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九年级上数学变式训练

发布时间:2013-09-30 08:32:06  

九年级上册·课本亮题拾贝

绵阳市教育科学研究所 张继海

课本中的例、习题是经过编者反复琢磨,认真筛选后精心设置的,具有一定的探究性.在教学的过程中要立足课本,充分发挥课本例、习题的教学功能,可以有效地避免题海战术,不但有利于巩固基础知识,而且还能增强同学们的应变能力,发展创新思维,提高数学素养.

21.1 二次根式

2题目 计算:(?)2.(人教课本P8 2(4)题) 3

222解 原式=(?)2?()2?. 333

点评 大家知道,当a≥0时,a2有意义,且a2?a.而当a<0时,a2也有意义,22此时a2?|a|,进一步的,则等于-a(-a>0).为了预防解题粗心出错(如(?)2??),33

通常是根据平方(或立方)的意义,先处理掉(好)符号,再按有关顺序和规定运算.

演变

4123(2)2(答案:(1) (2)) 9432

12变式2 当x 时,式子在实数范围内有意义? (答案:>) 33x?2

变式3 若n?2是整数,求正整数n的值(至少写出3个).

(答案:n = 1,2,9,17等.)

1变式4 是否存在正整数n,使得是有理数?若存在,求出一个n的值;若不存3n?2

在,请说明理由.

1解 假设存在正整数n,使是有理数,则因为3n + 2是正整数,所以3n + 2应3n?2

该是一个完全平方数.

假设3n + 2等于k(k≥3,k是正整数)的平方,则k = 3p或者3p + 1或者3p + 2,也就是说k除以3余0或者1或者2,而(3p)2 除以3余0,(3p + 1)2 = 9p2 + 6p + 1,(3p + 2)2 = 9p2 + 12p + 4 除以3都余1,所以没有数的平方除以3余2.表明3n + 2不是完全平方数,

1从而假设不成立,因此,不存在正整数n,使是有理数. n?2

21.2 二次根式的乘除

题目 计算:27?50?.(人教课本P15 6(4)题) 变式1 填空:(1)

解 原式=32?3?52?2?6?3?52?6?15(?2)?6= 15.

27?50?9?25?15. 6

点评 进行二次根式的乘除运算时,根据乘法、除法规定(a??ab(a、b≥0),另法 原式=aa?(a≥0,b>0)),可以从左往右正向使用(如另法),也可以从右往左逆向使用(法bb

1

一),往往可视其具体题目的数字特点和结构特征,灵活选用.一般情况是尽可能先把根式化简,大数化小,遇到字母开平方时,必须注意字母的正、负性(或讨论).

演变

变式1 填空:(1)?27?50= ;

109(2)27??= . (答案:(1) (2)) 35

因为原式=33?52?2?(2?),2 + 3 = 5,

所以设2 = a,3 = b,则 5 = a + b,题目可演变成如下形式:

变式2 化简:b3?a(a?b)2?ab.

解 原式=[b?(a?b)a]?(a?)= b(a + b)= ab + b2.

若赋予a一些不同的值(相应的可得到b的值),则可得到一组二次根式的乘法除法试题. 变式3 甲、乙两同学在化简 25x3?y?xxy 时,采用了不同的方法:

甲: 因为x,y是二次根式的被开方数,且在分母上,所以x>0,y>0,

于是令 x = 1,y = 1,代入可得,原式=25??5?5.

乙: 原式=52?x2?x?y?x?(?x?y)?5xy.

从而得出了不同的结果.请指出甲、乙同学的做法是否正确?说明理由.

解 甲,乙两同学的做法都不正确. 甲同学犯了以特殊代替一般的错误,虽然最终结果是5. 乙同学对题目形式上的意义理解错误,通常y5xy是一个整体,是被除式.

正确解法是:原式=52?x2?x?y?(x5xy)?(5xx?y)?(xx?y)?.

21.3 二次根式的加减

题目 已知x?3?1,y?3?1,求下列各式的值:

(1)x2 + 2xy + y2; (2)x2-y2. (人教课本P21 6题)

解 ∵ x?3?1,y?3?1,

∴ x?y?23,x-y = 2,xy = 2.

于是 x2 + 2xy + y2 =(x + y)2 =(23)2?12,

x2-y2 =(x + y)(x-y)=23?2?4.

点评 本题属于“给值求值”类型,一般不宜直接代入算值.通常的思路是:先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简,充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系,然后再看情况灵活地代入,往往能简捷而巧妙地求值.

演变

a2?2ab?b2ab变式1 已知a?1?2,b?1?2,求:(1),(2)?的值. 22baa?b

解 由已知可得a + b = 2,a?b?22,ab =-1.

(a?b)2a?b22???(1)原式=. (a?b)(a?b)a?b222

a2?b2(a?b)(a?b)2?22????42. (2)原式=abab?1

变式2 如果实数a,b满足a2 + 2ab + b2 = 12,a2?b2?4,求

2 a?b的值. b

a2?2ab?b2(a?b)2a?b12解 显然b≠0,于是由已知,得????3, (a?b)(a?b)a?b4a2?b2

∴ a?b?3(a?b),即 (3?1)a?(?1)b, ?1(3?1)(?1)

说明 上述解法,既抓住了已知式的特征(两个等式的左边有公因式,约后能降次,但要注意是否为0啰!),又避免了解方程组的难点.本题还可以进一步求出a、b的值.

∵ x?3?1,∴(x-1)2 = 3,得x2-2x = 2,结合x≠0,两边除以x, 22222得x??2,注意到y??,则x2?2xy?y2?x2?2x?(?)?(?)2=x2?2?4,xxxxx

4x2?y2?x2?2,得 x

2424变式3 若实数x满足x??2,试求:(1)x2?2;(2)x?;(3)x2?2的值. xxxx

(答案 (1)8 (2)?23 (3)?2)

22.2 降次 —— 解一元二次方程

题目 无论p取何值时,方程(x-3)(x-2)-p2 = 0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.(人教课本P4612题)

解 原方程可化为x2-5x + 6-p2 = 0.

方程根的判别式为 △=(-5)2-4(6-p2)= 1 + 4p2,

对任何实数值p,有1 + 4p2>0, a有?b?1?(3?1)2?2?3,因此a?ba??1?(2?)?1?1?3. bb

5??4p25??4p2

∴ 方程有两个实数根 x1 =,x2 =,且两个根不相等. 22

5551另法 由 p2 =(x-3)(x-2)= x2-5x + 6 =[x2?5x?()2]?6?()2?(x?)2?, 2224

511151得 (x?)2?p2?,无论p取何值p2?≥,因此x??p2?. 242444

点评 解一元二次方程有配方法,公式法或因式分解法.一般来说,公式法对于解任何一元二次方程都适用,是解一元二次方程的主要方法,但在具体解题时,应具体分析方程的特点,选择适当的方法.

(1)要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时,常常只须考查方程根的判别式.

(2)见到含字母系数的二次方程,在实数范围内,首先应有△≥0;若字母在二次项系数中,则还应考虑其是否为0.

(3)关于一元二次方程有实数根问题,一般有三种处理方式(何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定):① 利用求根公式求出根来;② 利用根与系数的关系将这两个根的

bc和与积表达出来:x1 + x2 =? x1x2 =,以便后继作整体代换;③ 将根代入方程中进行整2aa

体处理.

演变

等,可得如下确定的方程: 22解方程:(1)x-5x + 6 = 0;(2)x2-5x + 1 = 0;(3)4x2-20x + 21 = 0. 变式1 分别对p赋值0,2,?

3

变式2 当x取什么范围内的值时,由方程(x-3)(x-2)-p2 = 0确定的实数p存在?请说明理由.

解 对任意实数p,有p2≥0,所以只需p2 =(x-3)(x-2)≥0,利用同号相乘得正的

?x?3?0,?x?3?0,原理,得x应满足 ? 或 ? 解得x≥3或x≤2. ?x?2?0,?x?2?0,

表明,当x取x≤2或x≥3范围内的实数时,由方程(x-3)(x-2)-p2 = 0确定的实数p存在.

变式3 指出方程(x-3)(x-2)-p2 = 0的实数根所在的范围?

5151解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x1 =??4p2,x2 =??4p2, 2222

5151且对任意实数p,有1 + 4p2≥1,∴ 有x1≥??3,x2≤??2, 2222

即方程的实数根所在的范围是x≤2或x≥3.

变式4 试求y =(x-3)(x-2)的最小值.

5551解 由 y =(x-3)(x-2)= x2-5x + 6 =[x2?5x?()2]?6?()2?(x?)2?, 2224

15得 y的最小值为,当x?时取得. 42

22.3 实际问题与一元二次方程

题目 如图,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中

有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2,如果要使彩条

所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(精确

到0.1 cm)?(人教课本P5310题)

分析 结合图形,阅读理解题意(数形结合).矩形图案中,长30 cm,宽20 cm.现设计了横、竖彩条各2条,且其宽度比为3:2,于是设横彩条宽为3x cm,则竖彩条的宽就为2x cm,其长与矩形图案的长宽相关.等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”.

解 根据题意,设横向彩条的宽为3x,则竖向彩条的宽为2x,于是,

1建立方程,得 2?30?3x?2?20?2x?4?3x?2x??30?20, 4

化简,得 12x2-130x + 75 = 0.

65?5?0.611. 12

因此横向彩条宽1.8 cm,竖向彩条宽1.2 cm. 解得 x?另法 如图,建立方程,得 30?6x?4x(20?6x)?

法三 如图,建立方程,得 (30?4x)(20?6x)?1?30?20. 43?30?20. 4

点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为:

(1)设:即设好未知数(直接设未知数,间接设未知数),不要漏写单位;

(2)列:根据题意,列出含有未知数的等式,注意等号两边量的单位必须一致;

(3)解:解所列方程;

(4)验:一是检验是否为方程的解,二是检验是否为应用题的解;

(5)答:即答题,怎么问就怎么答,注意不要漏写单位.

演变

变式1

矩形图案的长、宽不变,但设计的两横两竖彩条的宽度相同,如果彩条的面积

4

25?5) 2

变式2 矩形图案的长、宽不变,现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形,其面积是整个矩形面积的四分之三,上下边等宽,左右等宽,应如何设计四周的宽度?

解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2,所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2,

3设其长为3x,则宽为2x,所以 2x?3x??30?20,得 x?53,从而上、下边宽为 4

15(2?3)(20?2x)?0.5?10?x?5(2?3),左、右宽为 (30?3x)?0.5?. 2

变式3 如图,一边长为30 cm,宽20 cm的长方形铁皮,四角各截去一个大小相同的正方形,将四边折起,可以做成一个无盖长方体容器.求所得容器的容积V关于截去的小正方形的边长x的函数关系式,并指出x的取值范围.

解 根据题意可得,V关于x的函数关系式为:

V =(30-2x)(20-2x)x.

即 V = 4x3-100x2 + 600x,

x的取值范围是0<x<10. 变式4 在一块长30 m、宽20 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占的面积为荒地面积的一半.

小明的设计方案如图甲所示,其中花园四周小路的宽度都相等.小明通过列方程,并解方程,得到小路的宽为2.5 m或22.5 m.

小亮的设计方案如图乙所示,其中花园每个角上的扇形(四分之一圆弧)都相同.

解答下列问题:

(1)小明的结果对吗?为什么?

(2)请你帮小亮求出图乙中的x ?

(3)你还有其他设计方案吗?

甲 乙

解 (1)小明的设计方案:由于花园四周小路的宽度相等,设其宽为x米.

1则根据题意,列出方程,得 (30?2x)(20?2x)??30?20,即 x2-25x + 75 = 0,解得x 2

25?525?525?5=或x =.由于矩形荒地的宽是20 m,故舍去x =,得花园四周222

25?5小路宽为m,所以小明的结果不对. 2

(2)小亮的设计方案:由于其中花园的四个角上均为相同的扇形,所以设扇形的半径为是图案面积的四分之一,求彩条的宽. (答案:x米,列方程得 ?x2?3103?1?m.(3)略. ?30?20,所以x?10??2

23.1 图形的旋转

题目 如图,△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与DC有什么关系?你能用旋转的

5

D 性质说明上述关系成立的理由吗?(人教课本P679题) A 解 ∵ △ABD是等边三角形,

E ∴ AB = AD,∠BAD = 60?.

同理AE = AC,∠EAC = 60?.

∴ 以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60? 就得到△CAD,

∴ △ABE≌△ADC,从而 BE = DC.

另法 ∵ △ABD

,△AEC都是等边三角形,

∴ AB = AD,AE = AC,∠BAD =∠EAC = 60?,

于是 ∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB.

从而有 △CAD≌△EAB,

∴ DC = BE.

点评 由于旋转是刚体运动,旋转前、后的图形全等,所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,疏通解题突破口.

演变 变式1 如图,△ABC和△ECD都是等边三角形, A △EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的?

说明理由.(人教课本P805题) B D 说明:如上题图,去掉BC,把D,A,E放在一直线上即得. 本题经过下列各种演变,原来的结论仍保持不变. (1)△ABC与△CDE在BC的异侧. (2)点C在BD的延长线上.

B (

3)C点在BD外. D (4)△ACD与△BDE在BD的异侧, B C 且D点在BC的延长线上. (5)△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三角形,即AB = AC,CE = DE,∠BAC =∠CED. A F B D C 变式2 如图,四边形ABCD,ACFG都是正方形,则BG 与CE有什么关系?说明理由. E 变式3 如图,△ABD,△AEC都是等腰直角三角形,则

BE与DC有什么关系?

24.1 圆 题目 如图,⊙O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,

∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC,AD,BD的长.

(人教课本P93例2) 解 ∵ AB是直径,∴ ∠ACB =∠ADB = 90?.

在Rt△ABC中,BC2 = AB2-AC2 = 102-62 = 82,即 BC = 8.

⌒=BD⌒,于是AD = BD. ∵ CD平分∠ACB, ∴ AD

又在Rt△ABD中,AD2 + BD2 = AB2,

6

22AB??10?52. 22

点评 在涉及圆中的有关弧,弦(直径),角(圆心角,圆周角)等问题中,垂径定理,同圆中的关系(在同圆或等圆中,圆心角相等 ? 弧相等 ? 弦相等 ? 弦心距相等 ? 圆周角相等)是转化已知,沟通结论的纽带.

其中半圆(或直径)所对的圆周角是直角还联结了勾股定理(将出现代数等式).

演变

变式1 在现有已知条件下,可进一步的,求四边形ACBD的面积等于多少?

解 由例题及解答可知,△ACB,△ADB都是直角三角形,于是四边形ACBD的面积等1111于S?ACB?S?ADB?AC?BC?AD?BD??6?8??52?52?49cm2. 2222

变式2 求内角平分线CE的长?

抽取出图形中的基本图Rt△ABC,因为AC:BC:AB = 3:4:5,于是, AC?BC24斜边上的高CD?,外接圆半径R = 5(也即斜边上的中线). ?AB5

设∠ACB的平分线为CE,过E

111设为x,于是CE?2x,由

?x?AC?x?BC?AC?BC,得 222

242AC?BC6?824, ∴ CE?. x??

?7

AC?BC6?87

变式3 如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与

三角形的外接圆交于点D,求证:BD = CD. 解 因为圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角

都等于它的内对角,所以有∠DAE =∠DCB,而∠DAC =∠DBC ∴ AD?BD?

⌒所对的圆周角相等)(同CD,结合题设AD是∠EAC的平分线, 则有∠DCB =∠DBC,所以 BD = CD.

变式4 如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?(课本P93练习第1题)

解 ∠1 =∠4,∠2 =∠7,∠3 =∠6,∠5 =∠8.

变式5 如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC =∠CPB = 60?,判断△ABC的形状并证明你的结论.(课本P95第11题)

解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60?,∴ ∠ABC =∠APC = 60?,因而△ABC是等边三角形. 24.2 与圆有关的位置关系

题目 如图,△ABC中,∠ABC = 50?,∠ACB = 75?,点O是内心,求∠BOC的度数.(人教课本P1061题) 解 ∵ O是△ABC内切圆的圆心(内心),

∴ OB,OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线.

∵ ∠ABC = 50?,∠ACB = 75?,

7 C

∴ ∠OBC = 25?,∠OCB = 37.5?,

因此 ∠BOC = 180?-25?-37.5? = 117.5?.

点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角,且到三条边的距离相等”这些事实,很容易促进角或线段的转化,突破关键,解决问题.

演变

变式1 已知周长为l的△ABC的内切圆半径等于r,求△ABC的面积.

解 设内心为O,连接OA,OB,OC,则OA、OB、OC把△ABC分割成三个易求的小三角形,其面积的和为:

11111S?ABC?S?ABO?S?BCO?S?ACO??AB?r?BC?r?CA?r=(AB?BC?CA)?lr. 22222

1变式2 如图,点O是△ABC的内心,则?BOC?90???A. 2

11解 ∵ ?BOC?180???B??C 2211=180??(?B??C)?180??(180???A), C 22

1∴ ?BOC?90???A. 2

说明 变式2有多种不同的解法,如连结AO并延长,或延长BO交AC于D等等,请读者探究,收获定当不少.

变式3 如图,△ABC中,∠B<∠C,O在∠A的平分线上,

求证:AB + OC>AC + OB.

证明 ∵ ∠B<∠C,∴ AB>AC,于是在AB上取点D, 使AD = AC,连结OD,则由已知和作图,可得

△AOC≌△AOD,进而OC = OD. C 在△OBD中,有 BD + OD>OB,

∴(AB + OC)-(AC + OB)=(AB-AD)+ OD-OB = BD + OD-OB>0,

故 AB + OC>AC + OB.

变式4 如图,△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点O,

过O的直线DE∥BC,DE分别交AB、AC于D、E, 求证:DE = BD + CE.

解 由已知DE∥BC,BD、CO分别平分∠B、∠C,可以发 C 现△BDO和△CEO是等腰三角形,于是有BD = DO,CE = OE,

因此BD + CE = DO + OE = DE.

变式5 如图,B、C在射线AD、AE上,BO、CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线.

(1)若∠A = 60?,则∠O为多少度? (2)若∠A = 90?,120? 时,∠O分别是多少度?

(3)求∠A 与∠O的关系式. 解 ∵ BO、CO是∠DBC和∠ECB的平分线, ∴ ∠DBC = 2∠2,∠ECB = 2∠3,

∴ ∠ABC = 180?-2∠2,∠ACB = 180?-2∠3.

O 在△ABC中,∠A +∠ABC +∠ACB = 180?,

∴ ∠A + 180?-2∠2 + 180?-2∠3 = 180?,

1即∠2 +∠3 = 90? + ∠A. 2

8

在△BOC中,∠2 +∠3 +∠O = 180?, ∴ ∠O = 90?-

(1)当∠A = 60? 时,∠O = 90?-1∠A. 21× 60? = 60?. 2

11(2)当∠A = 90? 时,∠O = 90?-× 90? = 45?.当∠A = 120? 时,∠O = 90?-× 120? 22

= 30?.

1(3)∠A 与∠O的关系式为∠O +∠A = 90?. 2

24.3 正多边形与圆 E 题目 画一个正五边形,再作出它的对角线,

得到如图所示的五角星.(人教课本P1172题)

解 先画一个圆,将圆五等分,分点依次为A,B,

C,D,E,顺次连结这些点,得正五边形ABCDE,再作

出正五边形的对角线AC,AD,BD,BE,CE,即得如图所示的五角星.

点评 正多边形与圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧(或把圆心角分成一些相等的角),就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆,如上所示作出的是一个正五角星.

演变 变式1 求五角星中五个角的和.

解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D,∠ANM =∠C +∠E, E ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM

= 180?.

表明正五角星中五个角的和为180?.

另法 连结CD,则在△AEF和△CDF中, D C 有 ∠B +∠E = 180?-∠BFE = 180?-∠CFD =∠CDF +∠DCF. 在△ACD中,∠A +∠ACD +∠ADC = 180?,

即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180?. B E ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180?. 说明 正五角星中每个角都是36?.

变式2 如变式1的图,在正五角星中存在黄金分割数, D

MNBNBM?1???46页“阅读与思考 —— 黄金分割数”),NBBMBE2

此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明.

变式3 如图,是将不规则的五角星改为退化的五角星,

则其五个角的和等于多少? 解 如图,将其转化为不规则的五角星,问题立即获解,

五个角的和等于180?,或连结两个顶点后利用三角形内角和

D C 定理即可解决.

变式4 六角星,七角星,甚至n角星的各个顶角之和等于多少?

解 都等于180?.

说明 解答星型n边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180?及其推论”,设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中,这是解答此类题目的金钥匙.

24.4 弧长和扇形面积

题目 如图,从一个直径是1 m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90? 的扇形,求被剪掉C 可以证明 9

本P1259题)

解 连结BC,因为扇形的圆心角为90?,所以BC过圆心O (即BC是直径),于是在等腰直角三角形ABC中,

221?

,扇形的面积为??AB2?, BC?

2248

12?1??

扇形的弧长为 ?2??AB?,因此被剪掉的部分的面积为?(BC)2??(m2).

44288

2?2

将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆的半径r满足 2?r?,得r?m).

48

点评 求解图形(阴影部分)的面积时,通常是利用等积变换,分割、重叠等,把求图形(阴影部分)的面积转化为求圆,扇形,弓形,三角形或多边形等基本图形的面积.

演变

变式1 求所围成的圆锥的高h和体积V. AB?

解 h?

AB2?r2?(

22230)?()2?, 288

11230?V???r2h??()2??.

3388768

,变式2 如图,AC,BD是⊙O中两条互相垂直的直径,以A为圆心AB为半径画弧BD

求证:月牙形阴影部分的面积等于△ABD的面积.

1

解 设圆的半径为R,则S?ABD??2R?R?R2.

2

2

90?2R)1

以A为圆心,AD为半径画出的扇形ABED的面积S扇形?弓形BED??R2,

3602

111

的面积为?R2?R2,所以月牙形阴影部分的面积等于?R2?(?R2?R2)?R2,即与△ABD

222

的面积相等.

变式3 如图,从一个半径是r的圆形铁皮中剪出一个圆心角为? 的扇形,求扇形的面积;如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,求圆锥底面圆的半径.

解 连结OA,OB,OC,则OA = OB = OC = r,∠BOC = 2∠BAC,OA平分∠BAC,即

?OAB?

?

2

,∠BOC = 2?.过O作OD⊥AB于D,则OD平分AB,于是AB = 2AD.

在Rt△ADO中,AD?OA?cos?OAB?rcos因此,扇形ABC的面积为S扇形?BC弧长为

2???r

. ?2?r?

36090

?

2

,∴ AB?2rcos

?

2

?

360

???AB2?

?

90

?r2cos2

?

2

⌒所对的圆心角为2?, ∵ BC

⌒=??r,得r???r. ∴ 将扇形围成圆锥,则圆锥底面圆的半径r1 满足2?r1 =BC1

18090

25.1 概率

题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大?(人教课本P1391题)

10

解 落在海洋里的可能性更大.

点评 可能性是指能成为事实的属性.然而世界上有很多事情具有偶然性,人们不能事先判断这些事情是否会发生.概率就是从数量上用来描述(刻画)随机事件发生的可能性的大小.对这一问题,需要充分把陨石抽象成随机地散落,地球也是必须抽象成平辅的面,与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上(不可能弯曲行进而落在背面上).我们生活的地球,脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面,而是大致接近于球面.

演变

变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大?

773解 落在海洋里的概率为?,落在陆地上的概率为

?3?7103?7变式2 扎到正三角形的内切圆(即阴影部分)区域的概率为( ).

1333A. B. ? C.? D.69?2

3解 设正三角形的边长为单位1,则正三角形的面积为,正三角形的内切圆半径 4

13?,内切圆的面积为?()2?,针扎到正三角形的内切圆(即阴影部r?tan30??26612

?3分)区域的概率为???,选C. 1249

变式3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率. 解 以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人 能够会面的条件是∣x-y∣≤15.在平面直角坐标系中,点(x,y)

的所有可能结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间由图中的 2260?457?阴影部分所表示,所以两人能会面的概率为P?. 21660

说明 把上述问题抽象成如下模型是:设在面积为S的区域中有任意一个小区域A,小区域的面积为SA,则任意投点,点落入A中的可能性大小与SA成正比,而与A的位置及形状

S无关,为P?A. S

注意,如果是在一个线段上投点,那么面积则改为长度;如果是一个立方体内投点,则面积就改为体积.

25.2 用列举法求概率

题目 在6张卡片上分别写有1-6的整数.随机地抽取一张放回,再随机地抽取一张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少?(P154练习第1题)

解 设第一次随机地取出的数字为a,第二次随机地取出的数字为b,则(b,a)共有36 11

5,1),(6,

1),(2,2),(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4),(5,5),(6,6),共14种.

147因此,所求的概率为?. 3618

点评 用列表或画树状图的方法,可以不重不漏的列举事件发生的所有结果,我们把这两种方法统称为列举法;列举法只适用于等可能事件;等可能事件的特点是:出现的结果是有限多个,各结果发生的可能性相等.

用列举法求概率的一般步骤是:(1)用列表或画树状图的方法,列举出事件所有可能出现的结果,并判断每个结果发生的可能性是否相等;(2)如果都相等,再确定所有可能出现的结果个数n及所求事件出现的结果个数m;(3)利用公式计算所求事件A的概率,即

mP(A)?. n

列表或画树状图都可以清晰地、不重不漏的表示出某个事件发生的所有可能结果,从而很方便地求出某些事件发生的概率.

当试验包含两步时,列表法比较方便,也可以用画树状图法;当试验在三步或三步以上时,用画树形图的方法方便.

演变

5变式1 求第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率是多少?(答案:) 12

变式2 把第一次取出的数字作分母,第二次取出的数字做分母,所求得分数是真分数

11的概率?(答案:) 36

5变式3 求两次取出的数字和大于8的概率?(答案:) 18

变式4 同时抛掷两枚均匀的正方体骰子.求:(1)掷得两个6的概率;(2)两枚骰子的点数之和为奇数的概率;(3)两枚骰子的点数之积为奇数的概率;(4)所得两个点数之和大于9的概率.(答案:(1)(2)(3)(4))

变式5 已知关于x的不等式ax-3<0(其中a≠0).(1)当a = 2时,求此不等式的解,并在数轴上表示此不等式的解集;(2)在6张卡片上分别写有1-6的整数,从中任意抽取一张,以卡片上的数作为不等式中的系数a,求使该不等式没有正整数解的概率. ..

32,在数轴上的表示略 (2)) 23

变式6 小明和小颖做抽取卡片(6张卡片上分别写有1-6的整数)游戏,规则如下: ① 游戏前,每人选一个数字; ② 每次各抽取1张卡片; ③ 如果同时抽取的1张卡片点数之和,与谁所选数字相同,那么谁就获胜.

(1)列出同时抽取的卡片数字所有可能出现的结果;

(2)已知小明选的数字是5,小颖选的数字是6.如果你也加入游戏,你会选什么数字,使自己获胜的概率比他们大?请说明理由.

(答案:(1)略 (2)同时抽取两张卡片,可能出现的结果有36种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足两张卡片点数和为5(记为事件A)的结果有4种,即(1,4),(2,

413),(3,2),(4,1),所以小明获胜的概率为P(A)??.满足两张卡片点数和为6(记369

为事件B)的结果有5种,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以小颖获胜的(答案:(1)x? 12

5.要想使自己获胜的概率比他们大,必须满足两张卡片点数和出现的结果多36

于5种,由所列表格可知,只有两张卡片点数和为7(记为事件C)的结果多于5种,有6种,

61即(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),所以P(C)??.因此,要想使366

自己获胜的概率比他们大,所选数字应为7.)

变式7 A箱中装有3张相同的卡片,它们分别写有数字1,2,4;B箱中也装有3张相同的卡片,它们分别写有数字2,4,5.现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片,请你用列表或画树状图的方法求:(1)取出的两张卡片数字恰好相同的概率;(2)如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字,取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字,求两张卡片组

15成的两位数能被3整除的概率.(答案:(1) (2)) 99

说明 由于两次取出来的数字互有较强的关系,所以可以据此编出有关这两次数字的加法、减法、乘法、除法、乘方、开平方、不等式、指数、对数,甚至函数的概率问题. 概率为P(B)? 13

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