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八年级数学反比例函数导学案

发布时间:2013-09-29 17:00:48  

反比例函数的意义

【学习过程】

【知识回顾】

1.在一个变化的过程中,如果有两个变量x和y,当x在其取值范围内任意取一个值时, y,则称x为,y叫x的.

2.一次函数的解析式是:;当.

3.一条直线经过点(2,3)、(4,7),求该直线的解析式.

以上这种求函数解析式的方法叫: .

【探索新知】

【活动一】

提出问题:下列问题中,变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示?

(1)京沪线铁路全程为1463km,乘坐某次列车所用时间t(单位:h)随该列车平均速度v(单位:km/h)的变化而变化;

2(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m的矩形草坪,草坪的长为y随宽x的变化;

(3)已知北京市的总面积为1.68×10平方千米,人均占有土地面积S(单位:平方4

千米/人)随全市人口n(单位:人)的变化而变化.

1、上面问题中,自变量与因变量分别是什么?三个问题的函数表达式分别是什么?

(1) (2) (3)

2、这三个函数关系式可以叫正比例函数吗?可以叫一次函数吗?

【活动二】形成概念

1.68?104126210001、三个函数表达式:t?、y?、S=有什么共同特征?你能用一nvx

个一般形式来表示吗?

2、对于函数关系式

y?

1000,完成下表:

3、类比一次函数的概念给上述新的函数下一个恰当的定义

讨论:

1、反比例函数y?k中自变量x在分式的什么位置?自变量的取值范围是什么? x

2、你能再举出两个反比例函数关系的实例吗?写出函数表达式,与同伴进行交流。

【活动三】例题讲解

例1下列哪些式子表示y是关于x的反比例函数?每一个反比例函数中相应的k值是多少?

⑴y?4x;⑵y??5y2;⑶y?6x?1;⑷?3;⑸xy?123⑹y??;⑺y??x xx3x

变式训练

(1)关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗?若是,比例系数k等于多少?若不是,请说明理由。

2、 在下列函数中,y是x的反比例函数的是( )

A、y?832 B、y??7 C、xy?5 D、y?2 x?5xx

m?73、 已知函数y?x是正比例函数,则是反比例函数,则 m = 已知函数y?3xm?7

【活动四】例题讲解

例2:已知y是x的反比例函数,当x?2时,y?6

⑴写出y与x的函数关系式。

⑵求当x?4时,y的值

变式训练

1、已知y是x的反比例函数,并且当x=3时,y=-8。

(1)写出y与x之间的函数关系式。

(2)求y=2时x的值。

2、y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:

(1)写出这个反比例函数的表达式;

(2)根据函数表达式完成上表。

【能力提升】

3?m1、当m = ,函数y?(m?2)x是反比例函数。 2

2、若y与x-2成反比例,且当x=-1时,y=3,则

(1)求y与x之间的函数关系式。

(2)求当x=5时,y的值

3.已知函数y=y1+y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=0;当x=4时,y=9,求当x=-1时y的值

【反思归纳】

一、本节课学习的知识点

二、本节课学习的方法和数学思想

【课下作业】

1、若y是x-1的反比例函数,则x的取值范围是 .

2、若y=1

xn?1是y关于x的反比例函数关系式,则n是 .

3、把xy=-1化为y=

k的形式,其中k= . x

4、苹果每千克x元,花10元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数关系式为

5.已知y与x成反比例,且当x=-2时,y=3,则y与x之间的函数关系式是 ,

当x=-3时,y=

6、当m= 时,关于x的函数y?(m?1)xm2?2是反比例函数?

7.如果y与x成正比例,z与x成反比例,那么y与x之间的函数关系是 ( )

A正比例关系 B反比例关系 C一次函数关系 D不确定

8、在下列函数中,y是x的反比例函数的是( ) 823A、、xy=5 D、 y?y?y??7x?5xx2

9、已知y是x2的反比例函数,并且当x=3时,y=4。

(1)写出y与x之间的函数关系式。

(2)求x=1.5时y的值。

反比例函数的图象和性质(1)

【学习过程】

【知识回顾】

1.一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是什么?其性质有哪些?正比例函

数y=kx(k≠0)呢?

2.作函数图像的一般步骤: 、 、 应注意什么?

2.若点(3,6)在反比例函数y?k(k?0)的图象上,反比例函数的解析式x

以上这种求函数解析式的方法叫: . 此反比例函数的图像又是什么

形状?

【探索新知】

【活动一】

问题:画出反比例函数y=

66

与y= -的图象 (用描点法) xx

注意:(1)列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可

以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值

(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确

(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线

(4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴 (1)列表

(2)描点、连线

【活动二】

思考:反比例函数y?

66

和y??的图象有什么共同特征?它们有什么关系?

xx

归纳总结反比例函数图像特点和性质 反比例函数y?

当k?0时,图象在_________象限,在每一象限内,y随x的增大而_______;

k

(k≠0)的图象是由两个分支组成的______线。 x

当k?0时,图象在_________象限,在每一象限内 ,y随x 的增大而_______。

k(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。 x

20练习:1、y?的图像叫 ,图像位于 象限,在每一象限内,y随 x增x反比例函数y?

大而 ;

30图象在第象限,在每个象限内y随x的增大而x

13、对于函数y=,当 x<0时,y 随x的_____而增大,这部分图象在第 ____2x2、函数y=?

限. k4、已知反比例函数y= (k≠0)的图象的一支如图。 x

(1)判断k是正数还是负数;

(2)求这个反比例函数的解析式;

【活动三】例题讲解

例:已知反比例函数y?象(

3?k,分别根据下列条件求出字母k的取值范围 x

(1)函数图象位于第一、三象限

(2)在第二象限内,y随x的增大而增大

练习:

1、已知反比例函数y?k?2的图像位于第一、第三象限,则k的取值范围是( ) x

(A) k?2 (B) k?2 (C) k?2 (D) k?2

k2

2、反比例函数y?(k≠0)的图象的两个分支分别位于( )象限。 x

A、一、二 B、一、三 C、二、四 D、一、四

【能力提升】

1、函数y=-ax+a与y??a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( ) x

2、已知反比例函数y?(m?1)xm2?3

的图象在第二、四象限,

求m值,并指出在每个象限内y随x的变化情况?

3、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 .

【反思归纳】

请同学们谈谈本节课有什么新的收获?

分析:(1)反比例函数的图象是双曲线。(2)怎样画反比例函数的图象。

(3)反比例函数的性质。

【课下作业】 1.点(1,6)在双曲线y?

2.已知反比例函数y??

3、在反比例函数y?k上,则k=______________. x6的图象经过点P(2,a),则a=__________. x1?k的图像的每一条曲线上,y随x的增大而增大,则k值可以x

是( ) A、-1 B、0 C、1 D、2

4、已知

,则函数和的图象大致是( )。

5如图,过反比例函数y?1(x>0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足x

分别为C、D,连接OA、OB,设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2,比较它们的大小,可得( )

(A)S1>S2 (B)S1=S2

(C)S1<S2 (D)大小关系不能确定

反比例函数的图象和性质(2)

【学习过程】

【知识回顾】

k的图象经过点A(-3,2),则次反比例函数的解析式为。x

k区别于一次函数y?kx?b,类似正比例函数y?kx,反比例函数y?中只有个待x1、反比例函数y?

定系数k,只需 组x,y的对应值即可确定反比例函数的解析式。(为学习例3做准备)

5的图像叫象限,在每一象限内,当x增大时,x

6则y ;函数y=图象在第 象限,在每个象限内y随x的减少而 x2、y??

【探索新知】

【活动一】老师在黑板上写了这样一道题:“已知(2,5)在反比例函数y=?的图像上,x

试判断点(-5,-2)是否也在此图像上。”题中的“?”是被一个同学不小心擦掉的一个数字,请你分析一下“?”代表什么数,并解答此题目。(问题导入)

【活动二】例题讲解

例3已知反比例函数的图象经过点A(2,6),

(1) 这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?

(2) 点B(3,4)、C(-2

14,-4)和D(2,5)是否在这个函数的图象上? 25

【活动三】

1上的两个点,则y1与y2的关系为。 x

1若A(-3,y1)B(-2,y2)C(4,y3)是反比例函数y?上的三个点,则y1、y2与x若A(-3,y1)B(-2,y2)是反比例函数y?

y3的关系为 。

【活动四】例题讲解

例4.图中 是反比例函数y=m?5的图象的一支,根据图象回答下列问题: x

(1) 图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?

(2) 在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b) 和点B(a`,b`).如果a>a`,那么b和b`有怎

样的大小关系?

变式训练

(1)在这个函数图像上任取点M(x,y)和点N(x1,y1),且x1<x2<0那么y和y1 有怎样的大小关系?

(2)试比较5?m5?m和的大小。 23

讨论:不等式与反比例函数之间的关系是怎样的?

【能力提升】

1、y=kk1k (2)y=2 (3)y=3 在x轴上方的图象如图所示,由此推出k1,k2,k3xxx

的大小关系

2、直线y=kx与反比例函数y=-

S△ABC=

3、已知正比例函数y=kx和反比例函数y?

析式及另一交点坐标。

6的图象相交于点A、B,过点A作AC垂直于y轴于点C,x3的图像都过点A(m,1),求此正比例函数解x

4如图2所示,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y =的图象交于A、B两点.

(1)利用图中条件,求反比例函数和一次函数的表

达式;

(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数

的值的x的取值范围

【反思归纳】

本节学习的内容:反比例函数图像及性质的运用

数学思想方法归纳:待定系数法与方程(不等式)思想。数形结合思想

【课下作业】

1、已知函数y?k的图象经过点(2,3),下列说法正确的是( ) x

A.y随x的增大而增大 B.函数的图象只在第一象限

C.当x<0时,必有y<0 D.点(-2,-3)不在此函数的图象上

2、如果两点P1(1,y1)和P2(2,y2)都在反比例函数y?1的图象上,那么( ) x

A.y2<y1<0 B.y1<y2<0 C.y2>y1>0 D.y1>y2>0

3 、反比例函数 在第一象限内的图象如图所示,P为该图象上任意

一点,PQ垂直于x轴,垂足为Q,设△POQ面积为S,则S的值与k

之间的关系是( )

4、P45 1,2

章反比例函数复习

【学习过程】

【活动一】反比例函数的解析式

基础知识回顾

一般地,形如 ______________( )的函数称为反比例函数.

(其中,自变量x的取值范围为___________________________ )

反比例函数解析式还可以表示为_____________和_________________

注:反比例函数需要满足的两个条件:1._________ ,2._______________.

考点突破:

1.下列函数中哪些是反比例函数?

① y=6x; ② y=-4x; ③ xy=-6; ④ y=9x;

⑤ y?2-1

2x3; ⑥y? . 32x

y?2x2.若函数 是反比例函数,则n=______.

变式:若函数 y?(n?1)xn?2是反比例函数,则n=______.

3.已知y与x成反比例,当x=2时,y=4,则 y与x的关系式为________.

变式:已知y与x成反比例,当x=2时,y=-4,则 y与x的关系式为_______.

【活动二】反比例函数的图象以及性质

基础知识回顾

22n?1

反比例函数的图象是 .

考点突破:

4.若双曲线经过点(-3 ,-2),则其解析式是______.

k2

5.函数y? 的图象在第______象限,当x<0时,y随x的增大而______ .

x

6.函数 y?

1?k

的图象在二、四象限内,则K的取值范围是______ . x

k7.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<0<x2 )都在反比例函数 y?(k?0)的图象上,则y1x

与y2的大小关系(从大到小)为 .

ky?(k?0的图象上) 变式:已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)都在反比例函数,

x

则y1 、y2 、y3 的大小关系(从大到小)为 .

【活动三】反比例函数中的面积问题

y? 8.如图1,点P是反比例函数,PA⊥x轴于A,PB⊥y轴于B.则

矩形PAOB的面积为___________.

变式:如图2,点P是反比例函数图象上任意一点, PA⊥x轴于A,连接PO,y?

则S△PAO为_____.

?3

x

-3x

图1 k 图2 y?归纳:点P是反比例函数x(k≠0)图象上任意一点,PA⊥x轴于A,PB⊥y轴于B.则矩形PAOB(如图1)的面积为_______,S△PAO(如图2)为_____.

9、如图1,点P是反比例函数图象上的一点, PA⊥x轴于A,PB⊥y轴于B,

四边形PAOB的面积为12,则这个反比例函数的关系式是________ .

变式: 如图2,点P是反比例函数图象上的一点, PA⊥x轴于A,连接PO,

若S△PAO=8,则这个反比例函数的关系式是________ .

【活动四】反比例函数与一次函数的综合运用 my?10、如图,一次函数y ?kx?1的图象和反比例函数的图象交于A、B两点,其x

中A点坐标为(2,1).

(1)试确定k、m的值;

(2)连接AO,求△AOP的面积;

(3)连接BO,若B的横坐标为-1,求△AOB的面积.

变式:如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点。

(1)利用图中的条件,求反比例函数和一次函数的表达式;

(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。

【活动五】反比例函数在实际问题中的应用:

8、学校锅炉旁建有一个储煤库,

一学期(按150天计算)刚好用完.(1)则y与x之间有怎样的函数关系?

(2)画函数图象

(3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天?

【反思归纳】

知识盘点

1._________________________________;2._________________________________;

3._________________________________;4._________________________________. 数学思想方法

1._________________________________;2._________________________________;

3._________________________________.

【课下作业】

m的图象经过点(-3,-2),则m; x

k2、如图1是反比例函数y?的图象,则k与O的大小关系是

x1、若反比例函数y?

3、如图2,P为反比例函数y?k上一点,PA⊥x轴于A,PB⊥y轴于B,且S矩形PAOB=3,x

则k= ;

335、一定质量的二氧化碳,其体积V(m)是密度ρ(kg/m)的反比例函数,请根据图3

33中的已知条件,写出当ρ=1.1g/m时,二氧化碳的体积V= m;

6、已知点A(-2,y1),B(-1,y2)和C(3,y3)都在反比例函数y?

y1、y2、y3的大小关系是 ;

7、函数y?

4的图象上,则x1?k的图象与直线y?x没有交点,那么k的取值范围是x

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