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梯形辅助线及知识点总结

发布时间:2013-09-29 18:04:13  

严师教育

梯形中的辅助线

常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化,变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下

:

1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形.

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2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题.

【例3】.如图,在梯形

梯形 中, , ,梯形 . 的面积与 的面积相等.求证:

分析:条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的

平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的

三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形

就可得出结论. 证明:延长 、 使它们相交于 点, ∵ , ∴

.

同理,

∵ 故得

∴ 此题仅做参考

3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形.然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题.

4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决.

【例5】.如图,等腰梯形 中, . , ,且 , 是高, 是中位线,求证:

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分析:由梯形中位线性质得 ,欲证 ,

只要证

.过

、 和 点作 ,交 的延长线于 ,

就可以把 移到三角形 中,再证明等式成立就简单多了. 证明:过 点作

边形.∴ , 交 的延长线于点 ,则四边形 是平行四∵ 四边形 是等腰梯形, ∴ ,∴ 又∵ ,∴ , ∴ , ∴ . ∵ , ∴ 又∵ ,∴ .

5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题.

【例8】.已知:梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AD+BC=DC , 求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.

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证法1:取DC中点F,连结EF,E为AD中点,则EF为梯形的中位线 ∴EF∥AD∥BC EF=(AD+BC)

∴∠1=∠5,∠3=∠6

∵DC=AD+BC

∴EF=DC=DF=CF

∴∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠2=∠5,∠4=∠6

∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°

∴∠1+∠3=90°

∴DE⊥C,DE平分ADC,CE平分∠CD

证法2:延长CE与DA延长线交于一点F,过程略.

证法3:在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.

6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题. 、 4 / 10

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【例9】.已知:如图5,在梯形ABCD 中,

N分别是BD 、AC 的中点.

求证:

. M、

证明:连结并延长 ,交 于E.则 .

又N是AC的中点,

∴ ,

取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形.

【例10】.如图,梯形

为 中点,求证: 中, . , 、 分别平分 和 , 分析:要证明

与 的延长线交于 ,再证明 ,可以利用 ,

即可. 为 中点,

延长,得到

证明:延长 、 交于点 F,显然

. ∴ , .

又∵

, 5 / 10

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, ,

∴ ,∴ ∴ 是线段 的垂直平分线.

∴ ,∴ . 评注:添加辅助线后,沟通了

得出 、 与 的联系,由线段垂直平分线性质 ,从而问题获得解决. 利用一腰中点旋转

【例11】.已知:如图,在梯形

点.求证:. 中, 是CD的中

证明:延长AE、BC相交于点F.易证. ∴ , ∵ , ∴ 即 .

∴BE是等腰 底边上的高. ∴ .

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说明:在图5中,

中, 是由 相当于由 绕点E旋转 绕点E旋转 得到. 得到;在图6

【例12】.如图,梯形 中, , 为腰 的中点,

求证:

. 分析: 与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形

助特点把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了.梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰. 证明:延长 ,使 ,延长

为 ,使 ;则 , 与 ,

则四边形 交于点 . 是平行四边形. 的中点,连结连结 、 ,则

. ∵ , 是 中点,

∴ 为 中点且是 中点.

∴四边形 是平行四边形,

∴ ,∴

通过解决以上问题可以看出,添加辅助线有助于把复杂的梯形问题转化为简单的平行四边形或三角形的知识解决.虽然解决梯形问题时, 辅助线千变万化, 形状各异,使人眼花缭乱,不容易掌握,但正是这些地形形色色的梯形辅助线给同学们解决梯形问题提供了快捷和方便.相信通过以上对梯形辅助线的介绍和归纳,你已经掌握了分析思考梯形辅助线的方法.

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梯形辅助线专题训练题

1、如图,已知在梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=60°,∠C=45°,AB=2,AD=4,求梯形ABCD的面积.

BA

D

2、在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=AD=2, BC=4,求∠B的度数及AC的长。

3、如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,求等腰梯形的周长。

AD

4、 如图所示,AB∥CD,AE⊥DC,AE=12,BD=20,AC=15,求梯形ABCD的面积。

ABBC

DEC

5、 如图所示,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,对角线AC与BD互相垂直,且AD=30,BC=70,求BD的长.

AD

BC

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6、 如图所示,已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15cm和49cm,求它的腰长.

AD

7、 如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于

E,求DE的长.

ADBC

BEC

8、已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F.

求证: CE=BF.

,AD?3,BC?8.9、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD?CD,?BDC?90°求

AB的长.

10、如图6,在梯形ABCD中,AD∥BC,?A?90?,?C?45?,DE=EC,AB=4,AD=2,求BE的长.

AD

E

C

9 / 10 B

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11、已知:如图,梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,∠COD=60°,

若CD=3,

AB=8,求梯形ABCD的高.

D

BA

12、已知如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为 .

12题图

13、如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC?CD?10,AB?21,AD?9.

求AC的长.

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