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初中数学的规律

发布时间:2013-09-29 18:04:14  

3人同问 初中数学规律题(附答案和讲解)

2010-06-14 11:50 提问者: 延儡 |浏览次数:5218次

要题型和答案。常见的。

我来帮他解答

满意回答

2010-06-14 12:00

初中数学规律题解题基本方法

初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,

一、基本方法——看增幅

(一)如增幅相等(此实为等差数列):对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为:a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例:4、10、16、22、28……,求第n位数。

分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是:4+(n-1)×6=6n-2

(二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列)。如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是:1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅;

2、求出第1位到第第n位的总增幅;

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明:2、5、10、17……,求第n位数。

分析:数列的增幅分别为:3、5、7,增幅以同等幅度增加。那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是:3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为:

〔3+(2n-1)〕×(n-1)÷2=(n+1)×(n-1)=n2-1

所以,第n位数是:2+ n2-1= n2+1

此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了。

(三)增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如:2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

(三)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧。

二、基本技巧

(一)标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。

例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,……。试按此规律写出的第100个数是 。

解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较:

给出的数:0,3,8,15,24,……。

序列号: 1,2,3, 4, 5,……。

容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1。

(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。

例如:1,9,25,49,(),(),的第n为(2n-1)2

(三)看例题:

A: 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即:n3+1

B:2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关 即:2n

(四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用

(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。

例:2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列:

0、3、8、15、24……,

序列号:1、2、3、4、5

分析观察可得,新数列的第n项为:n2-1,所以题中数列的第n项为:(n2-1)+2=n2+1

(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。

例 : 4,16,36,64,?,144,196,… ?(第一百个数)

同除以4后可得新数列:1、4、9、16…,很显然是位置数的平方。

(六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见。

(七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。

三、基本步骤

1、 先看增幅是否相等,如相等,用基本方法(一)解题。

2、 如不相等,综合运用技巧(一)、(二)、(三)找规律

3、 如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧(一)、(二)、(三)找出新数列的规律

4、 最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法(二)解题

四、练习题

例1:一道初中数学找规律题

0,3,8,15,24,??????

2,5,10,17,26,?????

0,6,16,30,48??????

(1)第一组有什么规律?

(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系?

(3)取每组的第7个数,求这三个数的和?

2、观察下面两行数

2,4,8,16,32,64, ...(1)

5,7,11,19,35,67...(2)

根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和。(要求写出最后的计算结果和详细解题过程。)

3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?

4、 3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……

用含有N的代数式表示规律

写出两个连续技术的平方差为888的等式

五、对于数表

1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律

2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差

摘 要:

北师大版七年级数学上册《字母表示数》这一章是开启整个初中阶段代数学习大门的钥匙,《探索规律》是学生初步学习数学符号语言后再应用方面的升华。规律问题作为一种全新的题型,因其渗透了丰富的数学建模、分类讨论、类比等数学思想而成为学生感到难度较大的问题。解决此类问题要经历一个观察、分析、猜想判断、归纳总结、验证数学规律的过程。其关键是要强化分类意识,并力求找出各部分的共性才能使问题变得简单。下面就这类问题加以归类解析。 代数中的规律问题:

规律问题的设置,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律,常常包含着事物的序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。

例题1、观察下列个数:1,4,9,16,25??,按此规律写出第n个数为( )

解析:第一步,寻找个体的共性:各个数均为平方数;

第二步,寻找个体的特性,探求特性中的共性(即:找到第一

个数与1的关系,第而个数与2的关系,第三个数与3的关系??,并且考察是否具有相同的关系)

第一个数:12;

第二个数:22;

第三个数:32;

第四个数:42;

第五个数:52;

??

照此规律下去就有: 第n个数:n2(特点:各个数都和n有关,并且都是n的平方,而“n的平方”就是特性中的共性)。

第三步:验证猜想:当n=1,2,3??时都符合,因此猜想正确。 例题2、数学教师巴尔默成功的从光谱数据9/5,16/12,25/21,36/32??得到巴尔默公式,从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据。

解析:第一步,寻找共性:都是分数,并且分子都比分母大4;

第二步,寻找个体的特性,探求特性中的共性,因为是分数,因此要进行分类分析:

(1)分子分别是:9,,16,25,36??(特点:其共性为:都是平方数)

第一个数 :32=(1+2)2;

第二个数: 42=(2+2)2;

第三个数: 52=(3+2)2;

第四个数: 62=(4+2)2;

照此规律下去: 第n个数:()=(n+2)2;(特点:其特性中的共性是每一个数都和相应的n有关,并且关系都是n+2)。

(2)分子出来了,分母分别在分子的基础上减去4即可。

第三步:验证猜想:当n=1,2,3??时都符合,因此猜想正确。 则第七个数为81/77;

例题3、研究下列各式,你会发现什么规律?

1x3+1=4=22;

2x4+1=9=32;

3x5+1=16=42 ;

4x6+1=25=52;

??

那么,第n个等式是什么?请将你找出的规律用含n(n是自然数)的公式表示出来。

解析:

第一步,寻找共性及特性中的共性。如果题目比较复杂,或者包含的变量比较多。解题的时候,不但考虑已知数的序列号,还要考虑其他因素,因此必须分类进行:

(1)等号左边第一个数字分别为:1,2,3,4??(特点:第一个式子为1,第二个式子为2,第三个式子为3,第四个式子为4??照此规律,第n个式子是n,所以其共性为:每个式子的第一个数字都和n相等);

(2)等号左边第二个数字分别为:3, 4, 5, 6??(特点:第一个式子是3=1+2,第二个式子是4=2+2,第三个式子是5=3+2,第四个式子是6=4+2??照此规律,第n个式子是n+2,其共性为:每个数字都和n有关,并且都是n+2);

(3)等号左边第三个数字都是+1(共性很明显);

(4)等号右边都是平方数,分别为:22 ,32,42,52??(特点:第一个数字是22=(1+1)2,第二个数字是32=(2+1)2,第三个数字是42=(3+1)2,第四个数字是52=(4+1)2,照此规律,第n个数字是(n+1)2,其共性为每个数字都和n有关,并且都是(n+1)2);

第二步:验证:当n=1,2,3??时都符合,因此猜想正确。则第n个式子为:n(n+2)+1=(n+1)2;

平面图形中的规律问题:

解决规律问题的关键是寻找各部分的共性,数字规律应遵循,图形中的规律问题也要遵循。当难以直接找到共性时,则可以通过抓住相邻两个数字或两个式子、两个图形之间的关系来实现。并且抓住了变量,就等于抓住了解决问题的关键。

例题1、观察如图所示的四个点阵,表示每个点阵中的点的个数,

按照图形中的点的个数变化规律,

猜想第n个点阵中点的个数s为()

第一个s=1 第二个s=5

第四个s=13 第三个s=9

??

解析:第一步,寻找共性:观察几个数字分别为:1,5,9,13??,寻找共性不好直接入手,则可以通过寻找相邻两个数字的关系来完成:

第一个:s=1=1+0x4 ;

第二个:s=5 =1+4=1+1x4 ;

第三个:s=9 =5+4=1+4+4=1+2x4 ;

第四个:s=13=9+4=5+4+4=1+4+4+4=1+3x4;

??

照此规律,第n个s=1+4(n-1);

第二步,验证猜想:当n=1,2,3??时都符合,因此猜想正确。 例题2、如图,如果用n表示等边三角形上的小圆圈数,m表示这个三角形中小圆圈的总数,那么m和n的关系是什么?

??

解析:第一步:寻找共性(当直接从数字关系寻找共性不好操作时,则可以从图形本身做文章,通过寻找每相邻两个图形之间的关系来找出其中的共性,其技巧为:从第二个图形开始,在每个图形中整体把前一个图形找到,看在前一个的基础上变化了几个)。

第一个: 此时m=1;

第二个: 此时m=1+2=3;

第三个: 此时m=3+3=1+2+3=

6;

第四个: 此时m=6+4=3+3+4=1+2+3+4=10;

第五个: 此时m=10+5=6+4+5=3+3+4+5=1+2+3+4+5=15;

??

照此规律,第n个为m=1+2+3+4+?+n=n(n+1)/2;

第二步:验证猜想:当n=1,2,3??时都符合,因此猜想正确。 总之,在求解规律问题时,要求学生必须熟练掌握数学建模、分类讨论、数形结合,类比等数学思想,始终遵循“寻找共性——寻找特性中的共性”这一原则,操作起来便会有章可循。

初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,

一、基本方法--看增幅

(一)如增幅相等(此实为等差数列):对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为:a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。

例:4、10、16、22、28......,求第n位数。

分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是:4+(n-1)&time 6=6n-2

(二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列)。如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是:1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅;

2、求出第1位到第第n位的总增幅;

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明:2、5、10、17......,求第n位数。

分析:数列的增幅分别为:3、5、7,增幅以同等幅度增加。那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是:3+2&time (n-2)=2n-1,总增幅为:

[3+(2n-1)]&time (n-1)2=(n+1)&time (n-1)=n

所以,第n位数是:2+ n

此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了。

(三)增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如:2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

(三)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧。

二、基本技巧

(一)标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。

例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,......。试按此规律写出的第100个数是 。

解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较:

给出的数:0,3,8,15,24,......。

序列号: 1,2,3, 4, 5,......。

容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是n

-1,第100项是100

(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n

,或2n、3n有关。

例如:1,9,25,49,(),(),的第n为(2n-1)

(三)看例题:

A: 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18

答案与3有关且............即:n

B:2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关

即:2

(四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。

例:2、5、10、17、26......,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24......,

序列号:1、2、3、4、5

分析观察可得,新数列的第n项为:n

-1,所以题中数列的第n项为:(n

-1)+2=n

(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。

例 : 4,16,36,64,?,144,196,... ?(第一百个数)

同除以4后可得新数列:1、4、9、16...,很显然是位置数的平方。

(六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见。

(七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。

三、基本步骤

1、 先看增幅是否相等,如相等,用基本方法(一)解题。

2、 如不相等,综合运用技巧(一)、(二)、(三)找规律

3、 如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧(一)、(二)、(三)找出新数列的规律

4、 最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法(二)解题

四、练习题

例1:一道初中数学找规律题

0,3,8,15,24,······ 2,5,10,17,26,····· 0,6,16,30,48······

(1)第一组有什么规律?

(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系?

(3)取每组的第7个数,求这三个数的和?

2、观察下面两行数

2,4,8,16,32,64, ...(1)

5,7,11,19,35,67...(2)

根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和。(要求写出最后的计算结果和详细解题过程。)

3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?

4、 3^2-1^2=8&time 1 5^2-3^2=8&time 2 7^2-5^2=8&time 3 ......

用含有N的代数式表示规律

写出两个连续技术的平方差为888的等式

五、对于数表

1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律

2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差 五、数字推理基本类型

按数字之间的关系,可将数字推理题分为以下几种类型:

1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。

(1)等差关系。

12,20,30,42,( )

127,112,97,82,( )

3,4,7,12,( ),28

...

五、数字推理基本类型

按数字之间的关系,可将数字推理题分为以下几种类型:

1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。

(1)等差关系。

12,20,30,42,( )

127,112,97,82,( )

3,4,7,12,( ),28

(2)移动求和或差。从第三项起,每一项都是前两项之和或差。

1,2,3,5,( ),13

A.9B.11C.8 D.7

选C。1 2=3,2 3=5,3 5=8,5 8=13

0,1,1,2,4,7,13,( )

A.22 B.23 C.24 D.25

选C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和,所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。

5,3,2,1,1,( )

A.-3B.-2 C.0 D.2

选C。

2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种

(1)等比 从第二项起,每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。

8,12,18,27,(40.5)后项与前项之比为1.5。

6,6,9,18,45,(135)后项与前项之比为等差数列,分别为1,1.5,2,2.5,3

(2)移动求积或商关系。从第三项起,每一项都是前两项之积或商。

2,5,10,50,(500)

100,50,2,25,(2/25)

3,4,6,12,36,(216) 从第三项起,第项为前两项之积除以2

1,7,8,57,(457)后项为前两项之积 1

3.平方关系

1,4,9,16,25,(36),49

66,83,102,123,(146) 8,9,10,11,12的平方后 2

4.立方关系

1,8,27,(81),125

3,10,29,(83),127 立方后 2

0,1,2,9,(730) 后项为前项的立方 1

5.分数数列。

关键是把分子和分母看作两个不同的数列,有的还需进行简单的通分,则可得出答案

1/24/39/416/525/6(36/7)分子为等比,分母为等差

2/31/22/51/3 (1/4) 将1/2化为2/4,1/3化为2/6,可知下一个为2/8

6.质数数列

2,3,5,(7),11

4,6,10,14,22,(26)质数数列除以2

20,22,25,30,37,(48) 后项与前项相减得质数数列。

7.双重数列。

又分为三种:

(1)每两项为一组,如

1,3,3,9,5,15,7,(21) 第一与第二,第三与第四等每两项后项与前项之比为3

2,5,7,10,9,12,10,(13)每两项之差为3

1/7,14,1/21,42,1/36,72,1/52,( ) 两项为一组,每组的后项等于前项倒数*2

(2)两个数列相隔,其中一个数列可能无任何规律,但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。 22,39,25,38,31,37,40,36,(52) 由两个数列,22,25,31,40,( )和39,38,37,36组成,相互隔开,均为等差。

34,36,35,35,(36),34,37,(33) 由两个数列相隔而成,一个递增,一个递减

(3)数列中的数字带小数,其中整数部分为一个数列,小数部分为另一个数列。

2.01, 4.03, 8.04, 16.07,(32.11)整数部分为等比,小数部分为移动求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列,题目一般已经解出。特别是前两种,当数字的个数超过7个时,为双重数列的可能性相当大。

8.组合数列。

最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系后,才能较好较快地解决这类题。

1,1,3,7,17,41( )

A.89 B.99 C.109 D.119

选B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项*2 第一项

65,35,17,3,( )

A.1B.2C.0D.4

选A。平方关系与和差关系组合,分别为8的平方 1,6的平方-1,4的平方 1,2的平方-1,下一个应为0的平方 1=1

4,6,10,18,34,( )

A.50B.64C.66D.68

选C。各差关系与等比关系组合。依次相减,得2,4,8,16( ),可推知下一个为32,32 34=66 6,15,35,77,( )

A.106 B.117 C.136 D.163

选D。等差与等比组合。前项*2 3,5,7依次得后项,得出下一个应为77*2 9=163

2,8,24,64,( )

A.160 B.512C.124D.164

选A。此题较复杂,幂数列与等差数列组合。2=1*2的1次方,8=2*2的平方,24=3*2的3次方,64=4*2的4次方,下一个则为5*2的5次方=160

0,6,24,60,120,( )

A.186 B.210 C.220 D.226

选B。和差与立方关系组合。0=1的3次方-1,6=2的3次方-2,24=3的3次方-3,60=4的3次方-4,120=5的3次方-5。

1,4,8,14,24,42,( )

A.76B .66C.64D.68

选A。两个等差与一个等比数列组合

依次相减,得3,4,6,10,18,()

再相减,得1,2,4,8,(),此为等比数列,下一个为16,倒推可知选A。

9.其他数列。

2,6,12,20,( )

A.40B.32C.30D.28

选C。2=1*2,6=2*3,12=3*4,20=4*5,下一个为5*6=30

1,1,2,6,24,( )

A.48 B.96 C.120 D.144

选C。后项=前项*递增数列。1=1*1,2=1*2,6=2*3,24=6*4,下一个为120=24*51,4,8,13,16,20,( )

A.20B.25C.27D.28

选B。每三项为一重复,依次相减得3,4,5。下个重复也为3,4,5,推知得25。

27,16,5,( ),1/7

A.16B.1C.0D.2

选B。依次为3的3次方,4的2次方,5的1次方,6的0次方,7的-1次方。

四、解题方法

数字推理题难度较大,但并非无规律可循,了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。

1.快速扫描已给出的几个数字,仔细观察和分析各数之间的关系,尤其是前三个数之间的关系,大胆提出假设,并迅速将这种假设延伸到下面的数,如果能得到验证,即说明找出规律,问题即迎刃而解;如果假设被否定,立即改变思考角度,提出另外一种假设,直到找出规律为止。

2.推导规律时往往需要简单计算,为节省时间,要尽量多用心算,少用笔算或不用笔算。

3.空缺项在最后的,从前往后推导规律;空缺项在最前面的,则从后往前寻找规律;空缺项在中间的可以两边同时推导。

(一)等差数列

相邻数之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减。等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式:

自然数数列:1,2,3,4,5,6......

偶数数列:2,4,6,8,10,12......

奇数数列:1,3,5,7,9,11,13......

例题1 :103,81,59,( ),15。

A.68 B.42 C.37 D.39

解析:答案为C。这显然是一个等差数列,前后项的差为22。

例题2:2,5,8,( )。

A.10 B.11 C.12 D.13

解析:从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列,即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5,第一个数字为2,两者的差为3,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即8 3=11,第四项应该是11,即答案为B。 例题3:123,456,789,( )。

A.1122 B.101112 C.11112 D.100112

解析:答案为A。这题的第一项为123,第二项为456,第三项为789,三项中相邻两项的差都是333,所以是一个等差数列,未知项应该是789 333=1122。注意,解答数字推理题时,应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律,而不能从数字表面上去找规律,比如本题从123,456,789这一排列,便选择101112,肯定不对。

例题4: 11,17,23,( ),35。

A.25 B.27 C.29 D.31

解析:答案为C。这同样是一个等差数列,前项与后项相差6。

例题5: 12,15,18,( ),24,27。

A.20 B.21 C.22 D.23

解析:答案为B。这是一个典型的等差数列,题中相邻两数之差均为3,未知项即18 3=21,或24-3=21,由此可知第四项应该是21。

(二)等比数列

相邻数之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字推理测验中,也是排列数字的常见规律之一。

例题1: 2,1,1/2,( )。

A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1

解析:从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列,即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。题中第二个数字为1,第一个数字为2,两者的比值为1/2,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即(1/2)/2,第四项应该是1/4,即答案为B。 例题2: 2,8,32,128,( )。

A.256 B.342 C.512 D.1024

解析:答案为C。这是一个等比数列,后一项与前一项的比值为4。

例题3: 2,-4,8,-16,( )。

A.32 B.64 C.-32 D.-64

解析:答案为C。这仍然是一个等比数列,前后项的比值为-2。

(三)平方数列

1、完全平方数列:

正序:1,4,9,16,25

逆序:100,81,64,49,36

2、一个数的平方是第二个数。

1)直接得出:2,4,16,( )

解析:前一个数的平方等于第二个数,答案为256。

2)一个数的平方加减一个数等于第二个数:

1,2,5,26,(677) 前一个数的平方加1等于第二个数,答案为677。

3、隐含完全平方数列:

1)通过加减一个常数归成完全平方数列:0,3,8,15,24,( )

前一个数加1分别得到1,4,9,16,25,分别为1,2,3,4,5的平方,答案35

2)相隔加减,得到一个平方数列:

例:65,35,17,( ),1

A.15 B.13 C.9 D.3

解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是:65等于8的平方加1,35等于6的平方减1,17等于4的平方加1,所以下一个数应该是2的平方减1等于3,答案是D。

例:1,4,16,49,121,( )。(2005年考题)

A.256 B.225 C.196 D.169

解析:数列为12,22,42,72,112;1,2,4,7,11前后两项的差是:1,2,3,4因而下一个数应该是162所以答案是A.256。

例:2,3,10,15,26,( )。(2005年考题)

A.29 B.32 C.35 D.37

解析:数列为12 1,22-1,32 1,42-1,52 1因而下一个数应该是62-1=35所以答案是C.35。

(四)立方数列

立方数列与平方数列类似。

例题1: 1,8,27,64,( )

解析:数列中前四项为1,2,3,4的立方,显然答案为5的立方,为125。

例题2:0,7,26,63 ,( )

解析:前四项分别为1,2,3,4的立方减1,答案为5的立方减1,为124。

例3:-2,-8,0,64,( )。(2006年考题)

A.64 B.128 C.156 D。250

解析:Fn=(n-3)×n3 因此最后一项因该为(5-3)×53=250 选D

例4:0,9,26,65,124,( )(2007年考题)

解析:前五项分别为1,2,3,4,5的立方加1或者减1,规律为偶数相加1,奇数相减1。即:an=n3 (-1)n。答案为239。

在近几年的考试中,也出现了n次幂的形式

例5:1,32,81,64,25,( ),1。(2006年考题)

A.5 B.6 C.10 D.12

解析:逐项拆解容易发现 1,25,34,43,52,?,1。则答案已经很明显了6的1次幂,即6 选B

(五)加法数列

数列中前两个数的和等于后面第三个数:Fn 2=Fn 1 Fn

例题1: 1,1,2,3,5,( )。

A8 B7 C9 D10

解析:第一项与第二项之和等于第三项,第二项与第三项之和等于第四项,第三项与第四项之和等于第五项,按此规律3 5=8答案为A。

例题2: 4,5,( ),14,23,37

A 6 B 7 C 8 D 9

解析:与例一相同答案为D

例题3: 22,35,56,90,( ) 99年考题

A 162 B 156 C 148 D 145

解析:22 35-1=56 35 56-1=90 56 90-1=145,答案为D

(六)减法数列

前两个数的差等于后面第三个数:Fn 2=Fn 1-Fn

例题1:6,3,3,( ),3,-3

A 0 B 1 C 2 D 3

解析:6-3=3 3-3=0 3-0=3 0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了:"空缺项在中间,从两边找规律")

(七)乘法数列

1、前两个数的乘积等于第三个数

例题1:1,2,2,4,8,32,( )

前两个数的乘积等于第三个数,答案是256。

例题2:2,12,36,80,() (2007年考题)

A.100 B.125 C.150 D.175

解析:2×1 3×4 4×9 5×16 自然下一项应该为6×25=150 选C。

2、两数相乘的积呈现规律:等差,等比,平方等数列。

例题2:3/2, 2/3, 3/4,1/3,3/8 ( ) (99年海关考题)

A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9

解析:3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16 答案是 A。

(八)除法数列

与乘法数列相类似,一般也分为如下两种形式:

1、两数相除等于第三数。

2、两数相除的商呈现规律:顺序,等差,等比,平方等。

(九)质数数列

由质数从小到大的排列:2,3,5,7,11,13,17,19...

(十)循环数列

几个数按一定的次序循环出现的数列。

例:3,4,5,3,4,5,3,4,5,3,4

以上数列只是一些常用的基本数列,考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的,下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。

1、二级数列

这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。 例1:2 6 1 2 20 30 ( )(2002年考题)

A.38 B.42 C.48 D.56

解析:后一个数与前一个数的差分别为:4,6,8,10这显然是一个等差数列,因而要 选的答案与30的差应该是12,所以答案应该是B。

例2:20 22 25 30 37 ( ) (2002年考题)

A.39 B.45 C.48 D.51

解析:后一个数与前一个数的差分别为:2,3,5,7这是一个质数数列,因而要选的答案与37的差应该是11,所以答案应该是C。

例3:2 5 1 1 20 32 ( ) (2002年考题)

A.43 B.45 C.47 D.49

解析:后一个数与前一个数的差分别为:3,6,9,12这显然是一个等差数列,因而要 选的答案与32的差应该是15,所以答案应该是C。

例4:4 5 7 1l 19 ( ) (2002年考题)

A.27 B.31 C.35 D.41

解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,2,4,8这是一个等比数列,因而要 选的答案与19的差应该是16,所以答案应该是C。

例5:3 4 7 16 ( ) (2002年考题)

A.23 B.27 C.39 D.43

解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,3,9这显然也是一个等比数列,因而要 选的答案与16的差应该是27,所以答案应该是D。

例6:32 27 23 20 18 ( ) (2002年考题)

A.14 B.15 C.16 D.17

解析:后一个数与前一个数的差分别为:-5,-4,-3,-2这显然是一个等差数列,因而要 选的答案与18的差应该是-1,所以答案应该是D。

例7:1, 4, 8, 13, 16, 20, ( ) (2003年考题)

A.20 B.25 C.27 D.28

解析:后一个数与前一个数的差分别为:3,4,5,3,4这是一个循环数列,因而要 选的答案与20的差应该是5,所以答案应该是B。

例8:1, 3, 7, 15, 31, ( ) (2003年考题)

A.61 B.62 C.63 D.64

解析:后一个数与前一个数的差分别为:2,4,8,16这显然是一个等比数列,因而要 选的答案与31的差应该是32,所以答案应该是C。

例9:( ),36,19,10,5,2(2003年考题)

A.77 B.69 C.54 D.48

解析:前一个数与后一个数的差分别为:3,5,9,17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数,后面的数应该是17*2-1=33,因而33 36=69答案应该是 B。

例10:1,2,6,15,31,( ) (2003年考题)

A.53 B.56 C.62 D.87

解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,4,9,16这显然是一个完全平方数列,因而要 选的答案与31的差应该是25,所以答案应该是B。

例11:1,3,18,216,( )

A.1023 B.1892 C.243 D.5184

解析:后一个数与前一个数的比值分别为:3,6,12这显然是一个等比数列,因而要 选的答案与216的比值应该是24,所以答案应该是D:216*24=5184。

例12: -2 1 7 16 ( ) 43

A.25 B.28 C.3l D.35

解析:后一个数与前一个数的差值分别为:3,6,9这显然是一个等差数列,因而要 选的答案与16的差值应该是12,所以答案应该是B。

例13:1 3 6 10 15 ( )

A.20 B.21 C.30 D.25

解析:相邻两个数的和构成一个完全平方数列,因而答案应该是B

近年来有关规律探索性题目在初中数学中考试题中频繁出现,这类题目要求学生学会观察,懂得分析,善于归纳、总结,不仅有利于促进学生数学知识和数学方法的巩固和掌握,也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养,

一、依据数列找寻规律

依据数列找寻规律就是根据数列中每一个数自身特点和数列中前后数之间的联系来发现、归纳规律。

12346

10,17,,37, 例1. (2007年舟山市中考模拟题)观察下列有规律的数:2,5,??

根据此规律写出(1)第5个数是_________,(2)第n个数是_________。

解析:观察数列,组成数列的每一个数都是分数,分子依次是1,2,3,4,而每个分

5

子的分母比分子的平方大1,因此第5个数的分子是5、分母是26,所以第5个数是26;

n

22第n个数的分子是n,分母是n?1,所以第n个数是n?1。

二、利用计算器找寻规律

计算器找规律就是利用计算器快速精确的运算能力,探索发现规律。

例2. (2006年嘉兴市中考题)定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结

nn

kk果为3n?5;②当n为偶数时,结果为2(其中k是使2为奇数的正整数)。并且运算重

复进行,例如,取n?26,则:

若n?449,则第449次“F运算”的结果是_________。

解析:使计算器进入普通运算状态,输入449,(1)运用“F运算”①得到1352,(2)运用“F运算”②(连续3次除以2)得到169,(3)运用“F运算”①得到512,(4)运用“F运算”②(连续9次除以2)得到1,(5)运用“F运算”①得到8,所以交替运用“F运算”②和“F运算”①,分别得到运算结果为1和8,归纳规律,则第449次“F运算”

的结果是8。

三、依据算式找寻规律

依据算式找寻规律就是根据每个算式自身特点,以及前后算式之间的联系发现归纳规律。

22 例3. (2003年安徽省中考题)老师在黑板上写出三个算式:5?3?8?2,

92?72?8?4,152?32?8?27,小明仿照这三个算式又给出了两个具有同样规律式算式:112?52?8?12,152?72?8?22,

(1)请你写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式;

(2)用文字写出反映上述算式的规律;

(3)证明这个规律的正确性。

解析:观察老师与王明提供的算式的左边是两个奇数的平方差,右边都是8的倍数,这说明“任意两个奇数的平方差都等于8的倍数”。

2222(1)根据分析易得11?3?8?14,13?7?8?15;

(2)规律:任意两个奇数的平方差都等于8的倍数;

(3)证明:设m、n为整数,则2m?1、2n?1分别表示两个奇数,

22????2m?1?2n?1?4?m?n??m?n?1?, 因为

所以m?n、m?n是同奇偶的,则m?n、m?n?1是一奇一偶,所以4?m?n??m?n?1?一定是8的倍数,所以任意两个奇数的平方差都等于8的倍数。

四、利用“数形结合”思想方法找寻规律

数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,根据数据的特点,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,快速准确发现规律。

例4. (2007年河南省中考题)将图1所示的正六边形进行分割得到图2,再将图2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图3,再将图3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割??,则第n个图形中,共有_________个正六边形。

解析:通过观察发现,第1个图案是个正六边形。第2个图案是在第1个图形的基础上加上了3个正六边形,即4个正六边形,第3个图案是在第2个图形的基础上加上3个正六边形,即7个正六边形,根据前面三次分割所得正六边形个数分别为1,4,7,分析数据的特点可知后面的数比前面的数大3,从而发现其中的规律,得出第n个图形共有?3n?2?个正六边形,或者根据分割图形的方案可知,每分割一次,正六边形就增加3个,从而得出答案。

五、依据图表找寻规律

依据图表找寻规律就是图表中每一行前后数、每一列上下数之间联系,以及上下行、前后列之间的联系,发现归纳规律。

例5. 观察表1,寻找规律,表2、表3、表4分别是从表1中截取的一部分,其中a、b、

c的值分别为_________。

A. 20、29、30 B. 18、30、26 C. 18、20、26 D. 18、30、28 解析:通过对表格的观察、分析,可以从行或列中找到规律,表2中的12、15分别是3的4倍、5倍,应该属于表中第三列,所以a是3的6倍,故a?18;同理表3属于第五、六列,故b?30;在研究表4之前可以先由排除法得到答案是(B)、(D)两者之一,经验算容易得到c?28,所以答案选(D)。

六、通过实验、操作找寻规律

通过实验操作,寻找某个问题的数量关系,通过合情推理,验证某种数学猜想等解决数学问题。

例6. (2007年四川资阳)如图4,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B?2AB,B1C?2BC,C1A?2CA,

B1C1,B1、C1,顺次连接A1、得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B1,

C1A1至点A2,B2,C2,使得A2B1?2A1B1,B2C1?2B1C1,C2A1?2C1A1,顺次连

B2,C2,接A2,得到△A2B2C2,记其面积为S2?,按此规律继续下去,可得到△A5B5C5,则其面积为S5=_________。

解析:此题的解题思路是先操作,再计算,得到S2与S1的关系,再通过对解题过程的思考,可以推测每进行一次操作,如图5,连接BC1,因C1A?2CA,△ABC的面积为1, 所以△ABC1的面积为2,因A1B?2AB,所以△A1BC1的面积为4,所以△A1AC1的面积为6,同理可得△CB1C1和△A1B1B的面积也为6,所以S1?19,也就是将△ABC进行第一次操作,所得△A1B1C1的面积为△ABC面积的19倍,同理可得S2?19S1,可以推得S5?194S1?195。

初中数学学习方法浅谈

点击数:3775 次 录入时间:2012/2/24 14:29:00 编辑:zhangwei19910302 [宣传赚点]

初中数学学习的一些基本要求:一、初中数学的基本内容:1.数与代数;2.空间与图形;

3.统计与概率;4.实践与综合应用。二、初中常用的数学思想:1.特殊与一般的数学思想;

2.整体的数学思想;3.分类讨论的数学思想;4.转化的数学思想;5.数形结合的数学思想;

6.函数与方程的思想。三、初中常用的数学方法:配方法、消元法、换元法、待定系数法、构造法、主元法、面积法、类比法、参数法、降次法、图表法、估算法、分析法、综合法、拼凑法、割补法、反证法、倒数法、同一法等。

根据上述学习要求,龚老师从以下四个方面阐述了怎样科学地学习数学。

一、初中生数学学习存在的主要障碍

1.依赖心理。

2.急躁心理。

3.定势心理。

4.偏重结论。

二、初中生课前的数学学习方法

1.课前的预习方法:一看、二读、三做。

2.不同的知识预习方法有所不同。

(1)数学概念的学习方法:

①读概论,记住名称或符号;

②阅读背诵定义,掌握特性;

③举出正反实例,体会概念反映的范围;

④进行练习,准确地判断;

⑤与其他概念相比较,弄清概念间的关系。

(2)数学公式的学习方法:

①正确书写公式,记住公式中字母间的关系;

②懂得公式的来龙去脉,掌握推导过程;

③用数字验算公式,在公式具体化过程中体会公式中反映的规律;

④将公式进行各种变换,了解其不同的变化形式;

⑤变化公式中的字母所蕴含的内容,达到自如地应用公式。

(3)数学定理的学习方法:

①背诵定理;

②分清定理的条件和结论;

③理解定理的证明过程;

④应用定理证明有关问题;

⑤体会定理与有关定理和概念的内在关系。

三、初中生课上的数学学习方法

1.看:就是上课要注意观察,观察教师板书的过程、内容、理解老师所讲的内容。

2.听:就是直接用感官接受知识,应在听的过程中明确:(1)听每节课的学习目的和学

习要求;(2)听新知识的引入及知识的形成过程;(3)理解教师对新课的重点、难点的剖析;

(4)听例题解法的思路和数学思想方法的体现。

3.思:就是指思考问题,要做到:(1)多思、勤思,随听随思;(2)深思,即追根溯源地思考,要善于大胆提出问题,如:本节课教师为什么要这样讲?这道题为什么要这样做?等等;(3)善思,由听和观察去联想、猜想、归纳;(4)树立辩证意识,学会反思。

4.记:就是指记课堂笔记。

(1)记笔记服从听讲,要结合教材来记,要掌握记录时机;

(2)记要点、记疑问、记易错点、记解题思路和方法、记老师所补充的内容;

(3)记小结、记课后思考题。记是为听和思服务的。记笔记有助于将知识简化、深化、系统化。

四、初中生课后数学学习方法

1.完成作业方法:

(1)如何将文字语言转化为符号语言;

(2)如何将推理思考的解题过程用文字书写表达出来;

(3)正确地由条件画出图形。

2.课后复习巩固方法:

(1)适当多做题,养成良好的解题习惯;

(2)细心地挖掘概念和公式;

(3)总结相似的类型题目;

(4)收集典型错误和不会做的题目。

3.培养反思的习惯:

(1)讲课内容及所学的数学思想和方法(2)课上掌握情况

(3)没掌握的内容及原因

(4)做作业情况

(5)一天中学习数学的时间

(6)对自己说几句话

4.小结或总结的方法:

初中代数基本方法的总结

来源:网络资源 | 作者:未知 |

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基本方法

1、配方法

所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。

7、反证法

反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。

反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯一、至少有两个。

归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

8、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。

9、几何变换法

在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换

主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。

几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。

10、客观性题的解题方法

选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。

填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。

要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。

(1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。

(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。

(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。

(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。

(5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。

(6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,称为分析法。

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

12.两圆的内(外)公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。

6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中,大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大。 5.同圆或等圆中,弧大弦大,弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 证明两角的不等 1.同一三角形中,大边对大角。 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。 3.在两个三角形中有两边分别相等,第三边不等,第三边大的,两边的夹角也大。 4.同圆或等圆中,弧大则圆周角、圆心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比例。 2.利用内外角平分线定理。 3.平行线截线段成比例。 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。 5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。 6.利用比利式或等积式化得。 证明四点共圆 1.对角互补的四边形的顶点共圆。 2.外角等于内对角的四边形内接于圆。 3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。 4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。 5.到顶点距离相等的各点共圆。

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