②当

2<t≤时, S与t的函数关系式是: y=4t﹣[2t﹣(2﹣t)]×[2t﹣(2﹣t)] =﹣t+11t﹣3;

③当<t≤2时; S与t的函数关系式是

y=(t+2)×(t+2)﹣(2﹣t)(2﹣t)=3t;

(3)当t=5时,最大面积是: S=16﹣××=;

第5页

点评:本题考查了动点函数问题,其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质,锻炼了

学生运用综合知识解答题目的能力.

3. (2011江苏连云港,25,10分)如图,抛物线y?

与y轴交于点C,其顶点在直线y=-2x上.

(1)求a的值;

(2)求A,B两点的坐标;

(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由

. 12x?x?a与x轴交于A,B两点,2

考点:二次函数综合题。

分析:(1)根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标,再代入一次函数即可求出a的值;

(2)根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A,B两点的坐标;

(3)根据平行四边形的性质得出D点的坐标,即可得出D′点的坐标,即可得出答案. 解答:解:(1)∵抛物线y=x﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上.

2222∴抛物线

y=x﹣x+a=(x﹣2x)+a=(x﹣1)﹣+a,

第6页

∴顶点坐标为:(1,﹣+a),∴y=﹣2x,﹣+a=﹣2,∴a=﹣;

2(2)二次函数解析式为:

y=x﹣x﹣,

222∵抛物线

y=x﹣x﹣与x轴交于点A,B,∴0=x﹣x﹣,整理得:x﹣2x﹣3=0,解得:

x=﹣1或3, A(﹣1,0),B(3,0);

(3)作出平行四边形ACBD,作DE⊥AB,

∵二次函数解析式为:

y=x﹣x﹣,∴图象与y轴交点坐标为:(0,﹣),∴CO=,∴DE=, ∵∠CAO=∠DBE,∠DEB=∠AOC,∴△AOC≌△BDE,∵AO=1,∴BE=1, D点的坐标为:(2,), 2

∴点D关于x轴的对称点D′坐标为:(2,﹣),

2代入解析式

y=x﹣x﹣,左边=﹣,右边=×4﹣2﹣=﹣,∴D′点在函数图象上.

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质,根据平行四边形的性质得出D点的坐标是解决问题的关键.

4. (2011江苏苏州,29,10分)巳知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别

交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

(1)如图①.连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点0'恰好落在该抛物线

的 对称轴上,求实数a的值;

(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的 右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:―若点P是边EH或边HG上的任

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意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 (即这四条线段不能构成平行四边形).―若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是

否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;

(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标l是大于3的常数,试问:是否存在一个正数阿a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相

等 (即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴,再根据∠OAC=60°得出AO,从而求出a.

(2)本题需先分两种情况进行讨论,当P是EF上任意一点时,可得PC>PB,从而得出PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.

(3)本题需先得出PA=PB,再由PC=PD,列出关于t与a的方程,从而得出a的值,即可求出答案.

2a(x?6x?8)?0解得x1?2,x2?4; 解答:解:(1)令y=0,由

令x=0,解得y=8a.

∴点A、B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a),

该抛物线对称轴为直线x=3.

∴OA=2.

如图①,时抛物线与x轴交点为M,则AM=1.

第8页

由题意得:O?A?OA?2. ∴O?A?2AM,∴∠O’AM=60°.

∴OCAO?

8a?.

a?

(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点,结论同样成立.

(Ⅰ)如图②,设点P是边EF上的任意一点 (不与点E重合),连接PM. ∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上,点C在y轴上, ∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB. 又PD>PM>PB,PA>PM>PB, ∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD.

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形. (Ⅱ)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合), ∵点F的坐标是(4,3),点G的坐标是(5,3). ∴FB=3

,GB

∵PC≥4,∴PC>PB.

(3)存在一个正数a,使得线段PA、PB、PC

如图③,∵点A、B时抛物线与x轴交点,点P在抛物线对称轴上, ∴PA=PB.

∴当PC=PD时,线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形. ∵点C的坐标是(0,8a),点D的坐标是(3,-a). 点P的坐标是(3,t),

∴PC2=32+(t-8a) 2,PD2= (t+a) 2. 整理得7a2-2ta+1=0,∴Δ=4t2-28. ∵t是一个常数且t>3,∴Δ=4t2-28>0

(图②)

(图③)

2tta??

147 ∴方程7a2-2ta+1=0有两个不相等的实数根.

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a??0

显然,满足题意.

a? ∵当t是一个大于3的常数,

存在一个正数,使得线段PA、PB、PC能构

成一个平行四边形.

点评:本题主要考查了二次函数的综合问题,在解题时要注意运用数形结合和分类讨论,把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键.

5. (2011?江苏宿迁,27,12)如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.

(1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;

(2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值.

考点:正方形的性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB,又由∠EQP=∠FMN,而证得;

(2)由点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t,又由勾股定理求得PQ,由△PEQ≌△NFM得到PQ的值,又PQ⊥MN求得面积S,由t范围得到S的最小值.

解答:证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB,

∵QE⊥AB,MF⊥BC,

第10页

∴∠AEQ=∠MFB=90°,

∴四边形ABFM、AEQD都是矩形,

∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE,

又∵PQ⊥MN,

∴∠EQP=∠FMN,

又∵∠QEP=∠MFN=90°,

∴△PEQ≌△NFM;

(2)∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t

∴PA=1,PE=1-t,QE=2

由勾股定理,得PQ=QE2?PE2=(1?t)2?4

∵△PEQ≌△NFM

∴MN=PQ=(1?t)2?4

又∵PQ⊥MN

5111∴S=PQ?MN=(1?t)2?4=t2-t+ 2222??

∵0≤t≤2

∴当t=1时,S最小值=2.

综上:S=512t-t+,S的最小值为2. 22

点评:本题考查了正方形的性质,(1)由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB,又由∠EQP=∠FMN,而证得;(2)由勾股定理求得PQ,由△PEQ≌△NFM得到PQ的值,又PQ⊥MN求得面积S,由t范围得到答案.

6.(2011?江苏徐州,28,12)如图,已知二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点P,顶点为C(1,﹣2).

(1)求此函数的关系式;

(2)作点C关于x轴的对称点D,顺次连接A,C,B,D.若在抛物线上存在点E,使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形,求点E的坐标; 2

第11页

(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点F的坐标及△PEF的面积;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)将顶点坐标C(1,﹣2)代入y=x+bx+c即可求得此二次函数的关系式;

(2)先求出直线PM的解析式,然后与二次函数联立即可解得点E的坐标;

(3)根据三角形相似的性质先求出GP=GF,求出F点的坐标,进而求得△PEF的面积. 解答:解(1)∵y=x+bx+c的顶点为(1,﹣2).

∴y=(x﹣1)﹣2,y=x﹣2x﹣1;

2222

(2)连结CD交AB于点M,

根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,AB⊥CD,

所以四边形ACBD是菱形,

过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分,

所以直线PM平分菱形ACBD的面积

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因为y=x?2x?1与y相交于点P(0,-1), 顶点为点C(1,-2)

所以点M的坐标为(1,0)

设直线PM的解析式为y=kx+b

则?2?k=1??1=b,解之得? ?b=?1?0=k?b

所以直线PM的解析式为y=x-1

?y=x?1.?x=0?x=3解方程组?,得?或? 2y=?1y=2???y=x?2x?1

所以点E的坐标为(3,2)

.

(3)过点P作直线PQ⊥PM,则直线PQ的表达式为y=-x-1

解方程组??y=?x?1.

2?y=x?2x?1,得??x=0?x=1或? ?y=?1?y=?2

所以直线PQ与抛物线的交点F是抛物线的顶点C(1,-2).

所以

?

?所以△PEF

的面积为1? 2点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点,是各地中考的热点和难点,解题时注意数形结合等数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.

7. (2011南昌,25,10分)如图所示,抛物线m:y=ax+b(a<0,b>0)与x轴于点A、

B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛2

第13页

物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.

(1)当a=﹣1,b=1时,求抛物线n的解析式;

(2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形,请写出结果并说明理由;

(3)若四边形AC1A1C为矩形,请求出a,b应满足的关系式.

考点:二次函数综合题.

专题:代数几何综合题.

分析:(1)根据a=﹣1,b=1得出抛物线m的解析式,再利用C与C1关于点B中心对称,得出二次函数的顶点坐标,即可得出答案;

(2)利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明;

(3)利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,即可求出.

解答:解:(1)当a=﹣1,b=1时,抛物线m的解析式为:y=﹣x+1.

令x=0,得:y=1.∴C(0,1).令y=0,得:x=±1.∴A(﹣1,0),B(1,0), ∵C与C1关于点B中心对称,∴抛物线n的解析式为:y=(x﹣2)﹣1=x﹣4x+3;

(2)四边形AC1A1C是平行四边形.

理由:∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称,∴AB=BA1,BC=BC1,∴四边形AC1A1C是平行四边形.

222

第14页

(3)令x=0,得:y=b.∴C(0,b).令y=0,得:ax+b=0,∴y???2?b?b0?,∴A???, ??a?a?

?b?bb222?B??0?,AB?2?,BC?OC?OB?b?.要使平行四边形AC1A1Ca?aa??

是矩形,必须满足AB=BC,∴2?

b应满足关系式ab=-3.

点评:此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质,灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键.

bbb?b??b2?,∴4????b2?,∴ab=-3.∴a、aaa?a?

第15页

9.(2011?宁夏,26,10分)在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.动点M、N分别在两腰AB、AC上(M不与A、B重合,N不与A、C重合),且MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P.

(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上?

(2)当MN=x,△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式.当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?

考点:翻折变换(折叠问题);二次函数的最值;等腰三角形的性质;相似三角形的判定与性质。

分析:(1)首先连接AP,交MN于O,由MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P,即可得△AMN∽△ABC,

时,点P恰好落在BC上; MNAO1??,则可求得当MN为何值BCAP2

第16页

(2)此题需要分为当AO≤11AD时与当AO>AD时去分析,首先由△AMN∽△ABC,求22

得各线段的长,然后求△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积,即可得关于x的二次函数,根据二次函数求最值的方法,即可求得答案.

解答:解:(1)连接AP,交MN于O,

∵将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P,

∴OA=OP,AP⊥MN,AN=PN,AM=PM,

∵MN∥BC,

∴△AMN∽△ABC,AO⊥MN, ∴MNAO1

BC?AP?2,

∵BC=6,

∴MN=3,

∴当MN=3时,点P恰好落在BC上;

(3)过点A作AD⊥BC于D,交MN于O,

∵MN∥BC,

∴AO⊥MN,

∴△AMN∽△ABC, ∴MN

BC?AO

AD,

∵AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,

∴∠ADB=90°,BD=1

2BC=3,

∴AD=4, ∴x?AO

64,

第17页

2x, 3

11212∴S△AMN=MN?AO=?x?x=x, 2233

1当AO≤AD时, 2∴AO=

根据题意得:S△PMN=S△AMN,

∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN,

12x, 3

11∴当AO=AD时,即MN=BC=3时,y最小,最小值为3; 22

1当AO>AD时,

2∴y=

连接AP交MN于O,

则AO⊥MN,

∵MN∥BC,

∴AP⊥BC,△AMN∽△ABC,△PEF∽△PMN∽△AMN, MNAOEFPD??,, BCADMNPO

xAOEFPD?即:?,, 64xAO

2∴AO=x, 3

EF2AO?AD?∴, xAO∴

2x, 3

1122∴y=S梯形MNFE=(EF+MN)?OD=×(2x﹣6+x)×(4﹣x)=﹣(x﹣4)+4, 223∴EF=2x﹣6,OD=AD﹣AO=4﹣

∴当x=4时,y有最大值,最大值为4,

第18页

综上所述:当x=4时,y的值最大,最大值是4.

点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,二次函数的最值问题等知识.解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用.

10. (2011山东日照,24,10分)如图,抛物线y=ax+bx(a>0)与双曲线y=2k相交于点x

A,B.已知点B的坐标为(﹣2,﹣2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C.

(1)求双曲线和抛物线的解析式;

(2)计算△ABC的面积;

(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积.若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请你说明理由.

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)根据已知条件可以推出A点的坐标,把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式,即可得出a、b、k的值,就可以确定双曲线和抛物线的解析式了;

(2)根据A、B抛物线解析式,可以确定C点的坐标,即可去顶AC和AC边上的高的长度,就可以计算出△ABC的面积了;

第19页

(3)根据题意画出图形,根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标,CD∥AB,得出直线CD相应的一次函数,然后结合D点也在抛物线上,解方程组,求D点坐标

解答:解:(1)把点B(﹣2,﹣2)的坐标,代入y=

得:﹣2=k, xk,∴k=4. ?2

4.(2分) x即双曲线的解析式为:y=

设A点的坐标为(m,n).∵A点在双曲线上,∴mn=4.①

又∵tan∠AOx=42m=4,即m=4n.② n又①,②,得:n=1,∴n=±1.

∵A点在第一象限,∴n=1,m=4,∴A点的坐标为(1,4)

?4?a?b把A、B点的坐标代入y=ax+bx,得:?解得a=1,b=3; ?2?4a?2b?2

∴抛物线的解析式为:y=x+3x;(4分)

(2)∵AC∥x轴,∴点C的纵坐标y=4,

代入y=x+3x,得方程x+3x﹣4=0,解得x1=﹣4,x2=1(舍去).

∴C点的坐标为(﹣4,4),且AC=5,(6分)

又△ABC的高为6,∴△ABC的面积=

(3)存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.

过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D.

因为直线AB相应的一次函数是:y=2x+2,且C点的坐标为(﹣4,4),CD∥AB, 所以直线CD相应的一次函数是:y=2x+12.(9分) 2221×5×6=15;(7分) 2

?y?x2?3x?x?3解方程组?得?所以点D的坐标是(3,18)(10分) y?18y?2x?12??

点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点根据点的坐标求抛物线解析式和

第20页

双曲线解析式以及三角形的面积求法.关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式,曲线解析式和直线解析式.

11. (2011山西,26,14分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,

直线l经过O、C两点,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A B C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O—C—B相交于点M,当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t > 0),△MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为____________,直线l的解析式为_____________;

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.

(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.

(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段BC上运动时,设PM的延长线与直线l

相交于点N.试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.

考点:二次函数,一次函数,三角形面积,最值,分类讨论

专题:压轴题

分析:⑴由题意不难得出点C的坐标为(3,4).因为直线l经过O、C两点,所以设其解析式为y?kx,将点C(3,4)代入,解得k?44,所以直线l 的解析式为y?x. 33

⑵求 S与t的函数关系式,关键是确定MP及点Q到MP的距离.根据题意,得OP=t, AQ=2t, 根据动点的运动过程,需分三种情况来讨论.

① 当0<t≤56t时; 如图第26题(2)图1,由题意可证△AEQ∽△ODC,得AE?,2586t8t61EQ?t.∴Q点的坐标是(8?,).∴PE?8?t?t?8?t. 55555

第21页

∴S?114?1?216?MP?PE??t??8?t??t2?t. 223?5?153

②当5<t≤3时; 如图第26题(2)图2,∵BQ=2t-5,∴OF=11-(2t-5)=16-2t. 2

∴Q点的坐标是(16-2t,4).∴PF=16-2t-t=16-3t. ∴S?11432?MP?PF??t??16?3t???2t2?t. 2233

1616时,如图第26题(2)图3,当点Q与点M相遇时,16-2t=t,解得t?. 33③当3<t<

当3<t<

∴S?16时,如图3,MQ=16-2t-t=16-3t,MP=4. 311?MP?MQ??4??16?3t???6t?32 22

55时;②当<t≤3时;③当22⑶根据题(2)中S与t的函数关系,先分别求出①当0<t≤

3<t<16时, t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.最后综合上述各情况判断得3

5221621602t?t??t?20??时,S?. 2153153出t为何值时, S的最大值. ①当0<t≤

∵a=2>0,抛物线开口向上,对称轴为直线x=-20, 15

5时,S随t的增大而增大. 2∴当0<t≤

∴当t=585时,S有最大值,最大值为. 26

2532?8?128 ②当<t≤3时, S??2t2?. t??2?t???239?3?

∵a=-2<0.抛物线开口向下,

∴当t?8128时,S有最大值,最大值为. 39

16时,S??6t?32,∵k=-6<0,∴S随t的增大而减小. 3③当3<t<

第22页

又∵当t=3时,S=14.当t=

综上所述,当t?16时,S=0,∴0<S<14. 38128时,S有最大值,最大值为. 39

4t?4,△QMN为等腰三角形.

3⑷如图第26图(4),当NM=MQ时,即16?3t?

解答:(1)(3,4);y?4x. 3

(2)根据题意,得OP= t,AQ=2 t,分三种情况讨论:

①当0<t≤5?4?时,如图1,M点的坐标是?tt?, 2?3?

过点C作CD⊥x轴于D,过点Q作QE⊥x轴于E,可得△AEQ∽△ODC, ∴6tAQAEQE2tAEQE8????,∴AE=,EQ=t, 5OCODCD5345

∴Q点的坐标是?8??

?6t168?PE=8+-t=8+t,tt?,∴5555?

∴S?114?1?216?MP?PE??t??8?t??t2?t. 223?5?153

②当5< t ≤3时,如图2,过点Q作QF⊥x轴于F,∵BQ=2t-5,∴OF=11-(2t-5)2

=16-2t,

∴Q点的坐标是(16-2t,4),∴PF=16-2-t=16-3 t . ∴S?11432?MP?PF??t??16-3t??-2t2?t. 2233

16. 3③当点Q与点M相遇时,16-2 t= t,解得t=

当3< t <16时,如图3,MQ=16-2t - t =16-3t,MP=4, 3

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∴S?11?MP?MQ??4??16-3t??-6t?32. 22

2216252160t?t??t?20?-时,S?. 2153153(3)①当0 < t ≤

∵a=2>0时,抛物线开口向上,对称轴为直线t =-20, 15

5585时,S随t的增大而增大,∴当t=时,S有最大值.最大值为. 226

2当0< t ≤532?8?128②当< t≤3时,S?-2t2?,∵a=-2<0,抛物线开口向下,t?-2?t-??239?3?

∴当t=8128时,S有最大值,最大值为. 39

16时,S = -6t+32,∵k=-6<0,∴S随着t的增大而减小,又∵当t=33

16时,S=0,所以0<S<14. 3

8128时,S有最大值,最大值为. 39③当3< t <时,S=14,当t=综上所述,当t=

(4)当t=60时,△QMN为等腰三角形. 13

点评:根据题意合理分类,是学生解题中遇到的难点,也是易错点.用分类讨论的思想来研究动态型题是解此类问题常用的方法.

12. (2011陕西,24,10分)如图,二次函数y?

其中A(-1,m),B(n,n) .

(1)求A、B的坐标;

(2)在坐标平面上找点C,使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形. ①这样的点C有几个?

②能否将抛物线y?221x—x平移后经过A、C两点?若能,求出平移后经过A、C33221x—x的图象经过△AOB的三个顶点,33

两点的一条抛物线的解析式;若不能,说明理由. ..

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考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)把A(﹣1,m)代入函数式而解得m的值,同理解得n值,从而得到A,B的

坐标;(2)①由题意可知:这样的C点有3个,②能,分别考虑函数图象经过三个点,从而得到函数方程.

解答:解:(1)∵y?

同理: n?22121x?x的图象过点A(﹣1,m),∴m??(?1)2??(?1),即m=1 3333221n?n 33

解之,得n=0(舍)或n=2

∴A(﹣1,1),B(2,2)

(2)①由题意可知:这样的C点有3个

②能

当平移后的抛物线经过A、C1两点时,将B点向左平移3个单位再向下平移1个单位.使点B移到A点,这时点O随着原抛物线平移到C1点.

21∴经过A、C1两点的抛物线的解析式为y?1?(x?3)2?(x?3). 33

即y?2211x?x?4. 33

附:另两条平移后抛物线的解析式分别为:

1)经过A、C2两点的抛物线的解析式为y?224x?x?. 33

22x?bx?c.OC3可看作线段AB向右32)设经过A、C3两点的抛物线的解析式为y?

平移1个单位再向下平移1个单位得到.∴C3(3,1) .

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?1???依题意,得??1???24?(?1)2?b?c??b??,3 解之,得?3 22?c??1.?3?3b?c?3

224x?x?1.

33经过A、C3两点的抛物线的解析式为y?

点评:本题考查了二次函数的综合运用,(1)把A(﹣1,m)代入函数式而解得;(2)①由题意可知点C有几个,②分别考虑函数图象经过三个点,从而得到函数方程.也从而确定能.本题有一定难度,在图象上做好辅助线,考虑全面,而不至于漏解.

13. 已知平面直角坐标系xOy(如图),一次函数

M在正比例函数 的图象与y轴交于点A,点的图象上,且MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.

(1)求线段AM的长;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数 的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.

考点:二次函数综合题.

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专题:压轴题.

分析:(1)先求出根据OA垂直平分线上的解析式,再根据两点的距离公式求出线段AM的长;

(2)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.待定系数法即可求出二次函数的解析式;

(3)可设D(a, a+3),根据菱形的性质得出c(-a, a+3)且点C在二次函数y=x2_ x+3上,得到方程求解即可.

解答:解:(1)在一次函数y= x+3中,

当x=0时,y=3.

∴A(0,3).

∵MO=MA,

∴M为OA垂直平分线上的点,

可求OA垂直平分线上的解析式为y= ,

又∵点M在正比例函数

∴M(1, ),

又∵A(0,3).

∴AM=

(2)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.可得 ; ,

解得 ,

∴y=x2_ x+3;

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(3)∵点D在一次函数

则可设D(a, a+3),

∵四边形ABDC是菱形, 的图象上,

∴c(-a, a+3)且点C在二次函数y=x2_ x+3上,

∴(-a)2- (-a)+3= a+3,

解得a=- 或0(舍去).

∴c( , ).

点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定,两点的距离公式,菱形的性质,解二元一次方程,综合性较强,难度较大.

14.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,

与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,

(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;

(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;

(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.

考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;解直角三角形.

专题:几何综合题.

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分析:(1)本题需先根据已知条件得出

AC的值,再根据CP

⊥AB求出CP,从而得出CM的值.

(2)本题需先根据EN

再得出△AEP∽△ABC,即可求出

系式,并且能求出函数的定义域.

(3)本题需先设EP的值,得出则EM和MP的值,根据△AEP∽△ABC,求出AP的值,从而得出AM和BN的值,再根据△AME∽△ENB,求出a的值,得出AP的长. = ,设出EP的值,从而得出EM和PM的值,,求出a的值,即可得出y关于x的函数关解答:解:∵∠ACB=90°

∴AC=

=

=40

∵CP⊥AB

∴CP=24

∴CM=

=

=26

(2)∵

∴设EP=12a

则EM=13a,PM=5a

∵EM=EN

∴EN=13a,PN=5a

∵△AEP∽△ABC

∴ = = =

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∴x=16a

∴a=

∴BP=50-16a

∴y=50-21a

=50-21×

=50- x

) ∴函数的定义域是:(0<x<

(3)设EP=12a,则EM=13a,MP=12a

∵△AEP∽△ABC

∴AP=16a

∴AM=11a

∴BN=50-16a-5a=50-21a

∵△AME∽△ENB

∴a= =

=22 ∴AP=16×

点评:本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质,在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键.

15. (2011四川广安,30,12分)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角

梯形,BC∥AD,∠BAD= 90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D

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三点的坐标分别是A(-1,0),B( -1,2),D( 3,0),连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N.

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线上是否存在点P.使得PA=PC.若存在,求出点P的坐标;若不存在.请

说明理由.

(3)设抛物线与x轴的另—个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点

Q在什么位置时有QE?QC最大?并求出最大值.

考点:抛物线,存在,动态,压轴

专题:压轴题、综合题

分析:(1)由题意可知点M的坐标为(0,2),根据平移可知线段DM是向左平移3个单位得到线段NO的,由此可知N(-3,2),把D、M、N三点的坐标代入y?ax?bx?c即可得到抛物线的解析式.

(2)由题意可知点P应该是线段AC的垂直平分线与抛物线的交点,为此需要确定AC的垂直平分线所在的直线的函数解析式,然后通过解方程组确定交点坐标,若能求得,则说明存在,否则说明不存在.

(3)由题意可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称,所以QE=QD,所以2QE?QC?QD?QC,延长DC交抛物线的对称轴相交,当点Q在交点上时,QD-QC=CD,此时QE?QC的值最大,恰好为线段CD的长.

解答:(1)解:由题意可得M(0,2),N(-3,2),

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1?a??,?92?c,??1??∴ ?2?9a?3b?c, 解得:?b??,3??0?9a?3b?c. ??c?2.??

∴y=?

(2)∵PA=PC, ∴P为AC的垂直平分线上,依题意,AC的垂直平分线经过(-1,

2)、(1,0),其所在的直线为y=-x+1. 121x??293

?y??x?1,?根据题意可列方程组?

121y??x?x?2.?93?

??x1?3?解得:??

?y1??2???x2?3????y2??2?∴P1

(3??2?、P2

(3??2?.

(3)如图所示,延长DC交抛物线的对称轴于点Q,根据题意可知此时点Q满足条件. 由题意可知C(1,2),D(3,0),可求得CD所在的直线的解析式为y??x?3. 抛物线y??121x?x?2的对称轴为直线x??1.5. 93

∵点Q在直线x=-1.5上,又在直线y??x?3上.

∴Q(-1 .5,4.5),QE=QD. ∴

QE?QC?QD?QC?CD?

?.

即当点Q的坐标为(-1.5,4.5)时,QE?

QC

有最大值,最大值为

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点评:(1)待定系数法是确定函数解析式的常用方法,运用时要确定好图象上关键点的坐标,本题中点N的坐标可以根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律来得到.

(2)求函数的交点坐标,通常是通过解由两个函数的解析式联立所得的方程组来求解. 本题综合性强,解答时需具备较强的数学基本功,若知识掌握欠缺,则不容易得分.

16. (2011四川凉山,28,12分)如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两

点,且x1?x2,与y轴交于点C?0,?4?,其中x1,x2是方程x?4x?12?0的两个根. 2

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;

(3)点D?4,k?在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标,若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)根据一元二次方程解法得出A,B两点

的坐标,再利用交点式求出二次函数解析式;

(2)首先判定△MNA∽△ABC.得出

进而得出函数的最值;

(3)分别根据当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE与当AF为平行四边形

的对角线时,分析得出符合要求的答案.

解答:解:(1)∵x?4x?12?0,∴x1??2,x2?6. ∴A(?2,0),B(6,0).

又∵抛物线过点A、B、C,故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6),

228题图 NHAM?,COAB

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1。 3

124∴抛物线的解析式为y?x?x?4. 33将点C的坐标代入,求得a?

(2)设点M的坐标为(m,0),过点N作NH?x轴于点H(如图(1))。 ∵点A的坐标为(?2,0),点B的坐标为(6,0),

∴AB?8,AM?m?2.

∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC. ∴NHAMNHm?2m

CO?AB4?8,∴NH??2

2. ∴S11

△ACM?S△ACM?S△AMN?2AM?CO?2AM?NH

?1

2(m?2)(4?m?21

2)??4m2?m?3 .

??1

4(m?2)2?4。

∴当m?2时,S△CMN有最大值4。

此时,点M的坐标为(2,0).

(3)∵点D(4,k)在抛物线y?1

3x2?4

3x?4上,

∴当x?4时,k??4,

∴点D的坐标是(4,?4)。

①如图(2),当AF为平行四边形的边时,AFDE,

∵D(4,?4),∴DE?4.

∴F1(?6,0),F2(2,0) .

②如图(3),当AF为平行四边形的对角线时,设F(n,0), 则平行四边形的对称中心为(n?2

2,0).

∴E?的坐标为(n?6,4)。

把E?(n?6,4)代入y?1

3x2?4

3x?4,得n2?16n?36?0.

解得

n?8?

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F3(8?

,F4(8?.

图(1)

图(2)

图(3)

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点评:此题主要考查了二次函数的综合应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

17.(2011天津,26, 分)已知抛物线C1:y1=

(I)求抛物线C1的顶点坐标;

(II)①若抛物线C1与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线C1于点B,求证 12x-x+1,F(1,1). 211??2. AFBF

②取抛物线C1上任意一点P(xP,yP)(0<xP<1),连接PF,并延长交抛物线C1于Q(xQ,yQ).试判断11??2是否成立?请说明理由; PFQF

1(x-h)2,,若2<x≤m时,y2≤x恒2(III)将抛物线C1作适当的平移,得抛物线C2:y1=

成立,求m的最大值.

考点:二次函数综合题。

分析:(I)将抛物线C1:y1=

标; 12x-x+1的一般式转化为顶点式,即可求得抛物线C1的顶点坐2

(II)①由A(0,1),F(1,1),可得AB∥x轴,即可求得AF与BF的长,则问题得解; ②过点P(xp,yp)作PM⊥AB于点M,即可求得PF=yp,同理QF=yQ,然后由△PMF∽△QNF,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案;

(III)令y3=x,设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0,x0′,且x0<x0′,观察图象,随着抛物线C2向右下不断平移,x0,x0′的值不断增大,当满足2<x≤m,y2≤x恒成立时,m的最大值在x0′处取得.可得:当x0=2时,所对应的x0′即为m的最大值.

11(x-1)2 +, 22

1∴抛物线C1的顶点坐标为(1,); 2解答:解:(I)∵y1=x﹣x+1=2

(II)①根据题意得:点A(0,1),

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∵F(1,1),

∴AB∥x轴,得AF=BF=1, ∴1

AF?1

BF?2;

②1

PF?1

QF?2成立.

理由:

如图,过点P(xp,yp)作PM⊥AB于点M, 则FM=1﹣xp,PM=1﹣yp,(0<xp<1), ∴Rt△PMF中,由勾股定理, 得PF2=FM2+PM2=(1﹣xp)2+(1﹣yp)2, 又点P(xp,yp)在抛物线C1上, 得yp=1

2(xp﹣1)2+1

2,即(xp﹣1)2=2yp﹣1,

∴PF2=2yp﹣1+(1﹣yp)2=yp2, 即PF=yp,

过点Q(xQ,yQ)作QN⊥AB,与AB的延长线交于点N,同理可得:QF=yQ,

∵∠PMF=∠QNF=90°,∠MFP=∠NFQ, ∴△PMF∽△QNF, ∴PF

QF?PM

QN,

这里PM=1﹣yp=1﹣PF,QN=yQ﹣1=QF﹣1, ∴PF1?

QF?PF

QF?1, 即1

PF?1

QF?2;

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(III)令y3=x,

设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0,x0′,且x0<x0′,

∵抛物线C2可以看作是抛物线y=1

2x2左右平移得到的,

观察图象,随着抛物线C2向右下不断平移,x0,x0′的值不断增大,∴当满足2<x≤m,y2≤x恒成立时,m的最大值在x0′处取得. 可得:当x0=2时,所对应的x0′即为m的最大值. 于是,将x0=2代入1

2(x﹣h)2=x, 有1

2(2﹣h)2=2,

解得:h=4或h=0(舍去), ∴y2=1

2(x﹣4)2.

此时,由y2=y3,得1

2(x﹣4)2=x,

解得:x0=2,x0′=8,

∴m的最大值为8.

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点评:此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化,相似三角形的判定与性质以及最大值等问题.此题综合性很强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

18. (2011新疆建设兵团,24,10分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B

=45°.动点P从点B 出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.

(1)求AB的长;

(2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值;

(3)探究:在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形?请说明理由.

考点:等腰梯形的性质;二次函数的最值;菱形的性质;解直角三角形.

分析:(1)作AE⊥BC,根据题意可知BE的长度,然后,根据∠B的正弦值,即可推出AB的长度;

(2)作QF⊥BC,根据题意推出BP=CQ,推出CP关于x的表达式,然后,根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式,即可推出面积关于x的二次函数式,最后根据二次函数的最值即可推出x的值;

(3)首先假设存在M点,然后根据菱形的性质推出,∠B=∠APB=∠BAP=45°,这是不符合三角形内角和定理的,所以假设是错误的,故AB上不存在M点.

解答:解:(1)作AE⊥BC,

∵等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,

∴BE=(BC﹣AD)÷2=2.5,

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∵∠B=45°,

∴AB=52

(2)作QF⊥BC,

∵等腰梯形ABCD,

∴∠B=∠C=45°,

∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同,BP=x, ∴BP=CQ=x,

∵BC=9,

∴CP=9﹣x,QF=2

2x,

设△PQC的面积为y,

∴y=(9﹣x)22x1

2,

即y=-2

4x2+92

4x,

∴当x=﹣b2a=9

2y的值最大, ∴当x=9

2△PQC的面积最大,

(3)假设AB上存在点M,使得四边形PCQM为菱形,

∵等腰梯形ABCD,∠B=∠C=45°,

∴CQ=CP=BP=MP,∠B=∠C=∠MPB=45°, ∴∠BMP=45°,

∵∠B=∠APB=∠BMP=45°,不符合三角形内角和定理,∴假设不存在,

第40页

∴边AB上不存在点M,使得四边形PCQM为菱形.

点评:本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质,关键在于根据图形画出相应的辅助线,熟练掌握相关的性质定理即可.

19(2011云南保山,24,13分)(本小题13分)如图,四边形OABC是矩形,点B的坐标

为(8,6),直线AC和直线OB相交于点M,点P是OA的中点,PD⊥AC,垂足为D.

(1)求直线AC的解析式;

(2)求经过点O、M、A的抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△PAD: S△QOA=8:25,若存在,求出点Q的坐标;

若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)先求出A、C两点的坐标即可求出直线AC的解析式;

(2)求出O、M、A三点坐标,将三点坐标代入函数解析式便可求出经过点O、M、A的抛物线的解析式;

(3)根据题意先求出Q点的y坐标,在根据Q在抛物线上的关系求出Q点的横坐标,便可得出答案.

解答:解:(1)由题意四边形OABC是矩形,点B的坐标为(8,6)可知:

第41页

A、C两点坐标为A(8,0),C(0,6),

设直线AC的解析式y=kx+b,

将A(8,0),C(0,6)两点坐标代入y=kx+b, ?

解得??k??3

4,

??b?6

故直线AC的解析式为y??3

4x?6;

(2)由题意可知O(0,0),M(4,3),A(8,0), 设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax2+bx, 将M(4,3),A(8,0),两点坐标代入y=ax2+bx,

得??16a?4b?3

?64a?8b?0, ?a?3

解得???

?16

?3,

??b?2

故经过点O、M、A的抛物线的解析式为y??3

16x2?3

2x;

(3)∵△AOC∽△APD, ∴OC

PD?OA

AD?AC

PA, 即6

PD?8

AD?10

4,

解得PD=2.4,AD=3.2,S1

?PAD?2?PD?AD?96

25,

∵S△PAD:S△QOA=8:25,

∴S△QOA=12,

S1

2OA?y1

?QOA??Q?2?8?yQ?12S△QOA=×OA×|yQ

|=×8×|yQ|=12,

第42页

解得yQ?3,

又∵点Q在抛物线上, 所以yQ?3?32333x?x?3或-x2?x??3,

162162

解方程得x1?4,x2?4?x3?4?

故Q

点的坐标为Q(4??3),Q(4,3).

点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似等知识点,是各地中考的热点和难点,,解题时注意数形结合数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.

20.(2011重庆江津区,25, 分)已知双曲线:y?

3)、B(m,2)、C(﹣3,n)三点.

(1)求双曲线与抛物线的解析式;

(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积.

k与抛物线:y=ax2+bx+c交于A(2,x

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)函数图象过某一点时,这点就满足关系式,利用待定系数法分别求出反比例函数与二次函数解析式即可;

(2)根据A,B,C三点的坐标可以得出△ADB,△BCE和梯形ADEC的面积,用梯形面积减去两三角形面积即可得到△ABC的面积.

解答:解:(1)把点A(2,3)代入y?

∴y?k得:k=6, x6, x

第43页

把B(m,2)、(﹣3,n)分别代入y?

m=3,n=﹣2, 6得, x

把A(2,3)、B(3,2)、C(﹣3,﹣2)分别代入y=ax2+bx+c得:

?4a?2b?c?3??9a?3b?c?2,

?9a?3b?c??2?

解得:

1??a??3?2??b?3??c?3??,

∴抛物线的解析式为:y=﹣

(2)描点画图得:

122x+x+3; 33

S△ABC=S梯形ADEC﹣S△ADB﹣S△BCE, =111351(1+6)×5﹣×1×1﹣×6×4=﹣﹣12=5. 22222点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

21. (2011重庆市,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角

形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,

OC=4,抛物线y?x?bx?c经过A,B两点,抛物线的顶点为D. 2

第44页

(1)求b,c的值;

(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线 交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;

(3)在(2)的条件下:①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;②在抛物线

是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P的 坐标;若不存在,说明理由.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)由∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,可得A(-1,0)B(4,5),然后利用待定系数法即可求得b,c的值;

(2)由直线AB经过点A(-1,0),B(4,5),即可求得直线AB的解析式,又由二次函数y=x2-2x-3,设点E(t,t+1),则可得点F的坐标,则可求得EF的最大值,求得点E的坐标;

(3)①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD,可求出点F的坐标( ,

的坐标为(1,-4)由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得; ),点D26题图26题备用图

第45页

②过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2-2m-3),可得m2

-2m-2= ,即可求得点P的坐标,又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2-2n-3),可得n2

-2n-2=- 得点P的坐标,则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标.

答案:26. 解:(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)------------1分

∵二次函数y?x2?bx?c的图像经过点A(-1,0)B(4,5) ,求

∴??1?b?c?0 16?4b?c?5?

解得:b=-2 c=-3

(2如26题图:∵直线AB经过点A(-1,0) B(4,5)

∴直线AB的解析式为:y=x+1

∵二次函数y?x2?2x?3

∴设点E(t, t+1),则F(t,t?2t?3)

∴EF= (t?1)?(t?2t?3)

=?(t?)?

∴当t?22 32225 4325时,EF的最大值= 24

35∴点E的坐标为(,) 22

(3)①如26题图:顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.

可求出点F的坐标(

S四边行EBFD = S =315,?),点D的坐标为(1,-4) 24 + SDEFBEF 12531253?(4?)??(?1) 242242

75 = 8

②如26题备用图:ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m?2m?

3) 2

第46页

则有:m?2m?3?252

2? 解得

:m1?,m2?

222

∴p1(2525),

p2() 2222

2ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n?2n?3) n?则有:n2?2n?3?? 解得:113 ,n2?(与点F重合,舍去)22

(,-∴P31215) 4

115

55(,-)(. 能使),p2)P32422综上所述:所有点P

的坐标:p1△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.

点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用.

22. (2011湖北荆州,22,10分)如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,B(4,2),一次函数y=kx-1的图象平分它的面积,关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.

考点:抛物线与x轴的交点;一次函数的性质;等腰梯形的性质.

专题:计算题.

分析:过B作BE⊥AD于E,连接OB、CE交于点P,根据矩形OCBE的性质求出B、P坐标,然后再根据相似三角形的性质求出k的值,将解析式y=mx2-(3m+k)x+2m+k中的k化为具体数字,再分m=0和m≠0两种情况讨论,得出m的值.

第47页

解答:过B作BE⊥AD于E,连接OB、CE交于点P,

∵P为矩形OCBE的对称中心,则过点P的直线平分矩形OCBE的面积.

∵P为OB的中点,而B(4,2),

P点坐标为(2,1),

在Rt△ODC与Rt△EAB中,OC=BE,AB=CD,

Rt△ODC≌Rt△EAB(HL),△ODC≌Rt△EBA,

过点(0,-1)与P(2,1)的直线平分等腰梯形面积,这条直线为y=kx-1.

2k-1=1,则k=1.

∵关于x的函数y=mx2-(3m+1)x+2m+1的图象与坐标轴只有两个交点,

∴①当m=0时,y=-x+1,其图象与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0);

②当m≠0时,函数y=mx2-(3m+1)x+2m+1的图象为抛物线,且与y轴总有一个交点(0,2m+1),

若抛物线过原点时,2m+1=0,

即m=- 12,此时,△=(3m+1)2-4m(2m+1)=(m+1)2>0,

故抛物线与x轴有两个交点且过原点,符合题意.

若抛物线不过原点,且与x轴只有一个交点,也符合题意,此时△=(m+1)2=0,m=-1. 综上所述,m的值为m=0或-1或- 12.

点评:此题考查了抛物线与坐标轴的交点,同时结合了梯形的性质和一次函数的性质,要注意数形结合,同时要进行分类讨论,得到不同的m值.

23. (2011湖北荆州,24,12分)如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1.

第48页

(1)求B点坐标;

(2)求证:ME是⊙P的切线;

(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点, ①求△ACQ周长的最小值;

②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,由正方形CDEF的面积为1,可得CD=CF=1,根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由PB=PE,根据勾股定理即可求得n的值,继而求得B的坐标;

(2)由(1)知A(0,2),C(2,0),即可求得抛物线的解析式,然后求得FM的长,则可得△PEF∽△EMF,则可证得∠PEM=90°,即ME是⊙P的切线;

(3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,则有AQ=A′Q,△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长,利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值;

②分别当Q点在F点上方时,当Q点在线段FN上时,当Q点在N点下方时去分析即可求得答案.

解答:解:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,

∵正方形CDEF的面积为1,

∴CD=CF=1,

根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,

∴BC=2PC=2n,

∵而PB=PE,

∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2,PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1,

第49页

∴5n2=(n+1)2+1,

解得:n=1或n=- 12(舍去),

∴BC=OC=2,

∴B点坐标为(2,2);

(2)如图甲,由(1)知A(0,2),C(2,0),

∵A,C在抛物线上,

∴ {c=214×4+2b+c=0,

解得: {c=2b=-32,

∴抛物线的解析式为:y= 14x2- 32x+2= 14(x-3)2- 14,∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线, ∵C与G关于直线x=3对称,

∴CF=FG=1,

∴MF= 12FG= 12,

在Rt△PEF与Rt△EMF中,

∠EFM=∠EFP,

∵ FMEF=121=12, EFPF=12,

∴ FMEF=EFPF,

∴△PEF∽△EMF,

∴∴∠EPF=∠FEM,

∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°,

第50页

∴ME是⊙P的切线;

(3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,

则有AQ=A′Q,

∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长,

∵A与A′关于直线x=3对称,

∴A(0,2),A′(6,2),

∴A′C=(6-2)2+22=2 5,而AC=22+22=2 2,

∴△ACQ周长的最小值为2 2+2 5;

②当Q点在F点上方时,S=t+1,

当Q点在线段FN上时,S=1-t,

当Q点在N点下方时,S=t-1.

点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,圆的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性很强,题目难度较大,解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用.

24. (2011湖北潜江,24,12分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(—3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.

(1)直接填写:a= —1 ,b= —2 ,顶点C的坐标为 (—1,4) ;

(2)在y轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.

第51页

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)将A(—3,0)、B(1,0),代入y=ax2+bx+3求出即可,再利用平方法求出顶点坐标即可;

(2)首先证明△CED∽△DOA,得出y轴上存在点D(0,3)或(0,1),即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形.

(3)首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1,再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标,再利用若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH得出答案即可.

解答:解:(1)a=—1,b=—2,顶点C的坐标为(—1,4);

(2)假设在y轴上存在满足条件的点D,过点C作CE⊥y轴于点E.

由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,

∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠DOA=90°,

CEDO?. CDAO

1c?.变形得c2—4c+3=0,解之得c1=3,c2=1. 设D(0,c),则4?c3∴△CED∽△DOA,∴

综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1),

使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.

第52页

(3)①若点P在对称轴右侧(如图①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH. 延长CP交x轴于M,∴AM=CM,∴AM2=CM2.

设M(m,0),则(m+3)2=42+(m+1)2,∴m=2,即M(2,0).

设直线CM的解析式为y=k1x+b1,

则???k1?b1?448,解之得k1=-,b1=. 33?2k1?b1?0

48x+. 33

1?48?x???x??1?y??x?3联立?,解之得?或?(舍去). 33202y?4???y??y??x?2x?39?

120∴P(,). 39∴直线CM的解析式y=-

②若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH. 过A作CA的垂线交PC于点F,作FN⊥x轴于点N.

CACH??2, AFAH

FNNAAF1???. 由△FNA∽△AHC得AHHCCA2由△CFA∽△CAH得

∴AN=2,FN=1,点F坐标为(—5,1).

??k2?b2?4设直线CF的解析式为y=k2x+b2,则?,

?5k?b?122?

第53页

319,b2=. 44

319∴直线CF的解析式y=x+. 44

7?319?x????x??1?y?x?4联立?,解之得或(舍去). 44??552?y?4??y??y??x?2x?316?

755∴P(-,). 416

120755∴满足条件的点P坐标为(,)或(-,). 39416解之得k2=

(如图①) (如图②)

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握. 25. 如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线 y=14x2交于M(x1,y1)和N(x2,

y2)两点(其中x1<0,x2>0)

(1)求b的值.

(2)求x1?x2的值. .

第54页

(3)分别过M,N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是 M1和N1.判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.

(4)对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线 m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

专题:代数几何综合题.

分析:(1)把点F的坐标代入直线可以确定b的值.

(2)联立直线与抛物线,代入(1)中求出的b值,利用根与系数的关系可以求出x1?x2的值.

(3)确定M1,N1的坐标,利用两点间的距离公式,分别求出M1F2,N1F2,M1N12,然后用勾股定理判断三角形的形状.

(4)根据题意可知y=-1总与该圆相切..

解答:解:(1)∵直线y=kx+b过点F(0,1),∴b=1;(3分)

(2)∵直线y=kx+b与抛物线 y=14x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点, ∴可以得出:kx+b= 14x2,

整理得: 14x2-kx-1=0,

x1?x2= ca=-4;(6分)

(3)△M1FN1是直角三角形(F点是直角顶点).

理由如下:设直线l与y轴的交点是F1

FM12=FF12+M1F12=x12+4

FN12=FF12+F1N12=x22+4

M1N12=(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8

∴FM12+FN12=M1N12

∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形.(10分)

(4)符合条件的定直线m即为直线l:y=-1.

过M作MH⊥NN1于H,MN2=MH2+NH2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

=(x1-x2)2+[(kx1+1)-(kx2+1)]2

第55页

=(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

=(k2+1)(x1-x2)2

=(k2+1)(4 )2

=16(k2+1)2

∴MN=4(k2+1)

分别取MN和M1N1的中点P,P1,

PP1=(MM1+NN1)=(y1+1+y2+1)=(y1+y2)+1=k(x1+x1)+2=2k2+2=2(k2+1)

∴PP1=MN

即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.

∴以MN为直径的圆与l相切.(15分)

点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)由点F的坐标求出b的值.

(2)结合直线与抛物线的解析式,利用根与系数的关系求出代数式的值.

(3)用两点间的距离公式,判断三角形的形状.

(4)根据点与圆的位置判断直线与圆的位置.

26. (2011?广东汕头)如图,抛物线y=﹣x+2x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0)

(1)求直线AB的函数关系式;

(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;

(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.

第56页

考点:二次函数综合题。

分析:(1)由题意易求得A与B的坐标,然后有待定系数法,即可求得直线AB的函数关系式;

(2)由s=MN=NP﹣MP,即可得s=﹣t+2t+1﹣(t+1),化简即可求得答案;

(3)若四边形BCMN为平行四边形,则有MN=BC,即可得方程:﹣t+即可求得t的值,再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可.

解答:解:(1)∵当x=0时,y=1,

∴A(0,1),

当x=3时,y=﹣×3+

∴B(3,2.5),

设直线AB的解析式为y=kx+b, 则:, 22t=,解方程×3+1=2.5,

第57页

解得:,

∴直线AB的解析式为y=x+1;

(2)根据题意得:s=MN=NP﹣MP=﹣t+

2t+1﹣(t+1)=﹣t+2t(0≤t≤3);

(3)若四边形BCMN为平行四边形,则有MN=BC,此时,有﹣t+解得t1=1,t2=2,

∴当t=1或2时,四边形BCMN为平行四边形.

①当t=1时,MP=,NP=4,故MN=NP﹣MP=, 2t=,

又在Rt△MPC中,MC=,故MN=MC,此时四边形BCMN为菱形, ②当t=2时,MP=2,NP=,故MN=NP﹣MP=,

又在Rt△MPC中,MC=

形. ,故MN≠MC,此时四边形BCMN不是菱

点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式,线段的长与函数关系式之间的关系,平行四边形以及菱形的性质与判定等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是数形结合思想的应用.

27.(2011?贵港)如图,已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a (x+2)相交于A、B两点,点A在y轴上,M为抛物线的顶点.

(1)请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式; 2

第58页

(2)若P为线段AB上一个动点(A、B两端点除外),连接PM,设线段PM的长为l,点P的横坐标为x,请求出l与x之间的 函数关系,并直接写出自变量x的取值范围;

(3)在(2)的条件下,线段AB上是否存在点P,使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2

考点:二次函数综合题;解一元二次方程-公式法;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理。

专题:计算题。

分析:(1)把x=0代入求出A的坐标,求出直线与抛物线的交点坐标即可;

(2)过点P作PD⊥x轴于点D,设P的坐标是(x,﹣x+2),根据勾股定理求出x即可;

(3)连接AM,求出AM,①当PM=PA时,根据勾股定理得到x+2x+8=x+(﹣x+2﹣2)222,求出方程的解即可;同理②当PM=AM时,求出P的坐标;③当PA=AM时,求出P的坐标.

解答:解:(1)A的坐标是(0,2),抛物线的解析式是y=(x+1).

(2)如图,P为线段AB上任意一点,连接PM,

过点P作PD⊥x轴于点D,

设P的坐标是(x,﹣x+2),则在Rt△PDM中,

PM=DM+PD 2222

第59页

即l=(﹣2﹣x)+(﹣x+2)=x+2x+8,

自变量x的取值范围是:﹣5<x<0,

答:l与x之间的 函数关系是l=x+2x+8,自变量x的取值范围是﹣5<x<0. 2222222

(3)存在满足条件的点P,

连接AM,由题意得,AM==2,

①当PM=PA时,x2+2x+8=x2+(﹣x+2﹣2)2,

解得:x=﹣4,

此时y=﹣×(﹣4)+2=4,

∴点P1(﹣4,4);

②当PM=AM时,x2+2x+8=(2)2,

解得:x1=﹣x2=0(舍去),

此时y=﹣×(﹣)+2=,

∴点P2(﹣,),

③当PA=AM时,x2+(﹣x+2﹣2)2=(2)2,

解得:x1=﹣x2=(舍去),

第60页

此时 y=﹣×(﹣)+2=,

∴点P3(﹣,),

综上所述,满足条件的点为:

P1(﹣4,4)、P2(﹣,)、P3(﹣,),

答:存在点P,使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形,点P的坐标是(﹣4,4)或(﹣,)或(﹣,).

点评:本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数图象上点的坐标特征,勾股定理,解一元二次方程等知识点的理解和掌握,求出符合条件的所有情况是解此题的关键.

28. (2011?贺州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,4),顶点为(1,).

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标;

(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E作EF∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.

第61页

考点:二次函数综合题。

分析:(1)将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a ( x﹣1)+,然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式; 2(2)利用等腰三角形的性质即可得到P点的坐标分别为P1(1,),P2(1,﹣),P3(1,8),P4(1,);

(3)求得抛物线与x轴的交点坐标,然后过点F作FM⊥OB于点M,利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=﹣x+x+,配方后即可求得最大值,从而求得E点的坐标. 2解答:解:(1)∵抛物线的顶点为(1,)

∴设抛物线的函数关系式为y=a ( x﹣1)+

∵抛物线与y轴交于点C (0,4),

∴a (0﹣1)+=4 22解得a=﹣

∴所求抛物线的函数关系式为y=﹣( x﹣1)+ 2第62页

(2)P1(1,),P2(1,﹣),P3(1,8),P4(1,),

(3)存在. 令﹣( x﹣1)2+=0,解得x1=﹣2,x1=4

∴抛物线y=﹣( x﹣1)2+与x轴的交点为A (﹣2,0)C 过点F作FM⊥OB于点M,

∵EF∥AC,

∴△BEF∽△BAC, ∴=

又∵OC=4,AB=6,

∴MF=×OC=EB

设E点坐标为 (x,0),则EB=4﹣x,MF=(4﹣x) ∴S=S△BCE﹣S△BEF=EB?OC﹣EB?MF =EB(OC﹣MF)=(4﹣x)[4﹣(4﹣x)]

=﹣x2+x+=﹣( x﹣1)2+3

∵a=﹣<0,

∴S有最大值

当x=1时,S最大值=3 4,0)

第63页 (

此时点E的坐标为 (1,0).

点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.

29. (2011?柳州)如图,一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线

y=x+bx+c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;

(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N.问在x轴上是否存在点P,使得△PMN是等腰直角三角形?如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理由.

2

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)求出A和C点的坐标,并将其代入抛物线的解析式,即可求出;

(2)S四边形ABDC=S△EDB﹣S△ECA,通过求D、B和E点的坐标,根据三角形的面积公式,求出S△EDB和S△ECA.

(3)分三种情况进行讨论:①∠PMN=90°,②∠PNM=90°,③∠MPN=90°.

解答:解:(1)∵一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,

∴A (﹣1,0)C (0,﹣4),

把A (﹣1,0)C (0,﹣4)代入

y=x+bx+c得 2

第64页

∴,解得,

y=x﹣x﹣4;

(2)∵

y=x﹣x﹣4=( x﹣1)﹣222,

∴顶点为D(1,﹣),

设直线DC交x轴于点E,

由D(1,﹣)C (0,﹣4),

易求直线CD的解析式为y=﹣x﹣4,

易求E(﹣3,0),B(3,0),

S△EDB=×6×=16,

S△ECA=×2×4=4,

S四边形ABDC=S△EDB﹣S△ECA=12;

(3)设M、N的纵坐标为a,

由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为:y=,

则M(,a),N(,a),

①当∠PMN=90°,MN=a+4,PM=﹣a,因为是等腰直角三角形,则﹣a=a+4 则a=﹣2 则P

第65页

的横坐标为﹣,

即P点坐标为(﹣,0);

②当∠PNM=90°,PN=MN,同上,a=﹣2,则P的横坐标为=, 即P点坐标为(,0);

③当∠MPN=90°,作MN的中点Q,连接PQ,则PQ=﹣a,

又PM=PN,∴PQ⊥MN,则MN=2PQ,即:a+4=﹣2a,

解得:a=﹣,

点P的横坐标为:==,

即P点的坐标为(,0).

点评:本题考查了二次函数的综合应用,难度较大,这就需要二次函数各部分知识的熟练掌握,以便灵活运用

30.(2011?菏泽)如图,抛物线y=x+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0). 2

第66页

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;

(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)把A点的坐标代入抛物线解析式,求b得值,即可的出抛物线的解析式,根据顶点坐标公式,即可求出顶点坐标;

(2)根据直角三角形的性质,推出AC=OA+OC=5,BC=OC+OB=20,即AC+BC=25=AB,即可确△ABC是直角三角形;

(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC'=2.连接C'D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.首先确定最小值,然后根据三角形相似的有关性质定理,求m的值

解答:解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=x+bx﹣2上, 2222222222

∴×(﹣1 )+b×(﹣1)﹣2=0,解得b=2

∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣2.

2y=x﹣x﹣2 2=( x﹣3x﹣4 ) 2

第67页

=(x﹣)﹣2,

∴顶点D的坐标为 (,﹣

).

(2)当x=0时y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.

当y=0时,x﹣x﹣2=0,∴x1=﹣1,x2=4,∴B (4,0)

∴OA=1,OB=4,AB=5.

∵AB=25,AC=OA+OC=5,BC=OC+OB=20,

∴AC+BC=AB.∴△ABC是直角三角形.

(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC′=2,

连接C′D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小. 22222222222解法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴ ∴

,∴m=.

第68页

解法二:设直线C′D的解析式为y=kx+n, 则,解得n=2,. ∴.

∴当y=0时,,.∴.

点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质,关键在于求出函数表达式,做好辅助点,找对相似三角形.

31. (2011黑龙江大庆,28,8分)二次函数:y=ax﹣bx+b(a>0,b>o)图象顶点的纵坐标不大于. 2

(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围;

(2)若该二次函数图象与x轴交于A,B两点,求线段AB长度的最小值.

考点:抛物线与x轴的交点;二次函数的性质。

分析:(1)先求出y=ax﹣bx+b(a>0,b>0)的顶点的纵坐标,根据题意得出

即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围;

(2)设A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),则x1、x2是方程ax﹣bx+b=0的两根,由求根公式得出x1、x2,根据AB=|x2﹣x1|求出线段AB长度的最小值.

222≥3,解答:解:(1)由于y=ax﹣bx+b(a>0,b>0)图象的顶点的纵坐标为, 则≤﹣,得≥3,

∴该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是不小于3;

(2)设A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)

则方程ax﹣bx+b=0的两根, 2

第69页

得x1=,x2=,

从而AB=|x2﹣x1

|=

=()?4? b

a2b a

=(b?2)2?4 a

由(1)知≥6. 由于当≥6时,随着的增大,(b?2)2?4也随着增大, a

. 所以=6时,线段AB长度的最小值为2

点评:本题是一道综合性的题目,考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的性质,是中考压轴题,难度较大.

32. (2011?郴州)如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别是(0,1)和(1,0),P是线段AB上的一动点(不与A、B重合),坐标为(m,1﹣m)(m为常数).

(1)求经过O、P、B三点的抛物线的解析式;

(2)当P点在线段AB上移动时,过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变;

(3)当P移动到点()时,请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点,使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形,并求出这两点的坐标.

第70页

考点:二次函数综合题。

分析:(1)设出抛物线的解析式,根据抛物线经过原点,B点,P点可列出方程求出a,b的值确定解析式;

(2)求出抛物线的对称轴,可知是个定值,故不变;

(3)可作出对称轴与x轴的交点为K,过K点作PB的垂直平分线,交抛物线于两点,这两点就符合要求.

解答:解:(1)设抛物线的解析式为y=ax+bx+c,

因为抛物线过原点O(0,0).所以c=0.

2

所以y=﹣x+x; 2(2)由(1)可知抛物线的对称轴是x=﹣所以它不会随P的移动而改变;

(3)点O(0,0)可满足. =.

设抛物线的对称轴与x轴交于K,过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1,Q2两点,则△Q1PB,△Q2PB是等腰三角形.

因为P点的坐标是(,).

第71页

所以Q1Q2的解析式是:y=x﹣,抛物线的解析式为:y=﹣2x+2x. 2

所以直线和抛物线的交点Q1,Q2两点的坐标是(,),(,﹣).

点评:本题考查二次函数的综合运用,其中考查了通过坐标来确定二次函数式,求抛物线的对称轴,以及根据等腰三角形的性质求出坐标.

33. (2011?湘西州)如图.抛物线y=﹣x﹣2x+3与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点

C.

(1)求点A、点B和点C的坐标.

(2)求直线AC的解析式.

(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点,且S△MAB=6,求点M的坐标.

(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出△APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,△APQ的面积最大,最大面积是多少? 2

第72页

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)令y=0求得抛物线与横轴的交点坐标,令x=0求得图象与y轴的交点坐标即可.

(2)利用已知的两点的坐标根据待定系数法求得一次函数的解析式即可.

(3)设出点M的坐标为(x,﹣x﹣2x+3),然后表示出其面

积2

=6,解得即可.

(4)证明△BNP∽△BEO,由已知令y=0求出点E的坐标,利用线段比求出NP,BE的长.求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值.

解答:(1)令﹣x﹣2x+3=0,(x+3)(x﹣1)=0,x1=﹣3,x2=1,

A(﹣3,0)B.(1,0),C(0,3);

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b, 由题意,得

(3)设M点的坐标为(x,﹣x﹣2x+3),

AB=4,因为M在第二象限,所以﹣x﹣2x+3>0, 222,解之得,y=x+3;

第73页

所以

解之,得x1=0,x2=﹣2,

当x=0时,y=3,(不合题意) =6,

当x=﹣2时,y=3.所以M点的坐标为(﹣2,3);

(4)由题意,得AB=4,PB=4﹣t,

∵AO=3,CO=3,

∴△ABC是等腰直角三角形,AQ=2t,

所以Q点的纵坐标为t, S=(1<t<4) ∵, ∴当t=2时,△APQ最大,最大面积是.

点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.

34. (2011?西宁)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为(﹣1,0).如图所示,B点在抛物线

y=x+x﹣2图象上,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为﹣3.

(1)求证:△BDC≌△COA;

(2)求BC所在直线的函数关系式;

(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2第74页

考点:二次函数综合题。

分析:(1)首先根据题意推出∠BCD=∠OAC,然后BC=AC,根据全等三角形的判定定理―AAS‖定理,即可判定△BDC≌△COA;

(2)首先(1)所得的结论,即可推出OC=BD=1,即可得B点的纵坐标,设出直线的函数关系式,把B,C两点的坐标代入,求出k、b,即可推出结论;

(3)首先根据二次函数表达式,求出抛物线的对称轴,然后分情况进行分析①以AC为直角边,A点为直角顶点,根据题意推出P1点为BC与抛物线的对称轴的交点,根据直线BC的解析式和抛物线的解析式,即可推出P1点的坐标,②以AC为直角边,C点为直角顶点,做AP2⊥BC,设与抛物线的对称轴交于P2点,确定点P2的位置,由OA=CD,即可推出A点的坐标,根据AP2∥BC,即可推出直线AP2的的解析式,结合抛物线对称轴的解析式,即可推出P2的坐标.

解答:解:(1)证明:∵ACB⊥BC,BD⊥CD,

∴∠BCD=∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,

∴∠BCD=∠OAC,

∵△ABC为等腰直角三角形,

∴BC=AC,

∵在△BDC和△COA中

第75页

∴△BDC≌△COA(AAS),

(2)∵△BDC≌△COA,

∴BD=CO,

∵C点的坐标为(﹣1,0),

∴BD=OC=1,

∴B点的纵坐标为1,

∵B点的横坐标为﹣3,

∴B点的坐标为(﹣3,1),

设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b, ∴,

∴解方程组得,

∴直线BC所在直线的解析式为:y=﹣x﹣,

(3)存在,

∵抛物线的解析式为:

y=x2+x﹣2, ∴

y=x2+x﹣2 =(x+)2﹣,

第76页

∴二次函数的对称轴为x=﹣,

①若以AC为直角边,C点为直角顶点,做CP1⊥AC, ∵BC⊥AC,

∴P1点为直线BC与对称轴直线x=﹣的交点, ∵直线BC所在直线的解析式为:y=﹣x﹣, ∴,

∴解得,

∴P1点的坐标为(﹣,﹣);

②若以AC为直角边,A点为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AP2⊥AC,∴过点A作AP2∥BC,交对称轴直线x=﹣于点P2, ∵OB=3,OC=1,

∴OA=CD=2,

∴A点的坐标为(0,2),

∴直线AP2的解析式为y=﹣x+2, ∴,

第77页

∴解得:,

∴P2点的坐标为(﹣,﹣),

∴P点的坐标为P1(﹣,﹣)、P2(﹣,﹣).

点评:本题主要考查全等三角形的判定与性质,待定系数法求出抛物线的解析式,根据解析式求点的坐标,关键在于(1)推出∠BCD=∠OAC,(2)根据(1)的结论,推出B点的坐标,(3)注意分情况讨论,①若以AC为直角边,C点为直角顶点,推出P1点为直线BC与对称轴直线x=﹣的交点,②若以AC为直角边,A点为直角顶点,由A点的坐标,求出直线AP2的解析式.

35. (2011?青海)已知一元二次方程x﹣4x+3=0的两根是m,n且m<n.如图,若抛物线y=﹣x+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).

(1)求抛物线的解析式.

(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图象回答,当x取何值时,抛物线的图象在直线BC的上方?

(3)点P在线段OC上,作PE⊥x轴与抛物线交与点E,若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,求点P的坐标. 22

第78页

考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;抛物线与x轴的交点;三角形的面积。

专题:计算题。

分析:(1)求出方程的解,得到B、A的坐标,代入抛物线得到方程组,求出方程组的解即可;

(2)求出C的坐标,根据B、C的坐标求出即可;

(3)设直线BC交PE于F,P点坐标为(a,0),则E点坐标为(a,﹣a﹣2a+3),根据三角形的面积求出F的坐标,设直线BC的解析式是y=kx+b,把B、C的坐标代入求出直线BC,把F的坐标代入求出即可.

解答:解:(1)∵x﹣4x+3=0的两个根为 x1=1,x2=3,

∴A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(0,3),

又∵抛物线y=﹣x+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(0,3)两点, ∴

∴抛物线的解析式为 y=﹣x﹣2x+3,

答:抛物线的解析式是 y=﹣x﹣2x+3.

(2)解:作直线BC,

由(1)得,y=﹣x﹣2x+3,

∵抛物线y=﹣x﹣2x+3与x轴的另一个交点为C,令﹣x﹣2x+3=0,

解得:x1=1,x2=﹣3, 22222222,

第79页

∴C点的坐标为(﹣3,0),

由图可知:当﹣3<x<0时,抛物线的图象在直线BC的上方,

答:当﹣3<x<0时,抛物线的图象在直线BC的上方.

(3)解:设直线BC交PE于F,P点坐标为(a,0),则E点坐标为(a,﹣a﹣2a+3), 2

∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,

∴F是线段PE的中点,

即F点的坐标是(a,),

∵直线BC过点B(0.3)和C(﹣3,0),

设直线BC的解析式是y=kx+b,代入得:, ∴

∴直线BC的解析式为y=x+3,

∵点F在直线BC上,

∴点F的坐标满足直线BC的解析式, 即=a+3

解得 a1=﹣1,a2=﹣3(此时P点与点C重合,舍去),

∴P点的坐标是(﹣1,0),

答:点P的坐标是(﹣1,0).

第80页

点评:本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式,二次函数与X轴的交点,解一元二次方程,解二元一次方程组,三角形的面积等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.

36. (2011山东济南,27,9分)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,

8),点C的坐标为(6,0).抛物线y??

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;

②当S最大时,在抛物线y??42x?bx?c经过A、C两点,与AB边交于点D. 942x?bx?c的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角9

形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.

第27题备用

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题;数形结合。

第81页

分析:(1)将A、C两点坐标代入抛物线y??42x?bx?c,即可求得抛物线的解析式; 9

(2)①先用m 表示出QE的长度,进而求出三角形的面积S关于m的函数,化简为顶点式,便可求出S的最大值;

②直接写出满足条件的F点的坐标即可,注意不要漏写.

解答:解:(1)将A、C两点坐标代入抛物线y??4

9x2?bx?c,

??c?8

?, ???4

9?36?6b?c?0

??b?4

解得??3

?c?8,

∴抛物线的解析式为y??4

9x2?4

3x?8;

(2)①∵OA=8,OC=6

∴AC?10,

过点Q作QE⊥BC与E点,则sin?ACB?QE

QC?AB3

AC?5,

图1 ∴QE

10?5m?3

5,

第82页

3(10?m), 5

11332315m?3m?(m?5)2?∴S?CPQE?m?(10?m)?22510102 ∴QE?

∴当m=5时,S取最大值;

②在抛物线对称轴l

上存在点F,使△FDQ为直角三角形,

满足条件的点F共有四个,坐标分别为

3333F1(,8)

,F2(,4),F3(,6?,F4(,6?, 2222

点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法抛物线的最值等知识点,是各地中考的热点和难点,,解题时注意数形结合数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.

37.(2011四川眉山,26,11分)如图,在直角坐标系中,已知点A(0,1),B(﹣4,4),将点B绕点A顺时针方向90°得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点B.

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;

(2)抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为

d1,点P到点A的距离为d2,试说明d2=d1+1;

(3)在(2)的条件下,请探究当点P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出△PAC的周长的最小值.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)设抛物线的解析式:y=ax,把B(﹣4,4)代入即可得到a的值;过点B作BE⊥y轴于E,过点C作CD⊥y轴于D,易证Rt△BAE≌Rt△ACD,得到AD=BE=4,CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3,即可得到C点坐标(3,5); 2

第83页

12a,又AF=OF4

1212﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=a﹣1,PF=a,在Rt△PAF中,利用勾股定理得到PA=d2=a+1, 44(2)设P点坐标为(a,b),过P作PF⊥y轴于F,PH⊥x轴于H,则有d1=

即有结论d2=d1+1;

(3)△PAC的周长=PC+PA+5,由(2)得到△PAC的周长=PC+PH+6,要使PC+PH最小,则C、P、H三点共线,P点坐标为(3,

=5+6=11.

解答:解:(1)设抛物线的解析式:y=ax,

∵拋物线经过点B(﹣4,4),

∴4=a?4,解得a=229),此时PC+PH=5,得到△PAC的周长的最小值41, 4

12x; 4

E,过点C作CD⊥y轴于D,如图

,所以抛物线的解析式为:y=过点B作BE⊥y轴于

∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C,

∴Rt△BAE≌Rt△ACD,

∴AD=BE=4,CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3,

∴OD=AD+OA=5,

∴C点坐标为(3,5);

(2)设P点坐标为(a,b),过P作PF⊥y轴于F,PH⊥x轴于H,如图,

∵点P在抛物线y=12x上, 4

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12a, 4

12∴d1=a, 4∴b=

∵AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=12a﹣1,PF=a, 4

在Rt△PAF中,PA=d2=

∴d2=d1+1;

(3)由(1)得AC=5, 11AF2?PF2?(a2?2)2?a2=a2+1, 44

∴△PAC的周长=PC+PA+5

=PC+PH+6,

要使PC+PH最小,则C、P、H三点共线,

∴此时P点的横坐标为3,把x=3代入y=

即P点坐标为(3,129x,得到y=, 449),此时PC+PH=5, 4

∴△PAC的周长的最小值=5+6=11.

点评:本题考查了点在抛物线上,点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为:y=ax;也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短.

38. (2011成都,26,8分)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃,苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限),另三边用木栏围成,建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.已知木栏总长为120米,设AB边的长为x米,长方形ABCD的面积为S平方米.

(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).当x为何值时,S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值;

(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆,其圆心分别为O1和O2,且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等,并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面,以方便同学们参观学习.当(l)中S取得最值时,请问这个设计是否可行?若可行,求出圆的半径;若不可行,请说明理由. 2

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考点:二次函数的应用;相切两圆的性质。

专题:计算题;代数几何综合题。

分析:(1)表示出BC的长120-2x,由矩形的面积公式得出答案;

(2)设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽,利用题目中的等量关系列出二元一次方程组,求得半径和路面宽,当路面宽满足题目要求时,方案可行,否则不行. 解答:解:(1)∵AB=x,∴BC=120-2x,

∴S=x(120-2x)=-2x2+120x;

1200?1202

?30时,S有最大值为当x=?1800; 2?24?(?2)

(2)设圆的半径为r,路面宽为a,

根据题意得:??4r?2a?60 ?2r?2a?30

?r?15解得:? a?0?

∵路面宽至少要留够0.5米宽,

∴这个设计不可行.

点评:本题考查了二次函数的应用,题目中还涉及到了二元一次方程组及方案设计的相关知识,是一道难度适中的综合题.

39.(2011成都,28,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面积S△ABC=15,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点.

(1)求此抛物线的函数表达式;

(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另

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一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;

(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M,使△MBC中BC边上的高为72?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1) 由已知设OA=m,则OB=OC=5m,AB=6m,由S△ABC=1AB×OC=15,可2

求m的值,确定A、B、C三点坐标,由A、B两点坐标设抛物线交点式,将C点坐标代入即可;

(2)设E点坐标为(m,m2-4m-5),抛物线对称轴为x=2,根据2(m-2)=EH,列方程求解;

(3)存在,因为OB=OC=5,△OBC为等腰直角三角形,直线BC解析式为y=x-5,则直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为72,将直线解析式与抛物线解析式联立,求M点的坐标即可.

解答:解:(1)∵|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,

设OA=m,则OB=OC=5m,AB=6m,

由S△ABC=11AB×OC=15,得×6m×5m=15,解得m=1(舍去负值), 22

∴A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),

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设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-5),将C点坐标代入,得a=1,

∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-5),

即y=x2-4x-5;

(2)设E点坐标为(m,m2-4m-5),抛物线对称轴为x=2,

由2(m-2)=EH,得2(m-2)=-(m2-4m-5)或2(m-2)=m2-4m-5, 解得m=1±或m=,

∵m>2,∴m=1+或m=3+,

边长EF=2(m-2)=2-2或2+2;

(3)存在.

由(1)可知OB=OC=5,

∴△OBC为等腰直角三角形,直线BC解析式为y=x-5,

依题意,直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为72,

联立??y?x?9

?y?x?4x?52,??y?x?19

?y?x?4x?52,

解得??x??2?x?7或?, y?16y?7??

∴M点的坐标为(-2,7),(7,16).

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是采用形数结合的方法,准确地用点的坐标表

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示线段的长,根据图形的特点,列方程求解,注意分类讨论.

40. (2011四川达州,23,10分)如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点为P,连接AC.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,且直线DC与x轴交于点Q,求点D的坐标;

(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得s△MAP=2s△ACP,若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)利用交点式将抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,代入y=a(x﹣x1)(x﹣x2),求出二次函数解析式即可;

(2)利用△QOC∽△COA,得出QO的长度,得出Q点的坐标,再求出直线DC的解析式,将两函数联立求出交点坐标即可;

(3)首先求出二次函数顶点坐标,s四边形AEPC=s四边形OEPC+s△AOC,以及s四边形AEPC=s△AEP+s△ACP=得出使得s△MAP=2s△ACP点M的坐标.

解答:解:(1)设此抛物线的解析式为:y=a(x﹣x1)(x﹣x2),

∵抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,

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∴y=a(x﹣1)(x+3),

又∵抛物线与y轴交于点C(0,3), ∴a(0﹣1)(0+3)=3,

∴a=﹣3

∴y=﹣(x﹣1)(x+3),

即y=﹣x2﹣2x+3,

用其他解法参照给分;

(2)∵点A(1,0),点C(0,3), ∴OA=1,OC=3,

∵DC⊥AC,OC⊥x轴,

∴△QOC∽△COA, ∴OQOCOQ

OC?OA,即3?3

1,

∴OQ=9,,

又∵点Q在x轴的负半轴上, ∴Q(﹣9,0),

设直线DC的解析式为:y=mx+n,则??n?3,

??9m?n?0

?

解之得:?1

?m?3,

??n?3

∴直线DC的解析式为:y?1

3x?3,

∵点D是抛物线与直线DC的交点, ?1

∴??y?3x?3,

??y??x2?2x?3

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?

解之得:??x1??7

?3 ??x2?0(不合题意,应舍去),

?20

??y2?3

?y1?9

∴点D(?7,20

39),

用其他解法参照给分;

(3)如图,点M为直线x=﹣1上一点,连接AM,PC,PA,设点M(﹣1,y),直线x=﹣1与x轴交于点E, ∴AE=2,

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点为P,对称轴为x=﹣1, ∴P(﹣1,4),

∴PE=4,

则PM=|4﹣y|,

∵s四边形AEPC=s四边形OEPC+s△AOC, =1

2?1?(3?4)?1

2?1?3, =1

2?(3?7),

=5,

又∵s四边形AEPC=s△AEP+s△ACP,

s△AEP=11

2AE?PE?2?2?4?4,

∴+s△ACP=5﹣4=1,

∵s△MAP=2s△ACP, ∴1

2?1?4?y?2?1,

∴|4﹣y|=2,

∴y1=2,y2=6,

故抛物线的对称轴上存在点M使s△MAP=2s△ACP, 点M(﹣1,2)或(﹣1,6).

第91页

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

41. (2011四川广安,30,12分)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角

梯形,BC∥AD,∠BAD= 90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(-1,0),B( -1,2),D( 3,0),连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N.

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线上是否存在点P.使得PA=PC.若存在,求出点P的坐标;若不存在.请

说明理由.

(3)设抛物线与x轴的另—个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点

Q在什么位置时有QE?QC最大?并求出最大值.

考点:抛物线,存在,动态,压轴

专题:压轴题、综合题

分析:(1)由题意可知点M的坐标为(0,2),根据平移可知线段DM是向左平移3个单位得到线段NO的,由此可知N(-3,2),把D、M、N三点的坐标代入y?ax?bx?c2

第92页

即可得到抛物线的解析式.

(2)由题意可知点P应该是线段AC的垂直平分线与抛物线的交点,为此需要确定AC的垂直平分线所在的直线的函数解析式,然后通过解方程组确定交点坐标,若能求得,则说明存在,否则说明不存在.

(3)由题意可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称,所以QE=QD,所以QE?QC?QD?QC,延长DC交抛物线的对称轴相交,当点Q在交点上时,QD-QC=CD,此时QE?QC的值最大,恰好为线段CD的长.

解答:(1)解:由题意可得M(0,2),N(-3,2),

1?a??,?92?c,??1??∴ ?2?9a?3b?c, 解得:?b??,3??0?9a?3b?c. ??c?2.??

∴y=?

(2)∵PA=PC, ∴P为AC的垂直平分线上,依题意,AC的垂直平分线经过(-1,

2)、(1,0),其所在的直线为y=-x+1. 121x??293

?y??x?1,?根据题意可列方程组?

121y??x?x?2.?93?

??x1?3?解得:??

?y1??2???x2?3????y2??2?∴P1

(3??2?、P2

(3??2?.

(3)如图所示,延长DC交抛物线的对称轴于点Q,根据题意可知此时点Q满足条件. 由题意可知C(1,2),D(3,0),可求得CD所在的直线的解析式为y??x?3. 抛物线y??121x?x?2的对称轴为直线x??1.5. 93

∵点Q在直线x=-1.5上,又在直线y??x?3上.

∴Q(-1 .5,4.5),QE=QD.

第93页

QE?QC?QD?QC?CD?

?.

即当点Q的坐标为(-1.5,4.5)时,QE?

QC

有最大值,最大值为

点评:(1)待定系数法是确定函数解析式的常用方法,运用时要确定好图象上关键点的坐标,本题中点N的坐标可以根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律来得到.

(2)求函数的交点坐标,通常是通过解由两个函数的解析式联立所得的方程组来求解. 本题综合性强,解答时需具备较强的数学基本功,若知识掌握欠缺,则不容易得分.

42..如图抛物线y= x2-mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0.-1).且对称抽x=l.(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标;

(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC的面积为3.若存在,求出点D的坐标;若不存在.说明理由(使用图1);

(3)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2).

【考点】二次函数综合题.

第94页

第95页

43.(2011四川省宜宾市,24,12分)

已知抛物线的顶点是C (0,a) (a>0,a为常数),并经过点(2a,2a),点D(0,2a)为一定点.

第96页

(1)求含有常数a的抛物线的解析式;

(2)设点P是抛物线任意一点,过P作PH⊥x轴,垂足是H,求证:PD = PH;

(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点,若DA=2DB,且S△ABD = 42,求a的值.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)根据抛物线的图象假设出解析式为y=kx2+a,将经过点(2a,2a),代入求出即可;

(2)根据勾股定理得出PD2=DG2+PG2,进而求出PD=PH;

(3)利用(2)中结论得出BE=DB,AF=DA,即可得出B是OA的中点,进而得出S△OBD=S△ABD

=4 ,即可得出a的值. x答案:24.解:(1)设抛物线的解析式为y=kx2+a

∵点D(2a,2a)在抛物线上,

4a2k+a = 2a ∴k = 1 4a

12x+a

4a ∴抛物线的解析式为y=

第97页

x

(2)设抛物线上一点P(x,y),过P作PH⊥x轴,PG⊥y轴,在Rt△GDP中, 由勾股定理得:PD2=DG2+PG2=(y–2a)2+x2 =y2 – 4ay+4a2+x2

∵y= 12x+a ∴x2 = 4a ? (y– a)= 4ay– 4a2 4a

∴PD 2= y2– 4ay+4a2 +4ay– 4a2= y2 =PH2

∴PD = PH

(3)过B点BE ⊥ x轴,AF⊥x轴.

由(2)的结论:BE=DB AF=DA

∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO = 2BO

∴B是OA的中点,

∴C是OD的中点,

连结BC

∴BC= DAAF = = BE = DB 22

过B作BR⊥y轴,

a3a ∵BR⊥CD ∴CR=DR,OR= a + = , 22

3a ∴B点的纵坐标是,又点B在抛物线上, 2

3a1 = x2+a ∴x2 =2a2

24a

第98页

∵x>0 ∴x = 2a

3a ∴B 2a) 2

AO = 2OB, ∴S△ABD=S△OBD = 42

1 所以,?2a?2a2 2

∴a2= 4 ∵a>0 ∴a = 2

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理的应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

44. (2011四川雅安,25,12分)如图,已知二次函数y=ax+2x+c(a>0)图象的顶点M在2

3错误!未找到引用源。上,且与x轴交于AB两点. x

1(1)若二次函数的对称轴为x??错误!未找到引用源。,试求a,c的值; 2反比例函数y?

(2)在(1)的条件下求AB的长;

(3)若二次函数的对称轴与x轴的交点为N,当NO+MN取最小值时,试求二次函数的解析式.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)根据对称轴x=﹣

根据顶点在反比例函数y?b12=?,求得二次函数y=ax+2x+c(a>0)中的a,再2a23错误!未找到引用源。上,求出c即可; x

(2)求得抛物线与x轴的交点坐标,再用点B的横坐标减去点A的横坐标即可.

(3)可用含有a的式子表示点M、N的坐标,即求出a的值,再求得解析式.

第99页

解答:解:(1)∵二次函数的对称轴为错误!未找到引用源。x??

∴﹣1, 2b1错误!未找到引用源。=﹣错误!未找到引用源。?, 2a2

解得a=2,

∵二次函数y=ax+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数y?

源。上, 23错误!未找到引用x

11,c?), 22

11∴错误!未找到引用源。(c?错误!未找到引用源。)=﹣3, 22

11解得c=﹣错误!未找到引用源。, 2

112∴二次函数的解析式为y=2x+2x﹣错误!未找到引用源。; 2

112(2)∵二次函数的解析式为y=2x+2x﹣错误!未找到引用源。; 2

112∴令y=0,2x+2x﹣=0; 2∴顶点为(?

解得

. ∴

错误!未找到引用源。

11,当x=﹣错误!未找到引用源。时,y=﹣3a, aa(3)根据对称轴x=﹣

13a2?1∴NO+MN=错误!未找到引用源。+3a=错误!未找到引用源。, aa

要使NO+MN最小,则3a+1最小即可,

即3a=1时,

22 2

错误!未找到引用源。x 3∴此时二次函数的解析式为

y=

点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及到的知识点有最值问题和两点之间的距离等知识

第100页

点,是各地中考的热点和难点,解题时注意数形结合等数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.

B(x2,45. 如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、0)两点,且x1?x2,与y轴交于点C?0,?4?,

其中x1,x2是方程x?4x?12?0的两个根.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;

(3)点D?4,k?在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标,若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

28题图

2

第101页

分析:(1)根据一元二次方程解法得出A,B两点的坐标,再利用交点式求出二次函数解析

式;

(2)首先判定△MNA∽△ABC.得出NHAM?,进而得出函数的最值; COAB

(3)分别根据当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE与当AF为平行四边形

的对角线时,分析得出符合要求的答案.

解答:解:(1)∵x?4x?12?0,∴x1??2,x2?6. ∴A(?2,0),B(6,0).

又∵抛物线过点A、B、C,故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6), 2

1。 3

124∴抛物线的解析式为y?x?x?4. 33将点C的坐标代入,求得a?

(2)设点M的坐标为(m,0),过点N作NH?x轴于点H(如图(1))。

∵点A的坐标为(?2,0),点B的坐标为(6,0),

∴AB?8,AM?m?2.

∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC. NHAMNHm?2m?2??,∴NH?. COAB482

11∴S△ACM?S△ACM?S△AMN?AM?CO?AM?NH 22

1m?21?(m?2)(4?)??m2?m?3 . 224

1??(m?2)2?4。 4∴

∴当m?2时,S△CMN有最大值4。

此时,点M的坐标为(2,0).

(3)∵点D(4,k)在抛物线y?

∴当x?4时,k??4,

∴点D的坐标是(4,?4)。

①如图(2),当AF为平行四边形的边时,AF

∵D(4,?4),∴DE?

4. 124x?x?4上, 33DE,

第102页

∴F1(?6,0),F2(2,0) .

②如图(3),当AF为平行四边形的对角线时,设F(n,0), 则平行四边形的对称中心为(∴E?的坐标为(n?6,4)。 把E?(n?6,4)代入y?解得

n?8?

n?2

,0). 2

124

x?x?4,得n2?16n?36?0. 33

F3(8?

,F4(8?.

图(1)

图(2)

图(3)

第103页

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

46.(2011四川眉山,26,11分)如图,在直角坐标系中,已知点A(0,1),B(﹣4,4),将点B绕点A顺时针方向90°得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点B.

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;

(2)抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,试说明d2=d1+1;

(3)在(2)的条件下,请探究当点P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出△PAC的周长的最小值.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)设抛物线的解析式:y=ax,把B(﹣4,4)代入即可得到a的值;过点B作BE⊥y轴于E,过点C作CD⊥y轴于D,易证Rt△BAE≌Rt△ACD,得到AD=BE=4,CD=AE=OE2

第104页

﹣OA=4﹣1=3,即可得到C点坐标(3,5);

12a,又AF=OF4

1212﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=a﹣1,PF=a,在Rt△PAF中,利用勾股定理得到PA=d2=a+1, 44(2)设P点坐标为(a,b),过P作PF⊥y轴于F,PH⊥x轴于H,则有d1=

即有结论d2=d1+1;

(3)△PAC的周长=PC+PA+5,由(2)得到△PAC的周长=PC+PH+6,要使PC+PH最小,则C、P、H三点共线,P点坐标为(3,

=5+6=11.

解答:解:(1)设抛物线的解析式:y=ax,

∵拋物线经过点B(﹣4,4),

∴4=a?4,解得a=229),此时PC+PH=5,得到△PAC的周长的最小值41, 4

12x; 4

E,过点C作CD⊥y轴于D,如图

,所以抛物线的解析式为:y=过点B作BE⊥y轴于

∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C,

∴Rt△BAE≌Rt△ACD,

∴AD=BE=4,CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3,

∴OD=AD+OA=5,

∴C点坐标为(3,5);

(2)设P点坐标为(a,b),过P作PF⊥y轴于F,PH⊥x轴于H,如图,

第105页

∵点P在抛物线y=12x上, 4

12a, 4

12∴d1=a, 4∴b=

∵AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=12a﹣1,PF=a, 4

在Rt△PAF中,PA=d2=

∴d2=d1+1;

(3)由(1)得AC=5, 11AF2?PF2?(a2?2)2?a2=a2+1, 44

∴△PAC的周长=PC+PA+5

=PC+PH+6,

要使PC+PH最小,则C、P、H三点共线,

∴此时P点的横坐标为3,把x=3代入y=

即P点坐标为(3,129x,得到y=, 449),此时PC+PH=5, 4

∴△PAC的周长的最小值=5+6=11.

点评:本题考查了点在抛物线上,点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为:y=ax;也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短..

47. (2011?乐山)已知顶点为A(1,5)的抛物线y=ax+bx+c经过点B(5,1).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图(1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点,求四边形ABCD的周长;

(3)在(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PRQ.

①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围;

②在①的条件下,记△PQR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式,并22

第106页

求S的最大值.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)可设顶点式,将顶点为A(1,5),点B(5,1)代入求出抛物线的解析式;

(2)线段AB的长是确定的,由于点C,D是两个动点,所以BC,CD,DA的长是不确定的,只能用

表示四边形的周长;

(3)作B关于x轴对称点B′,A关于y轴对称点A′,连接A′B′,与x轴,y轴交于C、D点,此时四边形ABCD周长最小,求出CD的解析式,求出CD与直线y=x的交点坐标,得到△PQR与直线y=x有公共点时x的取值范围,以及公共部分的面积S与x之间的函数关系式.

解答:解:(1)∵抛物线的顶点为A(1,5),

∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)+5,

将点B(5,1)代入,得a(5﹣1)+5=1, 22

1, 4

12119∴y=﹣x+x+; 424解得a=﹣

(2)四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+DA,

其中

C,D是x轴与y轴上的动点,所以BC,CD,DA的长不是确定

第107页

的,

故四边形ABCD的周长表示为:

(3)①点B关于x轴的对称点B′(5,﹣1),点A关于y轴的对称点A′(﹣1,5),连接A′B′,与x轴,y轴交于C,D点,

∴CD的解析式为:y=﹣x+4,

?y??x?4联立?, y?x?

得:??x?2,

?y?2

∵点P在y=x上,点Q是OP的中点,

∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点,则2≤x≤4.

故x的取值范围是:2≤x≤4.

如图:

点E(2,2),当EP=EQ时,x﹣2=2﹣ 18x,得:x=, 23

81121111当2≤x≤时,S=PR?RQ﹣EP=(x﹣x)?(x﹣x)﹣x﹣2)

3222222

(x﹣2),

72x+4x﹣4, 8

416当x=时,S最大=. 77S=﹣

第108页

811121≤x≤4时,S=EQ=2﹣x)

2﹣x), 322

22

12S=(x﹣4), 4

84当x=时,S最大=. 39

4故S的最大值为:. 7当

点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)利用顶点式求出二次函数的解析式,(2)确定四边形的周长,(3)根据对称性求出CD的解析式,然后求出x的取值范围和S与x的函数关系.

48. (2011福建福州,22,14分)已知,如图,二次函数y=ax+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A.B两点(B在A点右侧),点H.B关于直线l

:(1)求A.B两点坐标,并证明点A在直线l上;

(2)求二次函数解析式;

(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M.N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.

2

考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求二次函数解析式;抛物线与x轴的交点;图象法求一元二次方程的近似根;勾股定理.

分析:(1)求出方程ax+2ax﹣3a=0(a≠0),即可得到A点坐标和B点坐标;把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上; 2

第109页

(2)根据点H.B关于过A点的直线l

:AH=AB=4,过顶点H作3

HC⊥AB交AB于C点,求出AC和HC的长,得出顶点H的坐标,代入二次函数解析式,求出a,即可得到二次函数解析式;

??y=(3

)解方程组?K的坐标,根据点H.B关于直线AK对称,得3??

出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.

解答:解:(1)依题意,得ax+2ax﹣3a=0(a≠0),

解得x1=﹣3,x2=1,

∵B点在A点右侧,

∴A点坐标为(﹣3,0),B点坐标为(1,0),

答:A.B两点坐标分别是(﹣3,0),(1,0).

证明:∵直线l

:∴点A在直线l上.

2x=﹣3

时,(-30,

第110页

(2)解:∵点H.B关于过A点的直线l

:y=3

∴AH=AB=4,

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,

则AC=1

2AB=2,HC

∴顶点

H?-1,

,代入二次函数解析式,解得a=-2.

二次函数解析式为x2,

答:二次函数解析式为x2.

(3)解:直线AH

的解析式为

直线BK

的解析式为

由????x=3??

??

?y=K?3,,则BK=4.

?

∵点H.B关于直线AK对称,

∴HN+MN的最小值是MB,KD=KE

过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E, 则QM=MK,QE=EK

=AE⊥QK,

第111页

∴BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,

∵BK∥AH,

∴∠BKQ=∠HEQ=90°,

由勾股定理得QB=8,

∴HN+NM+MK的最小值为8,

答HN+NM+MK和的最小值是8.

点评:本题主要考查对勾股定理,解二元一次方程组,二次函数与一元二次方程,二次函数与X轴的交点,用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度.

449. 2011福建龙岩,24,13分)如图,已知抛物线y??x2?bx?c与x轴相交于A、B两9

点,其对称轴为直线x=2,且与x轴交于点D,AO=1.

(1)填空:b= .c= ,点B的坐标为( , ):

(2)若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E,交x轴于点F.求FC的长;

(3)探究:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使⊙P与x轴、直线BC都相切?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;线段垂直平分线的性质;勾股定理.

分析:(1)根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标,代入解析式求出b、c即可;

第112页

430(2)求出C(2,4)求得E的坐标为(3.5,2)和直线BC的表达式为y??x?,设33

直线EF的表达式为y=kx+b,根据EF为BC的中垂线求出k?达式为y?35和b??推出直线EF的表48355x?,令y=0,得x?即可求出答案; 486

(3)作∠OBC的平分线交DC于点P,设P(2,a),则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离(用到点到直线的距离公式)求出a即可.

4解答:(1)解:∵抛物线y??x2?bx?c与x轴相交于A、B两点,其对称轴为直线9

x=2,且与x轴交于点D,AO=1,

∴A(﹣1,0),B(5,0), ?b??8?2

1620??代入解析式得:?,解得:b=,c=, 999?4?0???b?c9?

故答案为

1620,,5,0. 99

416204(2)解:由(1)求得y??x2?x???(x?2)2?4, 9999

∴C(2,4)

∵E为BC的中点,由中点坐标公式求得E的坐标为(3.5,2),

430直线BC的表达式为y??x?, 33

整理得4x+3y﹣20=0

设直线EF的表达式为y=kx+b,

∵EF为BC的中垂线,∴EF⊥BC,∴k?3, 4

535把E(3.5,2)代入求得b??,∴直线EF的表达式为y?x?, 848

在y?5355F(,0), x?中,令y=0,得x?,∴6486

25525,答:FC的长是. ?666∴FC=FB=5?

第113页

(3)解:存在,

作∠OBC的平分线交DC于点P,则P满足条件,

设P(2,a),则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离(用到点到直线的距离公式),

∴a?3a?125,∴5|a|=|3a﹣12|,

∴5a=3a﹣12或5a=﹣3a+12,解得a=﹣6或a=33,∴P(2,﹣6)或P(2,), 22

答:在抛物线的对称轴上存在点P,使⊙P与x轴、直线BC都相切,点P的坐标是(2,﹣

6),(2,3). 2

点评:本题主要考查对解二元一次方程组,二次函数图象上点的坐标特征,用待定系数法求二次函数的解析式,勾股定理,线段的垂直平分线定理等知识点的理解和掌握,熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.

50.(2010福建泉州,26,14分)如图1,在第一象限内,直线y=mx与过点B(0,1)且平行于x轴的直线l相交于点A,半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E,且与直线l分别交于不同的M、N两点.

(1)当点A

p)时, ①填空:p= 1 ,

AOE= 60° .

②如图2,连接QT、QE,QE交MN于点F,当r=2时,试说明:以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形;

(2)在图1中,连接EQ并延长交⊙Q于点D,试探索:对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax+bx+c,a的值会变化吗?若不变,求出a的值;若变化.请说明理由. 2

第114页

考点二次函数综合题;一次函数综合题;等边三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;等腰梯形的判定;切线的性质;解直角三角形。

分析(1)由点A(错误!未找到引用源。,p)在直线l上,得到p=1;点A在直线y=mx上,得到m=错误!未找到引用源。;在Rt△OBA中,OB=1,

∠AOE=60°;

(2)连接TM,ME,EN,ON,根据切线的性质得到QE⊥x轴,QT⊥OT,由QE⊥MN,得到MF=NF,而r=2,EF=1,则四边形QNEM为平行四边形,即QN∥ME;同时有△QEN为等边三角形,则∠NQE=60°,∠QNF=30°;在四边形OEQT中,∠QTO=∠QEO=90°,∠TOE=60°,可求出∠TQE=120°,于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°,即T、Q、N三点共线,得到TN为直径;得到∠TMN=90°,得到TN∥ME,所以∠MTN=60°=∠TNE,得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形;

(3)连DM,ME,根据垂径定理和圆周定理的推论得到∠DME=90°,DM垂直平分MN,所以Rt△MFD∽Rt△EFM,得到MF=EF?FD,设D(h,k),(h>0,k=2r),则过M、D、N三点的抛物线的解析式为:y=a(x﹣h)+k,令y=1,得到x1=h

22

x2

则MF=1

2=1?(k﹣1),解得a=﹣1. 2

解答解:(1)∵点A

的坐标为(,p),点A在直线l上, 3

第115页

∴p=1,即点A

坐标为(3,1);

而点A在直线y=mx上,

1=3m,解得

在Rt△OBA中,OB=1,

∴∠AOB=30°,

∴∠AOE=60°.

故答案为1

60°;

(2)连接TM,ME,EN,ON,

如图,

∵OE和OP是⊙Q的切线,

∴QE⊥x轴,QT⊥OT,即∠QTA=90°, 而l∥x轴,

∴QE⊥MN,

∴MF=NF,

第116页

又∵当r=2,EF=1,

∴QF=2﹣1=1,

∴四边形QNEM为平行四边形,即QN∥ME,

∴NQ=NE,即△QEN为等边三角形,

∴∠NQE=60°,∠QNF=30°,

在四边形OEQT中,∠QTO=∠QEO=90°,∠TOE=60°,

∴∠TQE=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°,

∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°,

∴T、Q、N三点共线,即TN为直径,

∴∠TMN=90°,

∴TN∥ME,

∴∠MTN=60°=∠TNE,

∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形;

(3)对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax+bx+c,a的值不会变化.理由如下:

连DM,ME,如图,

∵DM为直径,

∴∠DME=90°,

而DM垂直平分MN,

∴Rt△MFD∽Rt△EFM,

∴MF=EF?FD,

设D(h,k),(h>0,k=2r),则过M、D、N三点的抛物线的解析式为:y=a(x﹣h)+k, 又∵M、N的纵坐标都为1,

当y=1,a(x﹣h)+k=1,解得x1=h

2222x2

第117页

∴MF=1 2

2=1?(k﹣1), ∵k>1, ∴1?k=k﹣1, a

2∴a=﹣1. 点评本题考查了抛物线的顶点式:y=a(x﹣h)+k,其中顶点坐标为(h,k);也考查了等

腰梯形的判定和三角形相似的判定与性质以及垂径定理.

51. (2011福建省三明市,22,12分)如图,抛物线y=ax﹣4ax+c(a≠0)经过A(0,﹣1),B(5,0)两点,点P是抛物线上的一个动点,且位于直线AB的下方(不与A,B重合),过点P作直线PQ⊥x轴,交AB于点Q,设点P的横坐标为m.

(1)求a,c的值;

(2)设PQ的长为S,求S与m的函数关系式,写出m的取值范围;

(3)以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系?并写出对应的m取值范围.(不必写过程)

2

考点:二次函数综合题。

分析:(1)利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可;

(2)先求出直线AB的解析式,然后分别求出点P与点Q的坐标,则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标,然后整理即可;

第118页

(3)根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况,又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边,进行讨论列式求解即可.

解答:解:∵抛物线y=ax2﹣4ax+c过A(0,﹣1),B(5,0)

∴??c??1

a?c?0, ?25a?20

?

解得:??a?1

5,

??c??1

故ac的值分别为1

5,﹣1,

抛物线的解析式是y=1

5x2﹣4

5x﹣1;

(2)∵直线AB经过A(0,﹣1),B(5,0),

∴直线AB的解析式为y=1

5x﹣1,

由(1)知抛物线的解析式为:y=124

5x﹣5x﹣1,

∵点P的横坐标为m,点P在抛物线上,点Q在直线AB上,PQ⊥x轴,

∴P(m,1

5m2﹣4

5m﹣1),Q(m,1

5m﹣1),

∴S=PQ=(1

5m﹣1)﹣(1

5m2﹣4

5m﹣1),

即S=﹣1

5m2+m(0<m<5);

(3)抛物线的对称轴l为:x=2,

以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有:

相离、相切、相交三种关系

相离时:|m﹣2|>1

2(﹣1

5m2+m),

解得0<m

<15

?5?2或2m<5;

第119页

相切时:|m﹣2|=112(﹣m+m), 25

解得m

m

112(﹣m+m),

25相交时:|m﹣2|<

m

点评:本题考查了待定系数法,直线与二次函数相交的问题,直线与圆的位置关系,综合性较强,对同学们的能力要求较高,(3)中要注意分点P有在对称轴左边与右边的两种情况,容易漏解而导致出错.

52.(2011甘肃兰州,28,12分)如图所示,在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y?ax?bx?c经过点

A、B和D(4,?22). 3

(1)求抛物线的表达式.

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动。设S=PQ2(cm2).

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

②当S取5时,在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四4

边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.

第120页

考点:二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;平行四边形的性质.

分析:(1)设抛物线的解析式是y=ax+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;(2)①由勾股定理即可求出,②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为三种情况:A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标.(3)A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标.

解答:(1)解:设抛物线的解析式是y=ax+bx+c,

当x=0时,y=﹣2,

∴点A的坐标是(0,﹣2),

∵正方形的边长2,

∴B的坐标(2,﹣2),把A(0,﹣2),B(2,﹣2),D(4,﹣222)代入得: 3

?4a?2b?c??2?c??2?且??2, 4a?2b?c??216a?4b?c????3?

解得a=11,b=﹣,c=﹣2 63

121x?x?2, 63

121x?x?2. 63∴抛物线的解析式为:y?答:抛物线的解析式为:y?

(2)解:①由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t,

∴S=PQ=PB+BQ,

=(2﹣2t)+t,

即S=5t﹣8t+4(0≤t≤1).

答:S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1.

②解:假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.

∵S=5t﹣8t+4(0≤t≤1), 22222222

第121页

∴当S=

解得t=5522时,5t﹣8t+4=,得20t﹣32t+11=0, 44111,t=(不合题意,舍去), 210

3) 2此时点P的坐标为(1,﹣2),Q点的坐标为(2,﹣

若R点存在,分情况讨论:

【A】假设R在BQ的右边,这时QR=PB,RQ∥PB,则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣即R(3,﹣3,2311),代入y?x2?x?2,左右两边相等, 263

3)满足题意; 2∴这时存在R(3,﹣

【B】假设R在BQ的左边,这时PR=QB,PR∥QB,

则:R的横坐标为1,纵坐标为﹣

代入y?33,即(1,﹣), 22121x?x?2,左右两边不相等,R不在抛物线上; 63

511)代入,y?x2?x?2 263【C】假设R在PB的下方,这时PR=QB,PR∥QB,则:R(1,﹣

左右不相等,∴R不在抛物线上.

综上所述,存点一点R(3,﹣3)满足题意. 2

3). 2答:存在,R点的坐标是(3,﹣

(3)解:如图,M′B=M′A,

∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,

?2k?b??2?设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得:?2, 4k?b???3?

解得:k=21021011,b=﹣,∴y=x﹣,抛物线y?x2?x?2的对称轴是x=1, 333363

88把x=1代入得:y?? ∴M的坐标为(1,?); 33

8答:M的坐标为(1,?). 3

第122页

点评:本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式,勾股定理,平行四边形的性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,解此题的关键是综合运用这些知识进行计算.此题综合性强,是一道难度较大的题目.

53. (2011广东省茂名,25,8分)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线对称轴l与x轴相交于点M.

(1)求抛物线的解析式和对称轴;

(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;

(3)连接AC.探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),代入A(0,4)即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对

第123页

称轴;

(2)由已知,可求得P(6,4),由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又知点P的坐标中x>5,所以MP>2,AP>2;因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,则分析求解即可求得答案;

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N(tt﹣4

5224t+4)(0<t<5),再求得直线AC的解析式,即可求得NG的长与△ACN5

的面积,由二次函数最大值的问题即可求得答案.

解答:解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),

4, 5

442244216∴y=(x﹣1)(x﹣5)=x﹣x+4=(x﹣3)﹣, 55555把点A(0,4)代入上式得:a=

∴抛物线的对称轴是:x=3;

(2)由已知,可求得P(6,4),

由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,

又∵点P的坐标中x>5,

∴MP>2,AP>2;

∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,

∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,

在Rt△AOM

中,AM??5

∵抛物线对称轴过点M,

∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,

即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6;

故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立, 即P(6,4);

第124页

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.

设N点的横坐标为t,此时点N(t,4224t﹣t+4)(0<t<5), 55

过点N作NG∥y轴交AC于G;由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:y=﹣4x+4; 5

44x+4,则G(t,﹣t+4), 55

4424420此时:NG=﹣x+4﹣(t2﹣t+4)=﹣t2+t, 55555

114205225∴S△ACN=NG?OC=(﹣t2+t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣)+, 225522

525∴当t=时,△CAN面积的最大值为, 22

5424由t=,得:y=t2﹣t+4=﹣3, 255

5∴N(,﹣3).

2把x=t代入得:y=﹣

点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,勾股定理以及三角形面积的最大值问题.此题综合性很强,难度很大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

54. (2011福建省漳州市,26,14分)如图1,抛物线y=mx﹣11mx+24m (m<0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),抛物线另有一点A在第一象限内,且∠BAC=90°.

(1)填空:OB= 3 ,OC= 8 ;

(2)连接OA,将△OAC沿x轴翻折后得△ODC,当四边形OACD是菱形时,求此时抛物线的解析式;

(3)如图2,设垂直于x轴的直线l:x=n与(2)中所求的抛物线交于点M,与CD交于点N,若直线l 沿x轴方向左右平移,且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时,试探究:2

第125页

当n为何值时,四边形AMCN的面积取得最大值,并求出这个最大值.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)根据二次函数与x轴交点坐标求法,解一元二次方程即可得出;

(2)利用菱形性质得出AD⊥OC,进而得出△ACE∽△BAE,即可得出A点坐标,进而求出二次函数解析式;

(3)首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式,进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可.

解答:解:(1)∵抛物线y=mx﹣11mx+24m (m<0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),

∴抛物线与x轴的交点坐标为:0=mx﹣11mx+24m,

解得:x1=3,x2=8,

∴OB=3,OC=8 (4分);

22

(2)连接OD,交OC于点E,

∵四边形OACD是菱形,

∴AD⊥OC,OE=EC=1×8=4, 2

第126页

∴BE=4﹣3=1,

又∵∠BAC=90°,

∴△ACE∽△BAE, ∴AE

BE?CE

AE,

∴AE2=BE?CE=1×4,

∴AE=2,…(6分)

∴点A的坐标为 (4,2)…(7分)

把点A的坐标 (4,2)代入抛物线y=mx2﹣11mx+24m,得m=﹣1

2

∴抛物线的解析式为y=﹣1

2x2+11

2x﹣12; …(9分)

(3)∵直线x=n与抛物线交于点M,

∴点M的坐标为 (n,﹣1

2n2+11

2n﹣12),

由(2)知,点D的坐标为(4,﹣2),

则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=1

2x﹣4,

∴点N的坐标为 (n,1

2n﹣4),

∴MN=(﹣1

2n2+11

2n﹣12)﹣(1

2n﹣4)=﹣1

2n2+5n﹣8,…(11分)

∴SAMCN=S△AMN+S△CMN=1112四边形2MN?CE=2(﹣2n+5n﹣8)×4 =﹣(n﹣5)2+9 (13分)

∴当n=5时,S四边形AMCN=9. (14分)

第127页

点评:此题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标求法以及菱形性质和四边形面积求法等知识,根据已知得出△ACE∽△BAE是解决问题的关键.

55. (2011广州,24,14分)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)

(1)求c的值;

(2)求a的取值范围;

(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证:S1- S2为常数,并求出该常数。

第128页

第129页

答:这个常数是1.

【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,解二元一次方程组,解一元一次方程,相似三角形的性质和判定,根的判别式,根与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,题型较好,难度适中.

56. (2011北京,23,7分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx+(m﹣3)x﹣3(m

>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.

(1)求点A的坐标;

(2)当∠ABC=45°时,求m的值;

(3)已知一次函数y=kx+b,点P(n,0)是x轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y=mx+(m﹣3)x﹣3(m>0

)的图象于N.若只有当﹣2<n<2时,点M位于点N的上方,求这个一次函数的解析式. 22

考点:二次函数综合题。

专题:代数综合题。

分析:(1)令y=0则求得两根,又由点A在点B左侧且m>0,所以求得点A的坐标;

(2)二次函数的图象与y轴交于点C,即求得点C,由∠ABC=45°,从而求得;

(3)由m值代入求得二次函数式,并能求得交点坐标,则代入一次函数式即求得. 解答:解:(1)∵点A、B是二次函数y=mx+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与x轴的交点,

∴令y=0,即mx+(m﹣3)x﹣3=0 22

第130页

解得x1=﹣1,x2=3 m

又∵点A在点B左侧且m>0,

∴点A的坐标为(﹣1,0)

(2)由(1)可知点B的坐标为(3,0) m

∵二次函数的图象与y轴交于点C

∴点C的坐标为(0,﹣3)

∵∠ABC=45° 3=3,∴m=1 m

2(3)由(2)得,二次函数解析式为y=x﹣2x﹣3

依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2, 由此可得交点坐标为(﹣2,5)和(2,﹣3),将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中,

得???2k?b?5?k??2解得:?,∴一次函数解析式为y=﹣2x+1.

?2k?b??3?b?1

点评:本题考查了二次函数的综合运用,(1)令y=0则求得两根,又由AB位置确定m>0,即求得;(2)二次函数的图象与y轴交于点C,再由45度从而求得.(3)由m值代入求得二次函数式,求得交点坐标,则代入一次函数式即求得.本题比较模糊,按照一般计算,代入即求得.

457. 2011福建龙岩,24,13分)如图,已知抛物线y??x2?bx?c与x轴相交于A、B9

两点,其对称轴为直线x=2,且与x轴交于点D,AO=1.

(1)填空:b= .c= ,点B的坐标为( , ):

第131页

(2)若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E,交x轴于点F.求FC的长;

(3)探究:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使⊙P与x轴、直线BC都相切?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;线段垂直平分线的性质;勾股定理.

分析:(1)根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标,代入解析式求出b、c即可;

430(2)求出C(2,4)求得E的坐标为(3.5,2)和直线BC的表达式为y??x?,设33

直线EF的表达式为y=kx+b,根据EF为BC的中垂线求出k?达式为y?35和b??推出直线EF的表48355x?,令y=0,得x?即可求出答案; 486

(3)作∠OBC的平分线交DC于点P,设P(2,a),则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离(用到点到直线的距离公式)求出a即可.

4解答:(1)解:∵抛物线y??x2?bx?c与x轴相交于A、B两点,其对称轴为直线9

x=2,且与x轴交于点D,AO=1,

∴A(﹣1,0),B(5,0), ?b??8?2

1620??代入解析式得:?,解得:b=,c=, 999?4?0???b?c9?

第132页

故答案为

1620,,5,0. 99

416204(2)解:由(1)求得y??x2?x???(x?2)2?4, 9999

∴C(2,4)

∵E为BC的中点,由中点坐标公式求得E的坐标为(3.5,2),

430直线BC的表达式为y??x?, 33

整理得4x+3y﹣20=0

设直线EF的表达式为y=kx+b,

∵EF为BC的中垂线,∴EF⊥BC,∴k?3, 4

535把E(3.5,2)代入求得b??,∴直线EF的表达式为y?x?, 848

在y?5355F(,0), x?中,令y=0,得x?,∴6486

25525,答:FC的长是. ?666∴FC=FB=5?

(3)解:存在,

作∠OBC的平分线交DC于点P,则P满足条件,

设P(2,a),则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离(用到点到直线的距离公式),

∴a?3a?125,∴5|a|=|3a﹣12|,

∴5a=3a﹣12或5a=﹣3a+12,解得a=﹣6或a=33,∴P(2,﹣6)或P(2,), 22

答:在抛物线的对称轴上存在点P,使⊙P与x轴、直线BC都相切,点P的坐标是(2,﹣

6),(2,3). 2

点评:本题主要考查对解二元一次方程组,二次函数图象上点的坐标特征,用待定系数法求二次函数的解析式,勾股定理,线段的垂直平分线定理等知识点的理解和掌握,熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.

58. (2011广州,24,14分)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),

第133页

且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)

(1)求c的值;

(2)求a的取值范围;

(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证:S1- S2为常数,并求出该常数。

第134页

第135页

质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,题型较好,难度适中.

59.(2011广州,24,14分)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)

(1)求c的值;

(2)求a的取值范围;

(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证:S1- S2为常数,并求出该常数。

第136页

第137页

程组,解一元一次方程,相似三角形的性质和判定,根的判别式,根与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,题型较好,难度适中.

60. (2011?玉林,26,12分)已知抛物线y=ax﹣2ax﹣3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.

(1)求A、B的坐标;

(2)过点D作DH丄y轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线CD的解析式;

(3)在第(2)小题的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴,并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O

的距离?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 2

考点:二次函数综合题。

分析:(1)令y=0求得x的值,从而得出点A、B的坐标;

(2)令x=0,则y=﹣3a,求得点C、D的坐标,设直线CD的解析式为y=kx+b,把C、D两点的坐标代入,求出直线CD的解析式;

(3)设存在,作MQ⊥CD于Q,由Rt△FQM∽Rt△FNE,得

的一元二次方程,求出方程的解,即可得出点M的坐标.

解答:解:(1)由y=0得,ax﹣2ax﹣3a=0,

∵a≠0,

∴x﹣2x﹣3=0,

解得x1=﹣1,x2=3, 22MQFM=,及可得出关于mENEF

第138页

∴点A的坐标(﹣1,0),点B的坐标(3,0);

(2)由y=ax﹣2ax﹣3a,令x=0,得y=﹣3a,

∴C(0,﹣3a),

又∵y=ax﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)﹣4a,

得D(1,﹣4a),

∴DH=1,CH=﹣4a﹣(﹣3a)=﹣a,

∴﹣a=1,

∴a=﹣1,

∴C(0,3),D(1,4),

设直线CD的解析式为y=kx+b,把C、D两点的坐标代入得,?∴直线CD的解析式为y=x+3;

(3)存在.

由(2)得,E(﹣3,0),N(﹣

∴F(222?b?3?b?3,解得?, ?k?1?k?b?43,0) 2399,),EN=, 222

39,m),则FM=﹣m, 22作MQ⊥CD于Q, 设存在满足条件的点M(

22929?9??9?EF=??????,MQ=OM=?m2 24?2??2?

由题意得:Rt△FQM∽Rt△FNE, ∴MQFM=, ENEF

2整理得4m+36m﹣63=0,

63, 4

8163812m+9m+=+ 444

92144(m+)= 24∴m+9m=2第139页

912 22

321∴m1=,m2=﹣, 22

33321∴点M的坐标为M1(,),M2(,﹣). 2222m+

点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识点有一元二次方程的解法.在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在,再讨论结果.

61. (2011?贵,21,)如图所示,二次函数y=﹣x+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.

(1)求m的值;

(2)求点B的坐标;

(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0) 使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.

2

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题;方程思想。

分析:(1)由二次函数y=﹣x+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值;

(2)根据(1)求得二次函数的解析式,然后将y=0代入函数解析式,即可求得点B的坐标;

(3)根据(2)中的函数解析式求得点C的坐标,由二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),可得点D在第一象限,又由S△ABD=S△ABC,可知点D与点C的纵坐标相等,代入函数的解析式即可求得点D的坐标.

解答:解:(1)∵二次函数y=﹣x+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0), 22

第140页

∴﹣9+2×3+m=0,

解得:m=3;

(2)∴二次函数的解析式为:y=﹣x+2x+3,

当y=0时,﹣x+2x+3=0,

解得:x=3或x=﹣1,

∴B(﹣1,0);

(3)过点D作DE⊥AB,

∵当x=0时,y=3,

∴C(3,0),

若S△ABD=S△ABC,

∵D(x,y)(其中x>0,y>0),

则可得OC=DE=3,

∴当y=3时,﹣x+2x+3=3,

解得:x=0或x=2,

∴点D的坐标为(2,3).

点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,考查了一元二次方程的解法以及三角形的面积问题等知识.此题综合性较强,但难度不大,属于中档题,解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系,注意数形结合与方程思想的应用. 222

第141页

62. (2011?铜仁地区25,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一抛物线的顶点坐标是(0,

1),且过点(﹣2,2),平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上,AB与y轴相交于点M.已知点C的坐标是(﹣4,0),点Q(x,y)是抛物线上任意一点.

(1)求此抛物线的解析式及点M的坐标;

(2)在x轴上有一点P(t,0),若PQ∥CM,试用x的代数式表示t;

(3)在抛物线上是否存在点Q,使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍?若存在,求此时点Q的坐标.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)由抛物线的顶点坐标是(0,1),且过点(﹣2,2),故设其解析式为y=ax+1,则利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式,又由四边形OABC是平形四边形,则可求得点A与M的坐标;

(2)作QH⊥x轴,交x轴于点H,即可证得△PQH∽△CMO,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得x与t的关系式;

(3)设△ABQ的边AB上的高为h,可得S△BCM=

﹣h,即可求得点Q的坐标.

解答:解:(1)∵抛物线的顶点坐标是(0,1),且过点(﹣2,2),

故设其解析式为y=ax+1,

则有:2=(﹣2)×a+1, 22211BM?OM=2,则又由S△ABQ=2S△BCM=AB22

第142页

得a=1

4,

∴此抛物线的解析式为:y=1

4x2+1,

∵四边形OABC是平形四边形, ∴AB=OC=4,AB∥OC,

又∵y轴是抛物线的对称轴,

∴点A与B是抛物线上关于y轴的对称点,则MA=MB=2,

即点A的横坐标是2,

则其纵坐标y=12

4×2+1=2,

即点A(2,2),

故点M(0,2).

(2)作QH⊥x轴,交x轴于点H. 则∠QHP=∠MOC=90°,

∵PQ∥CM,

∴∠QPH=∠MCO,

∴△PQH∽△CMO,

∴,PHQH

CO?MO 即x?t

4?y

2,

而y=1

4x2+1, ∴x?t

4?1

2(1

4x2+1),

∴t=﹣12

2x+x﹣2;

第143页

(3)设△ABQ的边AB上的高为h,

∵S△BCM=BM?OM=2,

∴S△ABQ=2S△BCM=AB﹣h=4,

∴h=2,

∴点Q的纵坐标为4,代入y=x+1, 2

得x=±2,

∴存在符合条件的点Q,其坐标为(2,4),(﹣2,4).

点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题.此题综合性很强,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.

63. (2011贵州遵义,27,14分)已知抛物线y?ax?bx?3(a?0)经过A(3,0), B(4,

1)两点,且与y轴交于点C。

(1)求抛物线y?ax?bx?3(a?0)的函数关系式及点C的坐标;

(2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角

边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点22

第144页

的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标。

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1

)根据A(3,0),B(4,1)两点利用待定系数法求二次函数解析式;

(2)从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PAB=90°与当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PBA=90°,分别求出符合要求的答案;

(3)根据当OE∥AB时,△FEO面积最小,得出OM=ME,求出即可.

【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点, ∴ ,

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第146页

第147页

64. (2011黑龙江省黑河, 23,6分)已知:二次函数y=

线x=1,且经过点(2,﹣x2+bx+c,其图象对称轴为直49). 4

(1)求此二次函数的解析式.

(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧),请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E,使△EBC的面积最大,并求出最大面积.

注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣

【考点】二次函数综合题。

【分析】(1)利用待定系数法将直线x=1,且经过点(2,﹣

求二次函数解析式即可;

(2)利用二次函数与x轴相交即y=0,求出即可,再利用E点在x轴下方,且E为顶点坐标时△EBC面积最大,求出即可.

b. 2a9)代入二次函数解析式,4

第148页

????b?【解答】解:(1)由已知条件得??,(2分)

?2??14??329?2?2b?c????44

解得b=﹣39,c=﹣, 24

339x2﹣x﹣;(1分) 424∴此二次函数的解析式为y=

(2)∵x2﹣3

439x﹣=0, 24

∴x1=﹣1,x2=3,

∴B(﹣1,0),C(3,0),

∴BC=4,(1分)

∵E点在x轴下方,且△EBC面积最大,

∴E点是抛物线的顶点,其坐标为(1,﹣3),(1分)

∴△EBC的面积=1×4×3=6.(1分) 2

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及求二次函数顶点坐标进而得出三角形面积等知识,根据题意得出E为顶点坐标时△EBC面积最大是解决问题的关键.

65.(2011黑龙江牡丹江,22,6分)如图,抛物线y=x+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,5)2

第149页

两点,请解答下列问题:

(1)求抛物线的解析式;

(2)若抛物线的顶点为点D,对称轴所在的直线交x轴于点E,连接AD,点F为AD的中点,求出线段EF的长.

2注:抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=﹣,顶点坐标是(﹣,)

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)将A(﹣1,0),B(4,5)两点代入y=x+bx+c中,求b、c的值即可;

(2)根据抛物线解析式可求D、E三点坐标,根据中点坐标公式求F点坐标,再求线段EF的长度.

解答:解:(1)把A(﹣1,0),B(4,5)两点代入y=x+bx+c中,

得?22?1?b?c?0, 16?4b?c?5?

?b??2,

?c??3

2解得?∴y=x﹣2x﹣3;

(2)∵y=x﹣2x﹣3=(x﹣1)﹣4,

∴D(1,﹣4),E(1,0), 22

第150页

∵F点为A(﹣1,0)、D(1,﹣4)的中点,

∴F(0,﹣2),

∴EF=2?225.

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是求出二次函数解析式,根据顶点坐标及对称轴解题.

66. (2011浙江绍兴,24,14分)抛物线y=﹣

对称轴BC与x轴交于点C.

(1)如图1.求点A的坐标及线段OC的长;

(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.

①若含45°角的直角三角板如图2所示放置.其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一 个顶点E在PQ上.求直线BQ的函数解析式;

②若含30.角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.

12(x﹣1)+3与y轴交于点A,顶点为B,4

第151页

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标,求出抛物线的对称轴得到OC的长.

(2)①由△CDE是等腰直角三角形,分别过点D作x轴和PQ的垂线,通过三角形全等得到∠DQO=45°,求出点Q的坐标,然后用待定系数法求出BQ的解析式.

②分点P在对称轴的左右两边讨论,根据相似三角形先求出点Q的坐标,然后代入抛物线求出点P的坐标.

解答:解:(1)把x=0代入抛物线得:y=

∴点A(0,11, 411). 4

抛物线的对称轴为x=1,

∴OC=1.

(2)①如图:

B(1,3)

分别过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于点N,

∵PQ∥BC,∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°,

∴DMQN是矩形.

∵△CDE是等腰直角三角形,

∴DC=DE,∠CDM=∠EDN

∴△CDM≌△EDN

∴DM=DN,

第152页

∴DMQN是正方形,

∴∠BQC=45°

∴CQ=CB=3

∴Q(4,0)

设BQ的解析式为:y=kx+b,

把B(1,3),Q(4,0)代入解析式得:k=﹣1,b=4. 所以直线BQ的解析式为:y=﹣x+4.

②当点P在对称轴右侧,如图:

过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于N,

∵∠CDE=90°,∴∠CDM=∠EDN

∴△CDM∽△EDN

当∠DCE=30°,

又DN=MQ ∴ DCDM?=3 DEDNDM= MQ

BC=,BC=3,CQ= CQ∴

∴Q(1+,0)

第153页

∴P1(1+3,9) 4

当∠DCE=60°,点P2(1+3,﹣15). 4

当点P在对称轴的左边时,由对称性知:

915),P4(1﹣33,﹣) 44

9915综上所述:P1(1+3,),P2(1+3,﹣),P3(1﹣3,),P4(1﹣3,﹣444

15). 4P3(1﹣,

点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)利用抛物线与y轴的交点及对称轴求出点A的坐标和OC的长.(2)①利用三角形全等确定点Q的坐标,求出BQ的解析式.②根据三角形相似求出点Q的坐标,然后确定点P的坐标.

67. (2011浙江嘉兴,24,12分)已知直线y=kx+3(k<0)分别交x轴.y轴于A.B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.

(1)当k=﹣1时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).

①直接写出t=1秒时C.Q两点的坐标;

②若以Q.C.A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值.

(2)当k??

图2),

①求CD的长;

②设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大? 3时,设以C为顶点的抛物线y=(x+m)2+n与直线AB的另一交点为D(如4

第154页

考点:二次函数综合题.

专题:几何综合题.

分析:(1)①由题意得.②由题意得到关于t的坐标.按照两种情形解答,从而得到答案.(2)①以点C为顶点的抛物线,解得关于t的根,又由过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°,又由△DEC∽△AOB从而解得.②先求得三角形COD的面积为定值,又由Rt△PCO∽Rt△OAB,在线段比例中t为

解答:解:(1)①C(1,2),Q(2,0)

②由题意得:P(t,0),C(t,﹣t+3),Q(3﹣t,0)

分两种情况讨论:

情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA,∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3﹣t=t,∴t=1.5

情形二:当△AQC∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3∴△AOB是等腰直角三角形∴△ACQ也是等腰直角三角形∵CP⊥OA∴AQ=2CP,即t=2(﹣t+3)∴t=2∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒.

(2)①由题意得:C(t,?36是,h最大. 253t?3) 4

2∴以C为顶点的抛物线解析式是y=?x?t??

解得x1?t,x2?t?3332t?3,由?x?t??t?3=??3, 4443. 4

过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°

∵DE∥OA∴∠EDC=∠OAB

第155页

∴△DEC∽△AOB∴DECD?AOBA∵AO=4,AB=5,DE=?3?3x2?t??t????4?4,∴CD=CD?

②∵CD?DE?BA15? AO16.153?412115129?,∴S?COD????,∴,CD边上的高=S△COD为定值. 165521658

要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短,因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为12,∠BCO=90° 5

∵∠AOB=90°∴∠COP=90°﹣∠BOC=∠OBA

又∵CP⊥OA∴Rt△PCO∽Rt△OAB OPOCOC?BO3636??,OP?,即t= BOBABA2525

36∴当t为秒时,h的值最大. .

25∴

点评:本题考查了二次函数的综合题,(1)①由题意很容易知,由题意知P(t,0),C(t,﹣t+3),Q(3﹣t,0)代入,分两种情况解答.(2)①以点C为顶点的函数式,设法代入关于t的方程,又由△DEC∽△AOB从而解得.②通过求解可知三角形COD的面积为定值,又由Rt△PCO∽Rt△OAB,在线段比例中t为36是,h最大.从而解答. 25

68. (2011浙江金华,23,10分)(本题10分)

在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边

OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、

C.

(1)当n=1时,如果a=-1,试求b的值;

(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段

CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;

(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时

第156页

经过原点O,

①试求出当n=3时a的值;

②直接写出a关于n的关系式.

考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;正

方形的性质;相似三角形的判定与性质。

专题:计算题;规律型。

分析:(1)根据已知得到抛物线对称轴为直线x=1,代入即可求出b; 2

1,2(2)设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1,由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M(

?1?4a?2b?1?2),把B、M的坐标代入得到方程组?,求出a、b的值即可得到抛物112?a?b?1??42

线解析式;

(3)①当n=3时,OC=1,BC=3,设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,过C作CD⊥OB于点

D,则Rt△OCD∽Rt△CBD,得出,设OD=t,则CD=3t,根据勾股定理OD2+CD2=OC2,求出t,得出C的坐标,把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组,求出a即可;

②根据(1)、(2)①总结得到答案.

【解】(1)由题意可知,抛物线对称轴为直线x=

∴?1,2b1?,得b=1;(2)设所求抛物线解析式为y= 2a2

?1?4a?2b?11?ax2+bx+1;由对称性可知抛物线经过B(2,1)和点M(,2)∴?,解得1122?a?b?1??42

4?a???428?3,∴所求抛物线解析式为y??x?x?1, ?33?b?8

?3?

(3)①当n=3时,OC=1,BC=3,

设所求抛物线解析式为y= ax2+bx,

过点C作CD⊥OB于点D,则Rt⊿OCD∽Rt⊿CBD,∴

设OD=t,

222CD=3t,∵OD2?CD2?OC2,∴(3t)?t?1,

∴t?ODOC1??, CDBC3则?.∴

,又

?0?10a??把B、C

坐标代入抛物线解析式,得,解得,

a?1??1010

②a?? n

69. (2011浙江衢州,24,12分)已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(﹣3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K,如图所示.

(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;

(2)抛物线的对称轴被直线l1,抛物线,直线l2和x轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由;

(3)当直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使△MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标.

第158页

考点:二次函数综合题。

分析:(1)利用△BOC∽△COA,得出C点坐标,再利用待定系数法求出二次函数解析式即可;

(2)可求得直线l1

的解析式为y?l2

的解析式为y?

得出D,E,F点的坐标即可得出,三条线段数量关系;

(3)利用等边三角形的判定方法得出△ABK为正三角形,以及易知△KDC为等腰三角形,进而得出△MCK为等腰三角形E点坐标.

解答:解:(1)解法1:由题意易知:△BOC∽△COA, 33xCOAO?, BOCO

CO1?即,

3CO∴

∴CO?,

∴点C的坐标是(0

由题意,可设抛物线的函数解析式为y?ax2?bx

把A(1,0),B(﹣3,0

)的坐标分别代入y?ax2?bx

??a?b?0得?,

??9a?3b??0

第159页

?a????3 解这个方程组,得??b???

抛物线的函数解析式为y??

22x?x? 33222222解法2:由勾股定理,得(OC+OB)+(OC+OA)=BC+AC=AB,

又∵OB=3,OA=1,AB=4,

∴CO?,

∴点C的坐标是(0

由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x﹣1)(x+3),把C(0

函数解析式得a?,

x?1)(x?3); 3所以,抛物线的函数解析式为y??

(2)解法1:截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF.

理由如下:

可求得直线l1

的解析式为y?l2

的解析式为y?

抛物线的对称轴为直线x=1,

由此可求得点K的坐标为(﹣1

,, 33x?

点D的坐标为(﹣1

,点E的坐标为(﹣1

,点F的坐标为(﹣1,0), ∴KD

=DE

EF

∴KD=DE=EF.

第160页

解法2:截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF,

理由如下:

由题意可知Rt△ABC中,∠ABC=30°,∠CAB=60°,

则可得EF?BF?tan30??, KF?AF?tan60??由顶点D坐标(﹣1

DF?,

∴KD=DE=EF

(3)当点M的坐标分别为(﹣2

,(﹣1

理由如下:

(i)连接BK,交抛物线于点G,易知点G的坐标为(﹣2

又∵点C的坐标为(0

,则GC∥AB,

∵可求得AB=BK=4,且∠ABK=60°,即△ABK为正三角形,

∴△CGK为正三角形

∴当l2与抛物线交于点G,即l2∥AB时,符合题意,此时点M1的坐标为(﹣2

, )时,△MCK为等腰三角形. 3(ii)连接CD,由KD=,CK=CG=2,∠CKD=30°,易知△KDC为等腰三角形,

第161页

∴当l2过抛物线顶点D时,符合题意,此时点M2坐标为(﹣1

,), 3

(iii)当点M在抛物线对称轴右边时,只有点M与点A重合时,满足CM=CK, 但点A、C、K在同一直线上,不能构成三角形,

综上所述,当点M的坐标分别为(﹣2

,(﹣1

△MCK为等腰三角形.

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

70.(2011浙江台州,24,14分)已知抛物线y=a(x﹣m)2+n与y轴交于点A,它的顶点为点B,点A.B关于原点O的对称点分别为C.D.若A.B.C.D中任何三点都不在一直线上,则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形,直线AB为抛物线的伴随直线.

(1)如图1,求抛物线y=(x﹣2)2+1的伴随直线的解析式.

(2)如图2,若抛物线y=a(x﹣m)2+n(m>0)的伴随直线是y=x﹣3,伴随四边形的面积为12,求此抛物线的解析式.

2(3)如图3,若抛物线y=a(x﹣m)+n的伴随直线是y=﹣2x+b(b>0),且伴随四边形ABCD

是矩形.

①用含b的代数式表示m.n的值;

②在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBD是一个等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示),若不存在,请说明理由.

第162页

考点:二次函数综合题.

分析:(1)利用抛物线y=(x﹣2)2+1的与y轴交于点A(0,5),它的顶点为点B(2,1),求出直线解析式即可;

(2)首先得出点A的坐标为(0,﹣3),以及点C的坐标为(0,3),进而求出BE=2,得出顶点B的坐标求出解析式即可;

(3)①由已知可得A坐标为(0,b),C点坐标为(0,﹣b),以及n=﹣2m+b,即点B点的坐标为(m,﹣2m+b),利用勾股定理求出;

②利用①中B点坐标,以及BD的长度即可得出P点的坐标.

解答:解:(1)由抛物线y=a(x﹣m)2+n与y轴交于点A,它的顶点为点B,

∴抛物线y=(x﹣2)2+1的与y轴交于点A(0,5),它的顶点为点B(2,1),

设所求直线解析式为y=kx+b,

∴??1?2k?b?k??2,解得:?,

?5?b?b?5

∴所求直线解析式为y=﹣2x+5;

(2)如图,作BE⊥AC于点E,

由题意得四边形ABCD是平行四边形,点A的坐标为(0,﹣3),点C的坐标为(0,3),可得:AC=6,

第163页

∵平行四边形ABCD的面积为12,∴S△ABC=6即S△ABC=

∴BE=2, 1AC?BE=6, 2

∵m>0,即顶点B在y轴的右侧,且在直线y=x﹣3上,

∴顶点B的坐标为(2,﹣1),

又抛物线经过点A(0,﹣3),

∴m=﹣11,∴y=﹣(x﹣2)2﹣1; 22

(3)①如图,作BF⊥x轴于点F,

由已知可得A坐标为(0,b),C点坐标为(0,﹣b),

∵顶点B(m,n)在直线y=﹣2x+b(b>0)上,

∴n=﹣2m+b,即点B点的坐标为(m,﹣2m+b),

在矩形ABCD中,CO=BO.∴﹣b

,∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2, ∴m=﹣b+b=﹣4b,n=54

53b, 5

43b,﹣b), 55②∵B点坐标为(m,n),即(

∴BO

b,∴BD=b, 当BD=BP,PF=b﹣3242b=b,∴P点的坐标为(b,b). 5555

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理和点的坐标性质,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

71.(2011浙江义乌,16,4分)如图,一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x+3x图2

第164页

象的对称轴交于点B.

(1)写出点B的坐标 ;

(2)已知点P是二次函数y=-x+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,则点P的坐标为 .

2

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)由y=-x+3x可知图象的对称轴为x=-

2x中,可求B点坐标;

(2)设D(0,2a),则直线CD解析式为y=-2x+2a,可知C(a,0),以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,分为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况,分别求P点坐标. 解答:解:(1)∵抛物线y=-x+3x的对称轴为x=-22333=,将x=代入y=-22?(?1)233=, 2?(?1)2

3时,y=-2x=-3, 2

3即B点(,-3); 2∴当x=

(2)设D(0,2a),则直线CD解析式为y=-2x+2a,可知C(a,0),即OC:OD=1:2,

以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,

当∠CDP=90°时,若PD:DC=OC:OD=1:2,则P(

=1:2,则P(2,2), 15,),若DC:PD=OC:OD24

第165页

当∠DCP=90°时,若PD:DC=OC:OD=1:2,则P(

=1:2,则P(1111,),若DC:PD=OC:OD4161326,). 255

1511111326故答案为:(2,2),(,),(,),(,). 24416255

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是利用平行线的解析式之间的关系,相似三角形的判定与性质,分类求解.

72. (2011浙江义乌,24,12分)已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4.设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;

(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN∥x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)利用对称轴公式,A、C两点坐标,列方程组求a、b、c的值即可;

第166页

(2)存在.由(1)可求直线PB解析式为y=2x-12,可知PB∥OD,利用BD=PO,列方程求解,注意排除平行四边形的情形;

(3)由P(4,-4)可知直线OP解析式为y=-x,当P1落在x轴上时,M、N的纵坐标为-2,此时t=2,按照0<t≤2,2<t<4两种情形,分别表示重合部分面积.

解答:解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ???b?a?1

由题意得?2a?4

?c?12,解得?

??b??8,

?4a?2b?c?0?c?12

??

∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12,(2分)

点P的坐标为(4,-4);(3分)

(2)存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形.理由如下:

当y=0时,x2-8x+12=0,

∴x1=2,x2=6,

∴点B的坐标为(6,0),

设直线BP的解析式为y=kx+m

则??6k?m?0,解得?

?4k?m??4?k?2

?m??12

∴直线BP的解析式为y=2x-12

第167页

∴直线OD∥BP(4分)

∵顶点坐标P(4,-4)∴OP=42

设D(x,2x)则BD2=(2x)2+(6-x)2

当BD=OP时,(2x)2+(6-x)2=32,

解得:x1=2

5,x2=2,(6分)

当x2=2时,OD=BP=2,四边形OPBD为平行四边形,舍去,∴当x=2

5时四边形OPBD为等腰梯形,(7分)

∴当D(24

5,5)时,四边形OPBD为等腰梯形;(8分)

(3)①当0<t≤2时,

∵运动速度为每秒2个单位长度,运动时间为t秒,则MP=2t,∴PH=t,MH=t,HN=1

2t,

∴MN=3

2t,

∴S=3

2t?t?12=3

4t2(10分),

②当2<t<4时,P1G=2t-4,P1H=t,

第168页

∵MN∥OB∴△P1EF∽△P1MN, ∴S?p1EF

S?P1MN?P1G????PH??, ?1?2

S?p1EF?2t?4?2

∴???, 32?t?t4

∴S?PEF=3t-12t+12, 12

∴S=32922t-(3t-12t+12)=-t+12t-12, 44

2∴当0<t≤2时,S=t,

当2<t<4时,S=-92t+12t-12.(12分)

4

点评:本题考查了二次函数的综合运用.求出二次函数解析式,研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点,是解题的关键.

73.(2010河南,23,11分)如图,在平面直角坐标系中,直线y?33x?与抛物线42

1y??x2?bx?c交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为﹣8. 4

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点P是直线AB上方 1 的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的

第169页

垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.

①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值; ②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.

考点:二次函数综合题

分析:(1)利用待定系数法求出b,c即可;

(2)①根据△AOM∽△PED,得出DE:PE:PD=3:4:5,再求出PD=yP﹣yD求出二函数最值即可;

②当点G落在y轴上时,由△ACP≌△GOA得PC=AO=2,即?1235x?x?

=2,解得442

x??3, 2

??2?2?所

以P1?,P2?,当点F落在y轴上时,同法可

得????

??7??7????7?7,P3?

P,(舍去). ?4????2222????

解答:解:(1)对于y?3315x?,当y=0,x=2.当x=﹣8时,y=﹣. 422

∴A点坐标为(2,0),B点坐标为??8,?

由抛物线y????15??. 2?12x?bx?c经过A、B两点, 4

第170页

?0??1?2b?c,

得?????15

2??16?8b?c. 解得b??3

4,c?5

2. ∴y??1

4x2?3

4x?5

2.

(2)①设直线y?3

4x?3

2与y轴交于点M,

当x=0时,y=?33

2.∴OM=2.

∵点A的坐标为(2,0),∴OA=2.∴AM

?5

2.

∵OM:OA:AM=3:4:5.

由题意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM∽△PED. ∴DE:PE:PD=3:4:5.

∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点,

∴PD=yP﹣yD =???1

?4x2?35??33?

4x?2?????4x?2?? =?1

4x2?3

2x?4. ∴l?12?

5???1

4x2?3

2x?4??? =?3

5x2?1848

5x?5. ∴l??32

5?x?3??15.

∴x=﹣3时,l最大=15.

②满足题意的点P

有三个,分别是P12?

???,P2?

?2???,

?

P3?.

?

第171页

【解法提示】

当点G落在y轴上时,由△ACP≌△GOA得PC?AO?2,即13?x2?x?44??5?

2,解得x?

2?2?,所以P1?,P2?.当2????

P,(舍4????点F落在y

轴上时,同法可得P3去).

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定以及待定系数法求二次函数解析式,利用数形结合进行分析以及灵活应用相似三角形的判定是解决问题的关键.

74. (2011湖北十堰,24,10分)如图,线段AD=5,⊙A的半径为1,C为⊙A上一动点,

CD的垂直平分线分别交CD于点E,B,连接BC,AC,构成△ABC,设AB=x.

(1)求x的取值范围;

(2)若△ABC为直角三角形,则x= ;

(3)设△ABC的面积的平方为W,求W的最大值。

考点:二次函数的最值;三角形三边关系;线段垂直平分线的性质;勾股定理。

分析:(1)由AD=5,AB=x,BE垂直平分CD,可得BC=BD=5﹣x,又由,⊙A的半径为1,

根据三角形三边关系,即可求得x的取值范围;

(2)分别从若AB是斜边与BC是斜边去分析,利用勾股定理的知识,借助于方程即可求得x的值;

(3)在△ABC中,作CF⊥AB于F,设CF=h,AF=m,则W=(

22222221222xh)=xh,由2AC﹣AF=BC﹣BF,则1﹣m=(5﹣x)﹣(x﹣m),分别从2.4<x<3时与2

第172页

<x≤2.4去分析,即可求得答案.

解答:解:(1)∵AD=5,AB=x,BE垂直平分CD,

∴BC=BD=5﹣x,在△ABC中,AC=1,

∴(5﹣x)﹣1<x<1+(5﹣x),

解得:2<x<3;

(2)∵△ABC为直角三角形,

若AB是斜边,则AB=AC+BC,

即x=(5﹣x)+1,

∴x=2.6;

若BC是斜边,则BC2=AB2+AC2,

即(5﹣x)=x+1,

∴x=2.4.

故答案为:2.4或2.6.

2222222

(3)在△ABC中,作CF⊥AB于F,设CF=h,AF=m,则W=(

2222212122xh)=xh, 2422①如图,当2.4<x<3时,AC﹣AF=BC﹣BF,则1﹣m=(5﹣x)﹣(x﹣m),

得:m=

22, 1222xh=﹣6x+30x﹣36, 4∴h=1﹣m=

即W=﹣6(x﹣523)+, 22,∴W=

当x=2.5时(满足2.4<x<3),W取最大值1.5;

②当2<x≤2.4时,同理可得:W=-6x+30x-36=-6(x﹣2523)+, 22

第173页

当x=2.4时,W取最大值1.44<1.5,

综合①②得,W的最大值为1.5.

点评:此题考查了三角形三边关系,线段垂直平分线的性质,直角三角形的性质以及二次函

数的最值问题等知识.此题综合性很强,难度适中,解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用.

75. (2011湖北十堰,25,12分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)

和点B,与y轴交于点C(0,-3)。

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图(1),已知点H(0,-1).问在抛物线上是否存在点G(点G在y轴的左侧),使

得S△GHC=S△GHA?若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由;

(3)如图(2),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(-2,0),F是OC的中点,连接

DF,P为线段BD上的一点,若∠EPF=∠BDF,求线段PE的长

.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)由抛物线y=x+bx+c与x 轴交于点A(1,0)和点 B,与y轴交丁点C (0,

﹣3),利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;

(2)分别从GH∥AC与GH与AC不平行去分析,注意先求得直线GH的解析式,根

据交点问题即可求得答案,小心不要漏解;

(3)利用待定系数法求得直线DF的解析式,即可证得△PBE∽△FDP,由相似三角形

的对应边成比例,即可求得答案.

解答:解:(1)由题意得:?

22?1?b?c?0,解得:b=2.c=-3, ?c??3∴抛物线的解析式为:y=x+2x﹣3;

第174页

(2)解法一:

假设在抛物线上存在点G,设G(m,n),显然,当n=﹣3时,△AGH不存在. ①当n>﹣3时,

可得S△GHA=

﹣++,S△GHC=﹣m,

∵S△GHC=S△GHA,

∴m+n+1=0,

?n?m2?2m?33?1?3?1?由?,解得m=?,n=或m=?,n= 2222?m?n?1?0

∵点G在y轴的左侧,

∴G(?3?1?,); 22

②当﹣4≤n<﹣3时,

可得S△GHA=

﹣﹣﹣,S△GHC=﹣m,

∵S△GHC=S△GHA,

∴3m﹣n﹣1=0,

第175页

?n?m2?2m?3由?,解得:m=-1,n=-4或m=2,n=5,

?3m?n?1?0

∵点G在y轴的左侧,

∴G(﹣1,﹣4).

∴存在点G(?解法二:

①如图①,当GH∥AC时,点A,点C到GH的距离相等,

∴S△GHC=S△GHA,

可得AC的解析式为y=3x﹣3,

∵GH∥AC,得GH的解析式为y=3x﹣1,

∴G(﹣1,﹣4);

②如图②,当GH与AC不平行时,

∵点A,C到直线GH的距离相等,∴直线GH过线段AC的中点M(13,-).∴直线223?1?,)或G(-1,-4). 22

GH的解析式为y=﹣x﹣1,∴G(﹣,),

∴存在点G(﹣,)或G(﹣1,﹣4).

(3)如图③,∵E(﹣2,0),∴D的横坐标为﹣2,

∵点D在抛物线上,∴D(﹣2,﹣3),

∵F是OC中点,∴F(0,﹣

则它与x轴交于点333),∴直线DF的解析式为:y=x﹣, 242Q(2,0),则QB=QD,得∠QBD=∠QDB,

第176页

∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°,

∵∠EPF=∠PDF,∴∠BPE=∠DFP,∴△PBE∽△FDP, ∴,得:PB?DP=5, 2

∵PB+DP=BD=,∴PB=

即P是BD的中点,

连接DE,

∴在Rt△DBE中,PE=, 21BD=.

22

点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,直线与二次函数的交点问题以及三角形

面积问题的求解等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用

75. (2011湖南怀化,24,10分)在矩形AOBC中,OB=6,OA=4,分別以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点(不与B.C重合),过F点的反比例函数y=k(k>0)的图象与AC边交于点E. x

(1)求证:AE?AO=BF?BO;

(2)若点E的坐标为(2.4),求经过O.E.F三点的抛物线的解析式;

(3)是否存在这样的点F,使得将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上?若存在,求出此时的OF的长:若不存在,请说明理由.

第177页

考点:相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;矩形的性质;翻折变换(折叠问题)。

分析:(1)根据反比例函数的性质得出,xy=k,即可得出AE?AO=BF?BO;

(2)利用E点坐标首先求出BF=4,再利用待定系数法求二次函数解析式即可; 3

(3)设折叠之后C点在OB上的对称点为C',连接C'E.C'F,过E作EG垂直于OB于点G,则根据折叠性质.相似三角形.勾股定理得出即可.

解答:证明:(1)∵E,F点都在反比例函数图象上,

∴根据反比例函数的性质得出,xy=k,

∴AE?AO=BF?BO;

(2)∵点E的坐标为(2,4),

∴AE?AO=BF?BO=8,

∵BO=6,∴BF=

∴F(6,4, 34), 3

??c?0?分别代入二次函数解析式得:?4a?2b?c?4, ?4?36a?6b?c?3?

1?a???3?8?解得:?b?, 3??c?0??

第178页

∴y=﹣128x+x; 33

(3)如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C',连接C'E.C'F,过E作EG垂直于OB于点G,则根据折叠性质.相似三角形.勾股定理有以下几个关系可以考虑:

设BC'=a,BF=b,则C'F=CF=4﹣b.

∴点的坐标F(6,b),E(1.5b,4).

EC'=EC=6﹣1.5b,

∴在Rt△C'BF中,a+b=(4﹣b)① 222

∵Rt△EGC'与∽Rt△C'BF,

∴(6﹣1.5b):(4﹣b)=4:a=(6﹣1.5b﹣a):b ②,

810,b=, 39

10∴F点的坐标为(6,). 9解得:a=

∴FO

点评:此题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及利用相似三角形的性质是这部分考查的重点也是难点.

76. (2011?衡阳)已知抛物线y?127x?mx?2m?. 22

(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.

(2)如图,当抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x﹣1与抛物线

第179页

交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;

②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)从函数的判别式出发,判别式总大于等于3,而证得;

(2)①由直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点,求得点A,代入抛物线解析式得m,由直线AD平行直线PC,求得点P坐标;

②求得MN的坐标,从MN与CD的位置关系解得.

解答:(1)抛物线y?12717x?mx?2m?的△=(?m)2?4??(2m?)=(m-2)2+3. 2222

∵无论m为何实数,(m-2)2≥0,

∴(m-2)2+3>0

∴△>0

∴无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.

(2)①抛物线上存在点P使得四边形ACPD是正方形.

∵抛物线y?

∴m=3.

∴抛物线的解析式为:y?127x?mx?2m?的对称轴为直线x=3, 22125x?3x?,顶点C(3,-2) 22

设抛物线与x轴交于A、E两点(如图①)

∴A(1,0) E(5,0)

第180页

设对称轴x=3与x轴交于点Q,则Q(3,0)

∴AQ=EQ=2

∵对称轴x=3与直线y?x?1交点于点D

∴D(3,2)

∴DQ=2

∵C(3,-2)

∴CQ=2,

∴AQ=EQ= DQ= CQ=2

∵AE⊥CD

∴四边形ACED为正方形

∴当点P与点E重合时,四边形ACPD是正方形.

故抛物线上存在点P,使得四边形ACPD是正方形,P的坐标为(5,0)

②∵以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形

∴MN=CD=4,

设M(x,x-1),则N(x,x+3)或N(x,x-5).

∵N点在抛物线上 ∴x?3?12515x?3x?或x?5?x2?3x?

2222

解得:x?4?x=5或x=3.

因当x=3时,M、N分别与D、C两点重合,故当CD通过平移,使M

(4

,3N

(4

,7),或M

(4

,3?N

(4

,7)或M(5,4) N(5,8)时,能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

∴把直线CD

向右移动(1个单位(如图②)或向右平移2个单位(如图③),或向左平

移1)个单位(如图④)后,以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

第181页

图④

点评:△决定抛物线与x轴的交点个数:△>0?抛物线与x轴有两个交点;△=0?抛物线与x轴有一个交点;

△<0?抛物线与x轴没有交点.第(1)问便可根据△的值说明无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;第(2)问体现数形结合的思想,研究时要深刻理解函数解析式与图象之间的关系,根据点的意义求出点的坐标,从而说明平移方向,解法上要与平行四边形的性质结合,此题设置背景独特,构思巧妙,在解决第(2)中的②题,应注意分情况讨论.

第182页

第183页

78. (2011邵阳,24,12分)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(﹣,0),

点C(0,3),点B是x轴上一点(位于点A的右侧),以AB为直径的圆恰好经过点C.

(1)求∠ACB的度数;

(2)已知抛物线y=ax+bx+3经过A、B两点,求抛物线的解析式;

(3)线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角形.若存在,则求出所有符合条件2

第184页

的点D的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

专题:综合题.

分析:(1)根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB的度数.

(2)利用三角形相似求出点B的坐标,然后把A,B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式.

(3)分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标.

解答:解:(1)∵以AB为直径的圆恰好经过 点C,∴∠ACB=90°.

999,0),点C(0,3),OA?,∴OA?,444

91272x?3.

OC=3,∴3?OB,∴OB=4,∴B(4,0)把 A、B、C三点坐标代入得y??x? 4312(2)∵△AOC∽△ABC,∴OC=AO?OB,∵A(﹣?2

(3)①OD=DB,如图: D在OB 的中垂线上,过D作DH⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中

第185页

131OC,OH?OB,∴D(2,).②BD=BO,如图:过D作DG⊥OB,垂足222

4是G,∴OG:OB=CD:CB,DG:OC=1:5,∴OG:4=1:5,DG:3=1:5,∴OG=,5

343DG=,∴D(,).

555点.DH=

点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)根据圆周角的性质求出角的度数.(2)用待定系数法求出抛物线的解析式.(3)根据等腰三角形的性质确定点D的坐标. 79. 九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践--应用--探究的过程:

(1)实践:他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量,测得一隧道的路面宽为10m,隧道顶部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图,建立了如图②所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式.

(2)应用:按规定机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了确保安全,问该隧道能否让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?

(3)探究:该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述拋物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:

I.如图③,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在拋物线上,顶点A、B落在x轴 上.设矩形ABCD的周长为l求l的最大值.

II?如图④,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P 为

第186页

直线0M上一动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q.问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)利用顶点式求出二次函数解析式即可;

(2)根据已知得出当x=2时,正好是汽车宽度,求出即可;

(3)I.首先表示出矩形周长,再利用二次函数最值公式求出;

II?利用等腰直角三角形的性质得出QN=AB=AO,以及P在y=x的图象上,即可得出P点的坐标.

【解答】解:(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标为(5,6.25),且图象过(10,0)点, 代入顶点式得:

y=a(x-5) 2+6.25,

∴0=a(10-5) 2+6.25,

解得:a=-0.25,

第187页

第188页

【点评】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质,根据函数图象获取正确点的坐标以及利用y=x图象上点的性质是解决问题的关键.

80.(2011?湖南张家界,25,12)如图,抛物线y=ax+bx经过点A(﹣4,0)、B(﹣2,2),连接OB、AB,

(1)求该抛物线的解析式.

(2)求证:△OAB是等腰直角三角形.

(3)将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°,得到△OA′B′,写出A′B′的中点P的坐标,试判断点P是否在此抛物线上.

(4)在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形ABOM成直角梯形,若存在,请求出点M

坐标及该直角梯形的面积,若不存在,请说明理由. 2

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)将A(﹣4,0)、B(﹣2,2)代入抛物线解析式y=ax+bx,列方程组求a、b的值即可;

(2)根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标,判断三角形的形状;

(3)根据△OAB的形状,旋转方向,旋转角,画出图形,可求A′、B′的坐标,根据中点坐标公式求P的坐标,代入抛物线解析式进行判断;

(4)存在.过点O,作OM∥AB交抛物线于点M,根据△OAB为等腰直角三角形,可求直线OM的解析式,与抛物线解析式联立,可求M点坐标,同理,过点A,作AM′∥OB交抛物线于点M′,联立方程组可求M′的坐标,由图形的特殊性可知,两种情况下,梯形面积相等,根据梯形面积公式求解. 2

第189页

解答:解:(1)由A(﹣4,0)、B(﹣2,2)在抛物线y=ax2+bx图象上, 得:???0?a(?4)2?b(?4)

?2?a(?2)?b(?2) (2分)

?2 解之得:a??1

2 b??2

∴该函数解析式为:y??1

2x2?2x.(4分)

(2)过点B作BC垂直于X轴,垂足是点C.(6分)

∵y=y??1

2x2?2x=?1

2(x+2)2+2,

∴线段CO、CA、CB的长度均为2,

∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形,

∴AB=OB

且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°

∴△OAB是等腰直角三角形(8分)

(3)如图,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°,得到△OA′B′ 其中点B′正好落在y轴上且B′A′∥x轴.

又∵OB′和A′B′的长度为22,

A′B′中点P的坐标为(2,?2),显然不满足抛物线方程,

∴点P不在此抛物线上(10分)

(4)存在(11分)

第190页

过点O,作OM∥AB交抛物线于点M

易求出直线OM的解析式为:y=x ?y?x?联立抛物线解析式得:? 12y??x?2x?2?

解之得点M(﹣6,﹣6),

显然,点M(﹣6,﹣6)关于对称轴x=﹣2的对称点M′(2,﹣6)也满足要求, 故满足条件的点M共有两个,坐标分别为(﹣6,﹣6)和(2,﹣6)

∴sABOM11?S?ABO?s?AOM=×4×2+×4×6=16 (12分) 22

(注:此题方法较多,只要合理均可给分)

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据题意求抛物线解析式,根据解析式确定图形的特殊性.

81.(2011?株洲,24,)孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:

(1)若测得OA=OB=22(如图1),求a的值;

(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标 ﹣4 ;

(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标. 2

第191页

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题;压轴题。

分析:(1)先求出B点坐标,代入抛物线y=ax(a<0)得a的值;

(2)过点A作AE⊥x轴于点E,可证△AEO∽△OFB,得出AE=2OE,可得方程点A的横坐标.

(3)设A(﹣m,-2121(m>0),B(n,-n2)(n>0),易知△AEO∽△OFB,根据相m)22

似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点(0,﹣2).

解答:解:(1)设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点, ∵OA=OB=22,∠AOB=90°,∴AC=OC=BC=2,∴B(2,﹣2)(2分)

将B(2,﹣2)代入抛物线y=ax(a<0)得,a=-

(2)解法一:过点A作AE⊥x轴于点E,

∵点B的横坐标为1,∴B(1,-

∴BF=21.(3分) 21),(4分) 21.又∵∠AOB=90°,易知∠AOE=∠OBF, 2

又∠AEO=∠OFB=90°,∴△AEO∽△OFB, ∴AEOF1???2,∴AE=2OE(5分) OEBF1

2

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设点A(﹣m,-121(m>0),则OE=m,AE=m2, m)22

∴m2=2m,∴m=4,即点A的横坐标为﹣4.(6分)

解法二:过点A作AE⊥x轴于点E,

∵点B的横坐标为1,∴B(1,-

∴tan∠OBF=121),(4分) 2OF1??2, BF1

2

∵∠AOB=90°,易知∠AOE=∠OBF, ∴AEOBF=2,∴AE=2OE(5分) ?tan∠AOE=tan∠OE

12m, 2设点A(﹣m,错误!未找到引用源。)(m>0),则OE=m,AE=

∴,12m=2m 2

1),(4分) 2∴m=4,即点A的横坐标为﹣4.(6分) 解法三:过点A作AE⊥x轴于点E,∵点B的横坐标为1,∴B(1,-

设A(﹣m,错误!未找到引用源。)(m>0),则OB2=12+(125)=, 24

115 OA2=m2+m4, AB2=(1+m)2+(-+错误!未找到引用源。)2=, 424

11222∵∠AOB=90°∴AB=OA+OB,∴(1+m)2+(-+错误!未找到引用源。)2=(1+m)2+(-+错误!22

未找到引用源。)2,

解得:m=4,即点A的横坐标为﹣4.(6分)

(3)解法一:设A(﹣m,错误!未找到引用源。))(m>0),B(n,错误!未找到引用源。)(n>0),

12??mk?b??m??2设直线AB的解析式为:y=kx+b,则?,(7分)

?nk?b??1n2?2?

(1)×n+(2)×m得,

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(m+n)b=-

∴ b=-12(mn+mn2) 21mn, (8分) 2

0.5m2mAEOE?又易知△AEO∽△OFB,∴,∴,∴mn=4(9分)?2n0.5nOFBF

∴.B=-1×4=-2. 2

由此可知不论k为何值,直线AB恒过点(0,﹣2)(10分)

(说明:写出定点C的坐标就给2分)

解法二:设A(﹣m,)(m>0),B(n,)(n>0),

直线AB与y轴的交点为C,根据S△AOB=S梯形ABFE﹣S△AOE﹣S△B0F=S△AOC+S△BOC,

得, 化简,得.(8分)

又易知△AEO∽△OFB,∴,∴,∴mn=4(9分)

∴OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C(0,﹣2)(10分)

说明:mn的值也可以通过以下方法求得.

由前可知

由OA+OB=AB222,得:

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化简,得mn=4.

本答案仅供参考,若有其他解法,请参照本评分标准评分.

点评:本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质,第(3)问求出mn=4是解题的关键,综合性较强,有一定的难度. 82.(2011湖南湘潭市,25,10分)如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过

A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)由直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,即可求得点A与B的坐标,又由过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0),利用两点式法即可求得抛物线的解析式;

(2)分别从AB=BQ,AQ=BQ,AB=AQ三方面去分析,注意抓住线段的求解方法,借助于方程求解即可求得答案.

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84.(2011湖南益阳,20,10分)如图,已知抛物线经过定点A(1,0),它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点,P点关于x轴的对称点为P′,过P′作x轴的平行线交抛物线于B.D两点(B点在y轴右侧),直线BA交y轴于C点.按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值:

(1)当P点坐标为(0,1)时,写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值;

(2)若P点坐标为(0,m)时(m为任意正实数),线段CA与CB的比值是否与(1)所求的比值相同?请说明理由.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)根据抛物线经过A(1,0),设抛物线的解析式为y=ax+1,首先得出二次函数解析式,进而得出P'点的坐标,从而得出B点坐标,再利用△CP′B∽△COA,得出线段CA与CB的比值;

(2)根据设抛物线的解析式为y=ax+m(a≠0),得出y=﹣mx+m,首先表示出B点的坐标,进而利用△CP′B∽△COA,得出线段CA与CB的比值.

解答:解:(1)设抛物线的解析式为y=ax+1(a≠0),

∵抛物线经过A(1,0),

∴0=a+1,a=﹣1,

∴y=﹣x+1.

∵P′.P关于x轴对称,且P(0,1),

∴P′点的坐标为(0,﹣1),

∵P′B∥x轴,

∴B点的纵坐标为﹣1, 22222

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由﹣1=﹣x2+1,

解得x

∴B

1),

∴P'B

∵OA∥P'B,

∴△CP'B∽△COA, ∴CA

CB=OAP'B

(2)设抛物线的解析式为y=ax2+m(a≠0), ∵抛物线经过A(0,1),

∴0=a+m,a=﹣m,

∴y=﹣mx2+m.

∵P′B∥x轴,

∴B点的纵坐标为﹣m,当y=﹣m时,﹣mx2+m=﹣m,∴m(x2﹣2)=0,

∵m>0,

∴x2﹣2=0,

∴x

∴ B

m),

∴P'B

=

同(1)得CAOACB=P'B

∴m为任意正实数时,CA

CB

=2.

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点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质,得出根据P′B

,再利用△CP′B∽△COA,得出是解决问题的关键.

85.(2011吉林长春,23,7分)如图,平面直角坐标系中,抛物线:y=12x﹣2x+3与y轴2

交于点A,P为拋物线上一点,且与点A不重合.连接AP,以AO.AP为邻边作平行四边形OAPQ,PQ所在直线与x轴交于点B.设点P的横坐标为m.

(1)求点Q落在x轴上时m的值.

(2)若点Q在x轴下方,则m为何值时,线段QB的长取最大值,并求出这个最大值.

b4ac-b2

【参考公式:二次函数兴y=ax+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(-)】

2a4a2

考点:二次函数综合题.

分析:(1)可以令x=0可得点A坐标为(0,3),当Q落在x轴上时,PQ=OA=3,即可得出y=3时m的值;

(2)根据当PB取最小值时,QB最大,当x=2时,二次函数y=

即可得出答案.

解答:解:(1)令x=0可得点A坐标为(0,3),当Q落在x轴上时,PQ=OA=3,在y=﹣2x+3中,令y=3可求得点P横坐标m=4,

(2)∵QB=OA﹣PB=3﹣PB,∴当PB取最小值时,QB最大,当x=2时,二次函数y=﹣2x+3有最小值y=1,∴当m=2时,QB的最大值为1.

点评:此题主要考查了二次函数的最值问题以及点的坐标性质,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型,特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点,同学们应重点掌握.

86.(2011?江西,24,10)已知:抛物线y=a(x﹣2)+b(ab<0)的顶点为A,与x轴的212x﹣2x+3有最小值212x212x2

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交点为B,C(点B在点C的左侧).

(1)直接写出抛物线对称轴方程;

(2)若抛物线经过原点,且△ABC为直角三角形,求a,b的值;

(3)若D为抛物线对称轴上一点,则以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形?若能,请写出a,b满足的关系式;若不能,说明理由.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)根据y=a(x﹣2)+b直接得出答案;

(2)根据直线x=2与x轴交于点E,则E(2,0),以及抛物线经过原点,得出B(0,0),C(4,0),进而求出AE=BE=EC,当抛物线的顶点为A(2,﹣2)时,以及当抛物线的顶点为A(2,2)时求出即可;

(3)根据B、C关于点E中心对称,当A,D也关于点E对称,且BE=AE时,四边形ABDC是正方形,即可求出.

解答:解:(1)抛物线对称轴方程:x=2.(2分)

(2)设直线x=2与x轴交于点E,则E(2,0).

∵抛物线经过原点,

∴B(0,0),C(4,0).(3分)

∵△ABC为直角三角形,根据抛物线的对称性可知AB=AC,

∴AE=BE=EC,

∴A(2,﹣2)或(2,2).

当抛物线的顶点为A(2,﹣2)时,y=a(x﹣2)﹣2,

把(0,0)代入,得:a?

此时,b=﹣2.(5分)

当抛物线的顶点为A(2,2)时,y=a(x﹣2)+2,

把(0,0)代入,得:a?? ,

此时,b=2. ∴a?11,b=﹣2或a??,b=2.(7分) 22122221, 2

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(3)依题意,B、C关于点E中心对称,当A,D也关于点E对称,且BE=AE时,四边形ABDC是正方形.

∵A(0,b),

∴AE=|b|,

∴B(2﹣|b|,0),

把B(2﹣|b|,0)代入y=a(x﹣2)+b,得ab+b=0,

∵b≠0,

∴ab=﹣1.(10分)

22

点评:此题主要考查了二次函数的顶点式的应用以及二次函数的对称性,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

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88.(2011辽宁沈阳,25,?)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)求直线BC的函数表达式;

(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.

①当线段PQ=3AB时,求tan∠CED的值; 4②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.

温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.

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考点:二次函数综合题。

分析:已知了C点的坐标,即知道了OC的长,可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长,即可得出B点的坐标.已知了△AOC和△BOC的面积比,由于两三角形的高相等,因此面积比就是AO与OB的比.由此可求出OA的长,也就求出了A点的坐标,然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式.

解答:解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴?

∵抛物线与y轴交于点C(0,-3),

∴c=-3,

∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3;

(2)∵抛物线与x轴交于A、B两点,

当y=0时,x2-2x-3=0.

∴x1=-1,x2=3. bbb=-2 ???1,∴2a2?1

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∵A点在B点左侧,

∴A(-1,0),B(3,0)

设过点B(3,0)、C(0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m,

则??0?3k?m?k?1,∴? ∴直线BC的函数表达式为y=x-3; ?3?mm??3??

(3)①∵AB=4,PO=

∴PO=3

∵PO⊥y轴 3AB, 4

∴PO∥x轴,则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为?

∴F(0,?775),∴FC=3-OF=3?= 444

5 2117,∴P(?,?) 224∵PO垂直平分CE于点F,∴CE=2FC=

∵点D在直线BC上,∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2)

过点D作DG⊥CE于点G,∴DG=1,CG=1,

∴GE=CE-CG=53-1=. 22

在Rt△EGD中,tan∠CED=GD2?. ED3

5,). 22②P1(1-2,-2),P2(1-

点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.

89.(2011辽宁本溪,26,14分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线过原点O,点A(10,0)和点B(2,2),在线段OA上,点P从点O向点A运动,同时点Q从点A向点O运动,运动过程中保持AQ=2OP,当P、Q重合时同时停止运动,过点Q作X轴的垂线,交直线AB于点M,延长QM到点D,使MD=MQ,以QD为对角线作正方形QCDE(正方形QCDE岁点Q运动).

(1)求这条抛物线的函数表达式;

(2)设正方形QCDE的面积为S,P点坐标(M,0)求S与M之间的函数关系式;

(3)过点P作X轴的垂线,交抛物线于点N,延长PN到点G,使NG=PN,以PG为对角

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线作正方形PFGH(正方形PFGH随点P运动),当点P运动到点(2,0)时,如图2,正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上.

①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少?

②若点P继续向点A运动,还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况,请直接写出每种情况下点P的坐标,不必说明理由.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)抛物线与X轴交于O、A两点,设抛物线的交点式,将B点坐标代入,可求抛物线解析式;

(2)根据A(10,0),B(2,2)求直线AB的解析式,由AQ=2OP=2M,得到OQ=OA﹣AQ=10﹣2M,代入直线AB的解析式,可求M点纵坐标,得出QD的表达式,根据S=求解;

(3)①将X=2代入抛物线解析式得Y=2,可知N(2,2),G(2,4),当GF和EQ落在同一条直线上时,△FGQ为等腰直角三角形,则PQ=PG=4,OQ=OP+PQ=6,代入直线AB解析式得M(6,1),即QM=1,由旋转法可知,每一个阴影部分面积等所在正方形面积的一半,由此可求两个阴影部分面积和;

②分为PF、DE,PF、CQ,PH、CD,三种情况,求出相应的P点坐标.

解答:解:(1)∵抛物线过O(0,0),A(10,0),

∴设抛物线解析式为y?a(x?0)(x?10),

将B(2,2)代入,得a?2?(2?10)?2,解得a??,

∴抛物线解析式为y??12QD218115x(x?10)??x2?x; 884

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1?k????10k?n?0?4(2)设AB解析式为y?kx?n,将A(10,0),B(2,2)代入,得?,解得?, 52k?n?2??n???2

15x?,∵P(m,0),∴OP= m,AQ=2 m,OQ=10﹣2 m, 42

151∴当x=10-2m时,QM=?(10?2m)??m,∴QD=m, 422

1122∵四边形QCDE是正方形,∴S?QD?m; 22∴y??

(3)①由P(2,0),根据抛物线解析式可知N(2,2),

由正方形的性质得G(2,4),即PG=4,

又当GF和EQ落在同一条直线上时,△FGQ为等腰直角三角形,

∴PQ=PG=4,OQ=OP+PQ=6,代入直线AB解析式得M(6,1),即QM=1,QD=2,

111?(PG2?QB2)?5, 222

10P(, 0). ②P,,(2.5,

0)P(9 0)3123∴阴影部分面积和=

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据正方形对角线的性质及其与X轴垂直解题. 90.如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,2)、(-1,0)、(4,0).P

是线段OC上的一动点(点P与点O、C不重合),过点P的直线x=t与AC相交于点Q.设四边形ABPQ关于直线x=t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S.

(1)点B关于直线x=t的对称点B′的坐标为

(2t+1,0)

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(2

)求S与t的函数关系式.

考点:相似三角形的判定与性质;坐标与图形变化-对称;解直角三角形.

专题:计算题.

分析:(1)根据点B和B′关于x=t对称,则设B′横坐标为a,根据B、B′的横坐标之和的一半为对称轴即可解答;

(2)根据2≤t≤4时和0≤t≤2时图形的不同,分两种情况得出重合图形的面积表达式,即为S与t的表达式.

解答:解:(1)设B′横坐标为a,

则 =t,

解得a=2t+1.

故B′点坐标为(2t+1,0).

(2)①如图,当2≤t≤4时,重合部分为三角形,

∵△CPQ∽△COA,

则PQ= , , .

= (2≤t≤4), 于是S△QPC= (4-t)

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②如图,0<t≤2

时,重合部分为四边形,

∵A点坐标为(

0,2

),

∴A′点坐标为(2t,2),

又∵B′点坐标为(2t+1,0),

设直线A′B′解析式为y=kx+b,则将A′(2t,2),

和B′(2t+1,0)分别代入解析式得,

解得k=-1,b=2+2t.

解析式为y=-x+(2+2t),

设直线AC解析式为y=mx+n,将A(0,2),C(4,0)分别代入解析式得, 解得4m+2=0,m=- .

解析式为y=- x+2. , ,

将y=- x+2和y=-x+(2+2t)组成方程组得

解得 , ,

D点坐标为(4t,-2t+2).

由于B′坐标为(2t+1,0),C点坐标为(4,0),

故B′C=4-(2t+1)=3-2t,

S△QPC= (4-t) = ,

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S四边形QPB′D=S△QPC-S△DB′C= - (3-2t)(-2t+2)=- t2+3t+1(0<t≤2).

点评:此题以动点问题的形式考查了相似三角形的性质及待定系数法求函数解析式,要充分结合图形特征,找到图中的重合部分,并根据不同情况进行解答.

91.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛

物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;

(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等,若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由. 考点:二次函数综合题.

分析:(1)把三点坐标代入函数式,列式求得a,b,c的值,即求出解析式;

(2)求得抛物线顶点P,从直线BC的斜率算起,设过点P的直线,解得直线代入抛物线解析式解得点Q;

(3)求得点M,由点M,P的纵坐标关系可知,点R存在,y=2代入解得.

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解答:解:(1)把三点代入抛物线解析式

即得: ,

所以二次函数式为y=-x2+2x+3;

(2)由y=-x2 2x+3=-(x-1)2+4,

则顶点P(1,4),

知B,C,则直线BC的斜率= ,

则点P斜率为-1的直线设为:y=-x+b,

代入点P(1,4),

则解得:y=-x+5,

则直线BC代入抛物线解析式是否有解,有则存在点Q, -x2+2x+3=-x+5,

即x2-3x+2=0,

解得x=1或x=2,

代入直线则得点(1,4)或(2,3),

知点P,所以点Q(2,3);

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(3)有题意求得直线BC代入x=1则y=2,

∴M(1,2),

由点M,P的坐标可知:

点R存在,即过点M平行于x轴的直线,

则代入y=2,x2-2x-1=0,

解得x=1-

即点R(1 (在对称轴的左侧,舍去),x=1 ). ,

点评:本题考查了二次函数的综合运用,考查到了三点确定二次函数解析式,两直线相等,即斜率相等,两三角形面积相等,由同底等高;点M的纵坐标的长度是点P的一半,从而解得.本题逻辑思维性强,需要耐心和细心,是道好题.

92.(2011?丹东)己知:二次函数y=ax+bx+6(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A、点B的横坐标是一元二次方程x﹣4x﹣

12=0的两个根.

(1)请直接写出点A、点B的坐标.

(2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.

(3)如图1,在二次函数对称轴上是否存在点P,使△APC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(4)如图2,连接AC、BC,点Q是线段0B上一个动点(点Q不与点0、B重合).过点Q作QD∥AC交BC于点D,设Q点坐标(m,0),当△CDQ面积S最大时,求m的值. 22

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

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分析:(1)解一元二次方程x﹣4x﹣12=0可求A、B两点坐标;

(2)将A、B两点坐标代入二次函数y=ax+bx+6,可求二次函数解析式,配方为顶点式,可求对称轴及顶点坐标;

(3)作点C关于抛物线对称轴的对称点C′,连接AC′,交抛物线对称轴于P点,连接CP,P点即为所求;

(4) 由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA,利用相似比表示△BDQ的面积,利用三角形面积公式表示△ACQ的面积,根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ,运用二次函数的性质求面积最大时,m的值.

解答:解:(1)A(﹣2,0),B(6,0);

(2)将A、B两点坐标代入二次函数y=ax+bx+6,得 222

1??4a?2b?6?0?a??,解得?2, ?36a?6b?6?0???b?2

12x+2x+6, 2

12∵y=﹣(x﹣2)+8, 2∴y=﹣

∴抛物线对称轴为x=2,顶点坐标为(2,8);

(3)如图,作点C关于抛物线对称轴的对称点C′,连接AC′,交抛物线对称轴于P点,连接CP,

∵C(0,6),

∴C′(4,6),设直线AC′解析式为y=ax+b,则

?a?1??2a?b?0,解得, ???b?2?4a?b?6

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∴y=x+2,当x=2时,y=4,

即P(2,4);

(4)依题意,得AB=8,QB=6﹣m,AQ=m+2,OC=6,则S△ABC=

∵由DQ∥AC,∴△BDQ∽△BCA, ∴1AB×OC=24, 2S?BDQ

S?BCA=(BQ26?m2)=(), BA8

32(m﹣6), 8

1又S△ACQ=AQ×OC=3m+6, 2即S△BDQ=

∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣(m﹣6)﹣(3m+6)=﹣

238232393m+m+=﹣(m﹣2)8822+6,

∴当m=2时,S最大.

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据已知条件求抛物线解析式,根据抛物线的对称性,相似三角形的知识解题.

93.(2011辽宁沈阳,25,14分)如图,已知抛物线Y=X+BX+C与X轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与Y轴交于点C(0,﹣3),对称轴是直线X=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)求直线BC的函数表达式;

(3)点E为Y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.

①当线段PQ=23AB时,求TAN∠CED的值; 4

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.

温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.

第216页

考点:二次函数综合题。

分析:已知了C点的坐标,即知道了OC的长,可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长,即可得出B点的坐标.已知了△AOC和△BOC的面积比,由于两三角形的高相等,因此面积比就是AO与OB的比.由此可求出OA的长,也就求出了A点的坐标,然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式.

解答:

解:

(1)∵抛物线的对称轴为直线X=1, ∴?bb???1错误!未找到引用源。 2a2?1

∴B=﹣2

∵抛物线与Y轴交于点C(0,﹣3),

∴C=﹣3,

∴抛物线的函数表达式为Y=X﹣2X﹣3; 2

第217页

(2)∵抛物线与X轴交于A、B两点,

当Y=0时,X2﹣2X﹣3=0.

∴X1=﹣1,X2=3.

∵A点在B点左侧,

∴A(﹣1,0),B(3,0)

设过点B(3,0)、C(0,﹣3)的直线的函数表达式为Y=KX+M,

则??0?3k?m

??3?m错误!未找到引用源。,

∴??k?1错误!未找到引用源。

?m??3

∴直线BC的函数表达式为Y=X﹣3;

(3)①∵AB=4,PO=3

4错误!未找到引用源。AB,

∴PO=3

∵PO⊥Y轴

∴PO∥X轴,则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为错误!未找到引用源。,∴P(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。) ∴F(0,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。),

∴FC=3﹣OF=3错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。

∵PO垂直平分CE于点F,

∴CE=2FC=5

4错误!未找到引用源。

∵点D在直线BC上,

∴当X=1时,Y=﹣2,则D(1,﹣2)

过点D作DG⊥CE于点G,

∴DG=1,CG=1,

∴GE=CE﹣CG=错误!未找到引用源。5

2﹣1=3

2错误!未找到引用源。.

第218页

在RT△EGD中,tan?CED?GD2?. EG3

②P1(1

,﹣2),P2

(15,错误!未找到引用源。). 2点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.

94.(2011巴彦淖尔,24,9分)如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax+bx﹣3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.

(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;

(2)求证:四边形ABCD是直角梯形.

2

考点:二次函数综合题。

分析:(1)先根据直线y=x+3求得点A与点B的坐标,然后代入二次函数的解析式求得其解析式,然后求得其顶点坐标即可;

(2)根据B、D关于MN对称,C(﹣1,4),B(0,3)求得点D的坐标,然后得到AD与BC不平行,∴四边形ABCD是梯形,再根据∠ABC=90°得到四边形ABCD是直角梯形. 解答:解:(1)由y=x+3与坐标轴分别交与A、B两点,易得A点坐标(﹣3,0)、 B点坐标(0,3)

∵抛物线y=ax+bx﹣3a经过A、B两点 2

第219页

∴9a﹣3b﹣3a=0a=﹣1﹣3a=3得:b=﹣2

∴抛物线解析式为:y=﹣x﹣2x+3

∴顶点C的坐标为(﹣1,4)

(2)∵B、D关于MN对称,C(﹣1,4),B(0,3)

∴D(﹣2,3)

∵B(3,0),A(﹣3,0)

∴OA=OB

又∠AOB=90°

∴∠ABO=∠BAO=45°

∵B、D关于MN对称

∴BD⊥MN

又∵MN⊥X轴

∴BD∥X轴

∴∠DBA=∠BAO=45°

∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°

∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°

∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°

∵CM⊥BD

∴∠MCB=45°

∵B,D关于MN对称

∴∠CDM=∠CBD=45°,CD∥AB

又∵AD与BC不平行

∴四边形ABCD是梯形

∵∠ABC=90°

∴四边形ABCD是直角梯形.

点评:本题考查了二次函数的综合知识,特别题目中涉及到的对称点的问题,更是近几年中考中的常见知识点. 2

第220页

95.(2011?包头,26,12分)如图,已知抛物线y=ax+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,﹣2).

(1)求此抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为顶点式;

(2)点P是抛物线对称轴上的动点,当AP⊥CP时,求点P的坐标;

(3)设直线BC与x轴交于点D,点H是抛物线与x轴的一个交点,点E(t,n)是抛物线上的动点,四边形OEDC的面积为S.当S取何值时,满足条件的点E只有一个?当S取何值时,满足条件的点E有两个?

2

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)将A、B、C三点坐标代入y=ax+bx+c中,列方程组求抛物线解析式,再用配方法求顶点式;

(2)当AP⊥CP时,分别过A、C两点作对称轴的垂线,垂足为A′,C′,利用互余关系得角相等,证明△AA′P∽△PC′C,利用相似比求P点坐标;

(3)分别求出点E为抛物线顶点,E,B重合时,图形的面积,当E点为抛物线顶点时,满足条件的点E只有一个,

当S介于这两个面积之间时,满足条件的点E有两个.

解答:解:(1)将A,B,C三点坐标代入y=ax+bx+c中,得

22

第221页

?

??4a?2b?c?3?a??1

?2

?36a?6b?c?1,解得?7

??b?

?c??2?2,

??c??2

?

∴y=﹣12717233

2x+2x﹣2=﹣2(x﹣2)+8;

(2)设点P(7

2,m),分别过A、C两点作对称轴的垂线,垂足为A′,C′,

∵AP⊥CP,

∴△AA′P∽△PC′C, 7

可得AA?A?P?23

PC??CC?,即m?2=?m

2

解得m1=3

2,m2=﹣1

2,

∴P(72,32)或(72,﹣1

2);

(3)由B(6,1),C(0,﹣2),得直线BC的解析式为y=1

2x﹣2,

∴D(4,0),

当E点为抛物线顶点时,满足条件的点E只有一个, 此时S=1

2×4×2+1

2×4×3349

8=4,

∵S△BOC=1

2×2×6=6,

第222页

∴当6<S<49时,满足条件的点E有两个.

4

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据已知条件求抛物线解析式,根据抛物线的对称性,相似三角形的知识解题.

96. (2011丽江市中考,24, 分)如图,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(8,6),

直线AC和直线OB相交于点M,点P是OA的中点,PD⊥AC,垂足为D.

(1)求直线AC的解析式;

(2)求经过点O、M、A的抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否存在Q,使得S△PAD:S△QOA=8:25,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)先求出A、C两点的坐标即可求出直线AC的解析式;

(2)求出O、M、A三点坐标,将三点坐标代入函数解析式便可求出经过点O、

M、A的抛物线的解析式;

第223页

(3)根据题意先求出Q点的y坐标,在根据Q在抛物线上的关系求出Q点的横

坐标,便可得出答案.

解答:解:(1)由题意四边形OABC是矩形,点B的坐标为(8,6)可知:

A、C两点坐标为A(8,0),C(0,6),

设直线AC的解析式y=kx+b,

将A(8,0),C(0,6)两点坐标代入y=kx+b, ?

解得??k??3

4,

??b?6

故直线AC的解析式为y??3

4x?6;

(2)由题意可知O(0,0),M(4,3),A(8,0),

设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax2+bx,

将M(4,3),A(8,0),两点坐标代入y=ax2+bx,

得??16a?4b?3

a?8b?0, ?64

?3

解得??a??

?16,

?3

??b?2

故经过点O、M、A的抛物线的解析式为y??323

16x?2x;

(3)∵△AOC∽△APD, OCOA

PD?AD?AC

PA 即6

PD?8

AD?10

4

解得PD=2.4,AD=3.2,S△PAD=1

2×PD×AD=96

25,

∵S△PAD:S△QOA=8:25,

∴S△QOA=12,

第224页

S△QOA=11×OA×|yQ|=×8×|yQ|=12, 22

解得|y|Q=3,

又∵点Q在抛物线上, 所以?32333x?x?3或?x2?x??3 162162

解方程得x1=4,x2

x3=4﹣

故Q

点的坐标为Q(4??

3)、Q(4??3)、Q(4,3).

点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似等知识点,是各地中考的热点和难点,,解题时注意数形结合数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.

97. (2011浙江宁波,26,?)如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.

(1)求点E的坐标;

(2)求抛物线的函数解析式;

(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连接ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;

(4)连接AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标.

第225页

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)根据A、B两点坐标求直线AB的解析式,令x=0,可求E点坐标;

(2)设抛物线解析式为y=ax+bx+c,将A(-2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,列方程组求a、b、c的值即可;

(3)依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立,得出关于x的一元二次方程,当△=0时,△BON面积最大,由此可求m的值及N点的坐标;

(4)根据N点的坐标及∠AON=∠OBP,可知直线BP与y轴交于点(0,30),可求直线BP的解析式,与抛物线解析式联立,可求P点坐标.

解答:解:(1)设直线AB解析式为y=kx+b,

1???2k?b?2?k?将A(-2,2),B(6,6)代入,得?,解得?2, ?6k?b?6??b?32

∴y=1x+3,令x=0,得E(0,3); 2

第226页

(2)设抛物线解析式为y=ax+bx+c,

1?a??4?4a?2b?c?2?1??将A(-2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,得?36a?6b?c?6,解得?b??, 2?c?0???c?0??2

∴y=121x-x; 42

(3)依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m, 121??y?x?x2联立?42,得x-6x-4m=0,当△=36+16m=0时,△BON面积最大,

??y?x?m

解得m=-933,x=3,y=,即N(3,); 444

(4)依题意,得∠AON=∠OBP,则直线BP与y轴交于点(0,30),

设直线BP的解析式y=kx+30,将B(6,6)代入,得k=-4,

121??x??20?x?6?y?x?x∴y=-4x+30,联立?,?, 42,解得?y?110y?6????y??4x?30

∴P点坐标为(-20,110).

点评:本题考查了二次函数的综合运用.根据已知条件求直线、抛物线解析式,再根据图形特点,将问题转化为列方程组,利用代数方法解题. 98. (2011杭州,23,10分)设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)

(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个特殊函数的图象;

(2)根据所画图象,猜想出:对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明;

(3)对任意负实数k,当x<m时,y随着x的增大而增大,试求出m的一个值. 考点:二次函数综合题.

专题:综合题;数形结合.

分析:(1)令k=0或1,分别得到两个特殊函数,画出图象即可;

(2)猜想:不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(-2,-1).由

第227页

第228页

99. (2011湖州,24,12分)如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、

y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);

(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;

(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2),当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)

考点:二次函数综合题.

专题:代数几何综合题;分类讨论.

分析:(1)证明Rt△PMC≌Rt△DMB,即可证明DB=2﹣m,AD=4﹣m,从而求解;

(2)分AP=AD,PD=PA,PD=DA三种情况,根据勾股定理即可求解;(3)运动时,路线长不变,可以取当P在O点是,求解即可.

解答:解:(1)由题意得CM=BM.∵∠PMC=∠DMB,∴Rt△PMC≌Rt△DMB, ∴DB=PC,∴DB=2﹣m,AD=4﹣m,∴点D的坐标为(2,4﹣m).

3. 2

11②若PD=PA,过P作PF⊥AB于点F(如图),则AF=FD=AD=(4-m). 2222(2)分三种情况:①若AP=AD,则4+m=(4﹣m),解得m?

第229页

又OP=AF,∴m?14(4?m)m?. 23

111222PD=AD=(4-m),∵PC+CM=PM,222③若PD=DA,∵△PMC≌△DMB,∴PM=

∴(2?m)2?1?(4?m)2,解得m1?2,m2?2(舍去). 3

342综上所述,当△APD是等腰三角形时,m的值为或或. 233

5

(3)点H所经过的路径长为? 4

点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.

100. (2011浙江丽水,22,10分)在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.

(1)当n=1时,如果a=﹣1,试求b的值;

(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;

(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O.

①试求当n=3时a的值;

②直接写出a关于n的关系式. 2

第230页

考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质。

专题:计算题;规律型。

分析:(1)根据已知得到抛物线对称轴为直线x=

21,代入即可求出b; 21,2(2)设所求抛物线解析式为y=ax+bx+1,由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M(

?1?4a?2b?1?2),把B、M的坐标代入得到方程组?,求出a、b的值即可得到抛物线解112?a?b?1??42

析式;

(3)①当n=3时,OC=1,BC=3,设所求抛物线解析式为y=ax+bx,过C作CD⊥OB于点D,则Rt△OCD∽Rt△CBD,得出

2222ODOC1??,设OD=t,则CD=3t,根据勾股定理CDBC3OD+CD=OC,求出t,得出C的坐标,把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组,求出a即可;

②根据(1)、(2)①总结得到答案.

解答:(1)解:由题意可知,抛物线对称轴为直线x=

∴?1, 2b1?,得b=1, 2a2

2答:b的值是1. (2)解:设所求抛物线解析式为y=ax+bx+1,

第231页

?4a2?1b?

由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M(1?1?

2,2),???2?11, 4a?2b?1

?

解得??a??4

?3

??b?8

?3

∴所求抛物线解析式为y??4

3x2?8

3x?1, 答:此时抛物线的解析式是y??4

3x2?8

3x?1.

(3)解:①当n=3时,OC=1,BC=3, 设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,

过C作CD⊥OB于点D,则Rt△OCD∽Rt△CBD, ∴OD

CD?OC

BC?1

3,

设OD=t,则CD=3t,

∵OD2+CD2=OC2,

∴(3t)2+t2=12

,∴t??,

∴C

),又B

0),

?0?10a?∴把B、C

坐标代入抛物线解析式,得?1

10a?解得:a

=,

答:a

的值是

②答:a关于n

的关系式是a?.

第232页

点评:本题主要考查相似三角形的性质和判定,正方形的性质,用待定系数法求二次函数的解析式,解二元一次方程组,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,题型较好综合性强.

101. 22、如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连接OA.

(1)求△OAB的面积;

(2)若抛物线y=-x2-2x+c经过点A.

①求c的值;

②将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可).

【考点】二次函数综合题.

【专题】代数几何综合题;数形结合.

【分析】(1)根据点A的坐标是(-2,4),得出AB,BO的长度,即可得出△OAB的面积;

(2)①把点A的坐标(-2,4)代入y=-x2-2x+c中,直接得出即可;

②利用配方法求出二次函数解析式即可得出顶点坐标,根据AB的中点E的坐标以及F点的坐标即可得出m的取值范围.

第233页

【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数顶点坐标求法,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

102. (2011浙江舟山,24,8分)已知直线y=kx+3(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两

点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.

(1)当k=-1时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同

时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).

①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标;

②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值.

(2)当k=?

(如图2),

①求CD的长;

②设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大? 32时,设以C为顶点的抛物线y=(x+m)+n与直线AB的另一交点为D4

第234页

考点:二次函数综合题。

专题:几何代数综合题。

分析:(1)①由题意得.②由题意得到关于t的坐标.按照两种情形解答,从而得到答案.(2)①以点C为顶点的抛物线,解得关于t的根,又由过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°,又由△DEC∽△AOB从而解得.②先求得三角形COD的面积为定值,又由Rt△PCO∽Rt△OAB,在线段比例中t为36是,h最大. 25

解答:解:(1)①C(1,2),Q(2,0)

②由题意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0)

分两种情况讨论:

情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA,∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3-t=t,∴t=1.5

情形二:当△AQC∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3∴△AOB是等腰直角三角形∴△ACQ也是等腰直角三角形∵CP⊥OA∴AQ=2CP,即t=2(-t+3)∴t=2∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒.

(2)①由题意得:C(t,?3t?3) 4

333t?3,由 (x-t)2?t?3=??3, 444∴以C为顶点的抛物线解析式是y=(x-t)2?

解得x1=t , x2=t-3. 4

过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°

∵DE∥OA∴∠EDC=∠OAB

第235页

∴△DEC∽△AOB

3DECD3? ∵AO=4,AB=5, DE=t—(t—)= 44AOBA

3?5DE?BA15∴CD=?? AO416 ∴

②∵CD=15,CD边上的高=16,∴S△COD=115129???,∴S△COD为定值. 21658

要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短,因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为12,∠BCO=90° 5

∵∠AOB=90°∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA

又∵CP⊥OA∴Rt△PCO∽Rt△OAB 12?336OPOCOC?BO536?∴,OP=,即t= ??25BOBABA525

36∴当t为秒时,h的值最大.

25

点评:本题考查了二次函数的综合题,(1)①由题意很容易知,由题意知P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0)代入,分两种情况解答.(2)①以点C为顶点的函数式,设法代入关于t的方程,又由△DEC∽△AOB从而解得.②通过求解可知三角形COD的面积为定值,

36是,h最大.从而解答. 25

322103. (2011广东肇庆,25, 分)已知抛物线y?x?mx?m(m?0)与x轴交干A、4又由Rt△PCO∽Rt△OAB,在线段比例中t为

B两点.

(1)求证:抛物线的对称轴在y轴的左侧;

第236页

(2)若112??(O为坐标原点),求抛物线的解析式; OBOA3

(3)设抛物线与y轴交于点C,若△ABC是直角三角形.求△ABC的面积.

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)证明抛物线的对称轴<0即可证明抛物线的对称轴在y轴的左侧;

(2)根据题中已知条件求出m的值,进而求得抛物线的解析式;

(3)先设出C点坐标,根据的x1与x2关系求出m值,进而可求得△ABC的面积.

解答:(1)证明:∵m>0,

∴x=﹣bm=﹣<0, 2a2

∴抛物线的对称轴在y轴的左侧;

(2)解;设抛物线与x轴交点之比为A(x1,0),(x2,0),

则x1+x2=﹣m<0,x1?x2=﹣

∴x1与x2异号, 又32m<0, 4112??>0, OBOA3

∴OA>OB,

由(1)知:抛物线的对称轴在y轴的左侧,

∴x1<0,x2>0,

∴OA=|x1|=﹣x1OB=x2, 代入11211112??得:????, OBOA3x1?x2x2x13

x1?x22? x1x23

从而?m2?, 3?m23

4

2解得m=2, ∴抛物线的解析式为y=x+2x﹣3,

第237页

(3)当x=0时,y=?

∴点C(0,?32m 432m), 4

2∵△ABC是直角三角形, ∴AB=AC+BC,

∴(x1﹣x2)=x1+(?

∴﹣2x1?x2=

∴﹣2(?22223222322m)+x2+(?m) 4494m 89432m)=m, 84

解得

1132

321 ∴S△ABC=×|AB|?|OC|=|x1﹣x2|=|?m|=×m22244

点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形面积的求法等知识点,是各地中考的热点和难点,,解题时注意数形结合数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.

104. (2011梧州,26,12分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm,BC=14cm.动点P、Q都从点C出发,点P沿C→B方向做匀速运动,点Q沿C→D→A方向做匀速运动,当P、Q其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.

(1)求CD的长;

(2)若点P以1cm/s速度运动,点Q以2的速度运动,连接BQ、PQ,设△BQP面积为S(cm),点P、Q运动的时间为t(s),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;

(3)若点P的速度仍是1cm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现PQ∥DC,请你直接写出a的取值范围.

2

第238页

考点:直角梯形;根据实际问题列二次函数关系式;勾股定理;解直角三角形。

分析:(1)过D点作DH⊥BC,垂足为点H,则在Rt△DCH中,由DH、CH的长度,运用勾股定理即可求出CD的长;

(2)由于点P在线段CB上运动,而点Q沿C→D→A方向做匀速运动,所以分两种情况讨论:①点Q在CD上;②点Q在DA上.针对每一种情况,都可以过Q点作QG⊥BC于G.由于点P、Q运动的时间为t(s),可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度,然后根据三角形的面积公式即可求出S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;

(3)令DQ=CP,Q点在AD边上,求出a的取值范围.

解答:解:(1)过D点作DH⊥BC,垂足为点H,则有DH=AB=8cm,BH=AD=6cm. ∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm.

在Rt△DCH中,∠DHC=90°,

CD=DH+CH=82cm.

(2)当点P、Q运动的时间为t(s),则PC=t.

①当点Q在CD上时,过Q点作QG⊥BC,垂足为点G,则QC=22·t.

又∵DH=HC,DH⊥BC,

∴∠C=45°.

∴在Rt△QCG中,QG=QC·sin∠C2t×sin45°=2t.

又∵BP=BC﹣PC=14﹣t,

∴S△BPQ=BP×QG=(14﹣t)×2t=14t﹣t. 2

当Q运动到D点时所需要的时间t=∴S=14t﹣t(0<t≤4).

2==4.

第239页

②当点Q在DA上时,过Q点作QG⊥BC,垂足为点G,

则:QG=AB=8cm,BP=BC﹣PC=14﹣t,

∴S△BPQ=BP×QG=(14﹣t)×8=56﹣4t.

当Q运动到A点时所需要的时间t===4+.

∴S=56﹣4t(4<t≤4+).

综合上述:所求的函数关系式是:

S=14t﹣t(0<t≤4),

S=56﹣4t(4<t≤4+); 2

4

(3)要使运动过程中出现PQ∥DC,a的取值范围是a≥1+2..

点评:本题考查了动点与图形面积问题,需要通过题目的条件,分类讨论,利用特殊三角形,梯形的面积公式进行计算.

105. (2011?菏泽,27,9分)如图,抛物线y=

交于C点,且A(﹣1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;

(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值. 12x+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴2

第240页

考点:二次函数综合题。

分析:(1)把A点的坐标代入抛物线解析式,求b得值,即可的出抛物线的解析式,根据顶点坐标公式,即可求出顶点坐标;

(2)根据直角三角形的性质,推出AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,即AC2+BC2=25=AB2,即可确△ABC是直角三角形;

(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC'=2.连接C'D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.首先确定最小值,然后根据三角形相似的有关性质定理,求m的值

解答:解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=

∴×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,解得b=-

∴抛物线的解析式为y=

y=12x+bx﹣2上, 2123 2123x﹣x﹣2. 22123x﹣x﹣2 22

1=( x2﹣3x﹣4 ) 2

1325=(x﹣)2﹣, 228

325∴顶点D的坐标为 (,﹣). 28

(2)当x=0时y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.

当y=0时,123x﹣x﹣2=0,∴x1=﹣1,x2=4,∴B (4,0) 22

∴OA=1,OB=4,AB=5.

∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

第241页

∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.

(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC′=2,

连接C′D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小. 解法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM. ∴ OMOC?? EMED

∴m

3?m2?224, ∴m= 25418

解法二:设直线C′D的解析式为y=kx+n, ?n?241?k??则?3,解得n=2, 2512k?n???8?2

41x?2. 12

412424x?2?0,x?,?m?∴当y=0时,- 124141∴y??

点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质,关键在于求出函数表达式,做好辅助点,找对相似三角形.

106.(2011?湖南张家界,25,12)如图,抛物线y=ax+bx经过点A(﹣4,0)、B(﹣2,2),连接OB、AB,

(1)求该抛物线的解析式. 2

第242页

(2)求证:△OAB是等腰直角三角形.

(3)将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°,得到△OA′B′,写出A′B′的中点P的坐标,试判断点P是否在此抛物线上.

(4)在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形ABOM成直角梯形,若存在,请求出点M坐标及该直角梯形的面积,若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)将A(﹣4,0)、B(﹣2,2)代入抛物线解析式y=ax+bx,列方程组求a、b的值即可;

(2)根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标,判断三角形的形状;

(3)根据△OAB的形状,旋转方向,旋转角,画出图形,可求A′、B′的坐标,根据中点坐标公式求P的坐标,代入抛物线解析式进行判断;

(4)存在.过点O,作OM∥AB交抛物线于点M,根据△OAB为等腰直角三角形,可求直线OM的解析式,与抛物线解析式联立,可求M点坐标,同理,过点A,作AM′∥OB交抛物线于点M′,联立方程组可求M′的坐标,由图形的特殊性可知,两种情况下,梯形面积相等,根据梯形面积公式求解.

解答:解:(1)由A(﹣4,0)、B(﹣2,2)在抛物线y=ax+bx图象上,

2??0?a(?4)?b(?4)得:? (2分) 2??2?a(?2)?b(?2)

1解之得:a?? b??2 222

第243页

∴该函数解析式为:y??12

2x?2x.(4分)

(2)过点B作BC垂直于X轴,垂足是点C.(6分)

∵y=y??1

2x2?2x=?1

2(x+2)2+2,

∴线段CO、CA、CB的长度均为2,

∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形,

∴AB=OB

且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°

∴△OAB是等腰直角三角形(8分)

(3)如图,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°,得到△OA′B′其中点B′正好落在y轴上且B′A′∥x轴.

又∵OB′和A′B′的长度为22,

A′B′中点P的坐标为(2,?2),显然不满足抛物线方程, ∴点P不在此抛物线上(10分)

(4)存在(11分)

过点O,作OM∥AB交抛物线于点M

易求出直线OM的解析式为:y=x ?y

联立抛物线解析式得:??x

?

??y??1

2x2?2x

第244页

解之得点M(﹣6,﹣6),

显然,点M(﹣6,﹣6)关于对称轴x=﹣2的对称点M′(2,﹣6)也满足要求, 故满足条件的点M共有两个,坐标分别为(﹣6,﹣6)和(2,﹣6)

∴sABOM11?S?ABO?s?AOM=×4×2+×4×6=16 (12分) 22

(注:此题方法较多,只要合理均可给分)

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据题意求抛物线解析式,根据解析式确定图形的特殊性.

107.(2011?阜新)如图,抛物线y=

(1)求点A、B的坐标;

(2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积,若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,直接写出所有符合条件的点F的坐标.

123x+x﹣与x轴相交于A、B两点,顶点为P. 22

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)令y=0,则123x+x﹣=0,解方程即可得到点A、B的坐标; 22

(2)先利用对称性得到顶点P的坐标,然后根据△ABP的面积等于△ABE的面积得到点E坐标为(a,2),在把E(a,2)代入抛物线的解析式得到关于a的方程,解方程即可确定E点坐标;

(3)分类讨论:分别以AB、PA、PB为平行四边形的对角线,根据平行四边的性质易确定点F的坐标.

第245页

解答:解:(1)令y=0,则

解得x1=﹣3,x2=1, 123x+x﹣=0, 22

∴点A坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(1,0);

(2)存在.

抛物线的对称轴为直线x=1,令x=﹣1,则y=

∴P点坐标为(﹣1,﹣2),

∵△ABP的面积等于△ABE的面积,

∴点E到AB的距离等于2,

设E(a,2),

把E(a,2)代入抛物线的解析式得,13﹣1﹣=﹣2, 22123a+a﹣=2,解得a=﹣1﹣

22

∴符合条件的点E的坐标为(﹣1﹣

2)或(﹣

2).

(3)所有符合条件的点F的坐标为(1,2)、(3,﹣2)、(﹣5,﹣2).

点评:本题考查了解二次函数的综合题的方法:先通过二次函数的解析式确定各特殊点的坐标,得到有关线段的长,然后利用几何性质(如三角形面积公式,平行四边形的性质)去确定其他点的坐标.

108.2010河南,23,11分)如图,在平面直角坐标系中,直线y?33x?与抛物线42

1y??x2?bx?c交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为﹣8. 4

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点P是直线AB上方 1 的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.

①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值; ②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.

第246页

考点:二次函数综合题

分析:(1)利用待定系数法求出b,c即可;

(2)①根据△AOM∽△PED,得出DE:PE:PD=3:4:5,再求出PD=yP﹣yD求出二函数最值即可;

②当点G落在y轴上时,由△ACP≌△GOA得PC=AO=2,即?1235x?x?

=2,解得442

x?, ??2?2?所

以P1?,P2?,当点F落在y轴上时,同法可

得????

,P3

P,(舍去). 4????

解答:解:(1)对于y?3315x?,当y=0,x=2.当x=﹣8时,y=﹣. 422

∴A点坐标为(2,0),B点坐标为??8,?

由抛物线y????15??. 2?12x?bx?c经过A、B两点, 4

?0??1?2b?c,?得?15 ???16?8b?c.??2

解得b??,c?3

45. 2

第247页

1235x?x?. 442

33(2)①设直线y?x?与y轴交于点M, 42

33当x=0时,y=?.∴OM=. 22∴y??

∵点A的坐标为(2,0),∴OA=2.∴AM

?

∵OM:OA:AM=3:4:5.

由题意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM∽△PED.

∴DE:PE:PD=3:4:5.

∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点,

∴PD=yP﹣yD =??

=?

∴l?5. 25??33??123x?x????x?? 42??42??4123x?x?4. 4212?123???x?x?4? 5?42?

321848x?x?. 555

32∴l???x?3??15. 5=?

∴x=﹣3时,l最大=15.

??2?2?②满足题意的点P

有三个,分别是P 1?,P2?,

????

P3. ??

【解法提示】

当点G落在y轴上时,由△ACP≌△GOA得PC?AO?2,即13?x2?x?44??5?

2,解得x?

2,P2?,所以P.当?12??2????

第248页

点F落在y

轴上时,同法可得P3去).

P,(舍4????

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定以及待定系数法求二次函数解析式,利用数形结合进行分析以及灵活应用相似三角形的判定是解决问题的关键. 109(2011襄阳,26,13分)如图,在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC.CD是⊙O'的切线,AD丄CD于点D,tan∠CAD=1,抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点. 2

(1)求证:∠CAD=∠CAB;

(2)①求抛物线的解析式;

②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;

(3)在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)连接O′C,由CD是⊙O的切线,可得O′C⊥CD,则可证得O′C∥AD,又由O′A=O′C,则可证得∠CAD=∠CAB;

(2)①首先证得△CAO∽△BCO,根据相似三角形的对应边成比例,可得OC2=OA?OB,又由tan∠CAO=tan∠CAD=

得二次函数的解析式;

②首先证得△FO′C∽△FAD,由相似三角形的对应边成比例,即可得到F的坐标,求得直线1,则可求得CO,AO,BO的长,然后利用待定系数法即可求2

第249页

DC的解析式,然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案;

(3)根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案,小心不要漏解. 解答:(1)证明:连接O′C,

∵CD是⊙O的切线,

∴O′C⊥CD,

∵AD⊥CD,

∴O′C∥AD,

∴∠O′CA=∠CAD,

∵O′A=O′C,

∴∠CAB=∠O′CA,

∴∠CAD=∠CAB;

(2)①∵AB是⊙O′的直径,

∴∠ACB=90°,

∵OC⊥AB,

∴∠CAB=∠OCB,

∴△CAO∽△BCO, ∴OC

OA?OB

OC,

即OC2=OA?OB,

∵tan∠CAO=tan∠CAD=1

2,

∴AO=2CO,

又∵AB=10,

∴OC2=2CO(10-2CO),

∵CO>0,

∴CO=4,AO=8,BO=2,

∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4),

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A,B,C三点,

∴c=4,

第250页

由题意得:??4a?2b?4?0

a?8b?4?0, ?64

?a?1

解得:???

?4,

???b??3

2

∴抛物线的解析式为:y=-1

4x2-3

2x+4;

②设直线DC交x轴于点F,

∴△AOC≌△ADC,

∴AD=AO=8,

∵O′C∥AD,

∴△FO′C∽△FAD, ∴O?F

AF?O?C

AD,

∴8(BF+5)=5(BF+10),

∴BF=10

3,F(16

3,0);

设直线DC的解析式为y=kx+m, ?m?4

则???16

?3k?m?0, ?

解得:??k??3

4,

??m?4

∴直线DC的解析式为y=-3

4x+4,

由y=-1

4x2-3

2x+4=-1

4(x+3)2+2525

4得顶点E的坐标为(-3,4),

将E(-3,25

4)代入直线DC的解析式y=-3

4x+4中, 右边=-3

4×(-3)+4=25

4=左边,

第251页

∴抛物线顶点E在直线CD上;

(3)存在,P1(-10,-6),P2(10,-36).

点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式,相似三角形的判定与性质,点与函数的关系,直角梯形等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.

110.2011?宜昌,24,11分)已知抛物线y=ax+bx+c与直线y=mx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,-

不为 0.

(1)求c的值;

(2)设抛物线y=ax+bx+c与x轴的两个交点是(x1,0)和(x2,0),求x1?x2的值;

(3)当﹣1≤x≤1时,设抛物线y=ax+bx+c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0丨的最小值. 22212)和(m﹣b,m﹣mb+n),其中 a,b,c,m,n为实数,且 a,m2

第252页

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)把点(0,﹣1)代入抛物线可以求出c的值. 2

112(2)把点(0,﹣)代入直线得n=﹣,然后把点(m﹣b,m﹣mb+n)代入抛物22

线,整理后可确定a的值,把a,c的值代入抛物线,当y=0时可以求出x1?x2的值.

1b1b2

(3)抛物线y=x+bx﹣的顶点(﹣,﹣﹣),当b<0时,x=﹣1时y的值22242

大;当b>0时,x=1时y的值大.然后比较x=﹣1,x=1以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值,确定|y0|的最小值.

解答:解:(1)把点(0,﹣11)代入抛物线,得:c=﹣; 22

11(2)把点(0,﹣)代入直线得:n=﹣. 22

把点(m﹣b,m﹣mb+n)代入抛物线,得:

a(m﹣b)+b(m﹣b)+c=m﹣mb+n

∵c=n=﹣2221, 2

22

222∴a(m﹣b)+b(m﹣b)=m﹣mb, am﹣2abm+ab+bm﹣b﹣m+mb=0 2

第253页

(a﹣1)m﹣(a﹣1)?2bm+(a﹣1)b=0

(a﹣1)(m﹣2bm+b)=0

(a﹣1)(m﹣b)=0

∴a=1,

当m﹣b=0时,抛物线与直线的两个交点就是一个点,所以m≠b. 22222把a=1,c=﹣1

2代入抛物线有:

y=x2+bx﹣1

2,

当y=0时,x2+bx﹣1

2=0,

∴x1?x2=﹣1

2;

3)y=x2+bx﹣1

2,顶点(﹣错误!未找到引用源。,﹣

当b≤0时,x=﹣1时,y=1

2﹣b, 11b2

比较2﹣b与2+4的大小,得到:

时,11b2

﹣4≤b≤02﹣b≥2+4,

所以当b=0时,|y0|的最小值为1

2.

4时,1

2﹣b≤1

2+b2

b≤﹣4,

所以当b=﹣4时,|y0|的最小值为9

2.

当b≥0时,x=1时,y=1

2+b, 比较11b2

2+b与2+4的大小,得到:

0≤b≤4时,11

2+b≥b2

2+4, 1b22﹣4)

第254页 (

所以当b=0时,|y0|的最小值为1. 2

11b2

b≥4时,+b≤+, 224

所以当b=4时,|y0|的最小值为

故|y0|的最小值为9. 219或. 22

点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)根据抛物线上的点确定c的值.(2)结合一元二次方程的解确定x1?x2的值.(3)在x的取值范围内确定|y0|的最小值.

111(2011湖北随州,24,?)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y?交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2>0).

(1)求b的值.

(2)求x1?x2的值.

(3)分别过M,N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是 M1和N1.判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.

(4)对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线 m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.

12x4

考点:二次函数综合题。

专题:代数几何综合题。

分析:(1)把点F的坐标代入直线可以确定b的值.

(2)联立直线与抛物线,代入(1)中求出的b值,利用根与系数的关系可以求出x1?x2的值.

(3)确定M1,N1的坐标,利用两点间的距离公式,分别求出M1F,N1F,M1N1,然后222

第255页

用勾股定理判断三角形的形状.

(4)根据题意可知y=-1总与该圆相切.

解答:解:(1)∵直线y=kx+b过点F(0,1),∴b=1;

(2)∵直线y=kx+b与抛物线y?12x交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点, 4

∴可以得出:kx+b=1212x,整理得:x-kx-1=0, ∴x1?x2==-4; 44

(3)M1(x1,-1),N1(x2,-1),F(0,1)

M1F=x1+4,N1F=x2+4,M1N1=(x2-x1)=x1+x2-2x1x2=x1+x2+8

∴M1F+N1F=M1N1,

所以△M1FN1是直角三角形.

(4)y=-1总与该圆相切.

点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)由点F的坐标求出b的值.(2)结合直线与抛物线的解析式,利用根与系数的关系求出代数式的值.(3)用两点间的距离公式,判断三角形的形状.(4)根据点与圆的位置判断直线与圆的位置.

112(2011湖北武汉,25,12分)如图1,抛物线y=ax+bx+3经过点A(﹣3,0),B(﹣1,0)两点,

(1)求抛物线的解析式;

(2)设抛物线的顶点为M,直线y=﹣2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D,现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上,若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围;

(3)如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E.F两点,问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 22222222222222

第256页

考点:二次函数综合题。

分析:(1)根据抛物线y=ax+bx+3经过点A(﹣3,0),B(﹣1,0)两点,代入解析式求出即可;

(2)由(1)配方得y=(x+2)﹣1,利用函数平移①当抛物线经过点C时,②当抛物线与直线CD只有一个公共点时,分别分析求出;

(3)由点E.F的坐标分别为(m,m),(n,n),得出m+n=km?n=﹣3,利用作点E关于y轴的对称点R(﹣m,m),作直线FR交y轴于点P,

由对称性知∠EFP=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上,求出即可.

解答:解:(1)抛物线y=ax+bx+3经过点A(﹣3,0),B(﹣1,0)两点,

∴?222222?9a?3b?3?0,

?a?b?3?0

解得a=1,b=4,

∴抛物线解析式为y=x+4x+3;

(2)由(1)配方得y=(x+2)﹣1

∴抛物线的顶点M(﹣2,﹣1), 22

11x.于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h,h), 22

21∴平移后的抛物线解析式为y=(x﹣h)+h, 2直线OD的解析式为y=

①当抛物线经过点C时,∵C(0,9),

第257页

∴h+21h=9,解得

2∴

当?1??1≤x

<平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点, 44

1?2y?(x?h)?h?②当抛物线与直线CD只有一个公共点时,由方程组?2,

??y??2x?9

1h﹣9=0, 2

221∴△=(﹣2h+2)﹣4(h+h﹣9)=0, 2得x+(﹣2h+2)x+h+22解得h=4,

此时抛物线y=(x﹣4)+2与射线CD只有唯一一个公共点为(3,3),符合题意, 综上所述,平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点时,

顶点横坐标h的取值范围为h=4

(3)设直线EF的解析式为y=kx+3(k≠0),

点E.F的坐标分别为(m,m),(n,n), 222x

?y?x22由?得x﹣kx﹣3=0,

?y?kx?3

∴m+n=km?n=﹣3,

作点E关于y轴的对称点R(﹣m,m),作直线FR交y轴于点P,

由对称性知∠EFP=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上,

∴点P即为所求的点.

由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=(n﹣m)x+mn记y=(n﹣m)x﹣3,

当x=0时,y=﹣3,

∴p(0,﹣3),

∴y轴的负半轴上存在点P(0,﹣3)使△PEF的内心在y轴上. 2

第258页

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形内心的特点,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

113. (2011湖北孝感,25,14分)如图(1),矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上,折叠边AD,使点D落在x轴上点F处,折痕为AE,已知AB=8,AD=10,并设点B坐标为(m,0),其中m>0.

(1)求点E.F的坐标(用含的式子表示);

(2)连接OA,若△OAF是等腰三角形,求m的值;

(3)如图(2),设抛物线y=a(x﹣m﹣6)+h经过A.E两点,其顶点为M,连接AM,若∠OAM=90°,求a.h.m的值.

2

考点:二次函数综合题。

分析:(1)根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10,EF=DE,进而求出BF的长,即可得出E,F点的坐标;

(2)分三种情况讨论:若AO=AF,OF=FA,AO=OF,利用勾股定理求出即可;

(3)由E(m+10,3),A(m,8),代入二次函数解析式得出M点的坐标,再利用△AOB∽△AMG,求出m的值即可.

解答:解:(1)∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=CB=10,AB=DC=8,∠D=∠DCB=∠ABC=90°,

由折叠对称性:AF=AD=10,EF=DE,

在Rt△ABF中,BF

6,

第259页

∴CF=4,

设EF=x,则EC=8﹣x,

在Rt△ECF中,42+(8﹣x)2=x2,

解得:x=5,

∴CE=3,

∵B(m,0),

∴E(m+10,3),F(m+6,0);

(2)分三种情况讨论:

若AO=AF,

∵AB⊥OF,

∴BO=BF=6,,

∴m=6,

若OF=FA,则m+6=10,

解得:m=4,

若AO=OF,在Rt△AOB中,AO2=OB2+AB2=m2+64,∴(m+6)2=m2+64,

解得:m=7

3,

∴m=6或4或7

3;

(3)由(1)知:E(m+10,3),A(m,8). ∴???a(m?m?6)2?h?8

??a(m?10?m?6)2?3, ?1

得??a?

?4,

?h??1

∴M(m+6,﹣1),

第260页

设对称轴交AD于G,

∴G(m+6,8),

∴AG=6,GM=8﹣(﹣1)=9,

∵∠OAB+∠BAM=90°,∠BAM+∠MAG=90°,

∴∠OAB=∠MAG,

∵∠ABO=∠MGA=90°,

∴△AOB∽△AMG, OBAB=, MGMG

m8即:= 96∴

∴m=12,

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论思想是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.

114. (2011湖南常德,26,10分)如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,

求证:∠CFE=∠AFE;

(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有,请求出所有合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由. 52

第261页

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)设抛物线解析式为y=ax+bx+c,将A、B、C三点坐标代入,列方程组求抛物线解析式;

(2)求直线AC的解析式,确定E点坐标,根据对称性求F点坐标,分别求直线AF,CF的解析式,确定两直线与x轴的交点坐标,判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可;

(3)存在.由∠CFE=∠AFE=∠FAP,△AFP与△FDC相似时,顶点A与顶点F对应,根据△AFP∽△FDC,△AFP∽△FCD,两种情况求P点坐标.

解答:(1)设经过A(0,6),B(2,0),C(7,25)三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 2

??c?6?则:?4a?2b?c?0 ?5?49a?7b?c??2

解得a?1,b??4,c?6. 2

12x?4x?6 2∴ 此抛物线的解析式为 y?

(2)过点A作AM∥x轴,交FC于点M,交对称轴于点N.

∵抛物线的解析式y?1212x?4x?6可变形为y??x?4??2 22

∴抛物线对称轴是直线x =4,顶点D的坐标为(4,-2).则AN=4.

第262页

设直线AC的解析式为y?k1x?b1, ?b1?6

则有???5,解得k1??1

?7k1?b1?22,b1?6.

∴ 直线AC的解析式为y??1

2x?6.

当x=4时,y??1

2?4?6?4.

∴点E的坐标为(4,4),

∵点F与E关于点D对称,则点F的坐标为(4,-8)设直线FC的解析式为y?k2x?b2, ?4k2?b2?

则有??8

??5,解得k?7,b2??22.

?7k2

2?b2?22

∴ 直线FC的解析式为y?7

2x?22.

∵AM与x轴平行,则点M的纵坐标为6.

当y=6时,则有7

2x?22?6,解得x=8.

∴AM=8,MN=AM—MN=4

∴AN=MN

∵FN⊥AM

∴∠ANF=∠MNF

又NF=NF

∴△ANF≌△MNF

∴∠CFE=∠AFE

(3)∵C的坐标为(7,5

2),F坐标为(4,-8)

CF?

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∵又A的坐标为(0,6),则

FA?

又DF=6,

若△AFP∽△DEF

∵EF∥AO,则有∠PAF=∠AFE,

又由(2)可知∠DFC=∠AFE

∴∠PAF=∠DFC

若△AFP1∽△FCD

? PAFPA1A?,

即1?,解得P1A=8. DFCF6∴O P1=8-6=2

∴P1的坐标为(0,-2).

若△AFP2∽△FDC

则P2AAF53?,

,解得P2A=. ?CFDF265341-6=. 22

41). 2

41). 2∴O P2=∴P2的坐标为(0,-所以符合条件的点P的坐标有两个,分别是P1(0,-2),P2(0,-

点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据已知条件求抛物线解析式,根据抛物线的对称性,相似三角形的知识解题.

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