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齐齐哈尔市梅里斯区哈力中学

发布时间:2013-09-30 08:32:08  

齐齐哈尔市梅里斯区哈力中学:杜广富

1,题目 如图,直线AB,CD相交于点O,∠EOC = 70?,OAE D平分∠EOC,求∠BOD的度数.(人教课本P97题)

解 ∵ OA平分∠EOC, B 1∴ ∠AOC =∠EOC = 35?. 2C 又 ∵∠BOD =∠AOC, ∴ ∠BOD = 35?.

点评 由角平分线定义如AD是∠BAC的角平分线,得∠BAD =∠CAD =∠BAC.

演变

变式1 已知直线AB与CD相交于O,OB平分∠COE,FO⊥AB,∠EOF =120?,求∠AOD的度数.(答案:30?)

B F E C F C M O B A B A A ON

D E D C

变式2 已知直线AB与CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD,且∠BOF = 40?,求∠EOD的度数.

(答案:140?)

变式3 已知AB⊥CD于O,直线EF过点O,∠AOE = 25?,求∠COF的度数.

(答案 65?)

变式4 已知∠AOB是直角,且∠AOC = 40?,OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,求∠MON的度数.

解 ∵ ∠AOB = 90?,∠AOC = 40?,

∴ ∠BOC = 130?.

∵ OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,

∴ ∠MOC =∠BOC = 65?,∠AON =∠NOC =∠AOC = 20?, ∴ ∠MON =∠MOC-∠AON = 45?.

变式5 在变式4 中,当∠AOB =?,其它条件不变时,求∠MON的度数. 121212

(答案:?)

变式6 在变式4 中,当∠AOC =?,其它条件不变时,求∠MON的度数,从中你得出了什么结论?

(答案:45?)

点评 通过变换∠AOB和∠AOC的度数可以发现,∠MON的度数大小只与∠AOB的度数大小有关,而与∠AOC的度数无关. 2,题目 如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC + A∠ACE +∠CEF =( ).(人教课本P236(2)题)

C A.180? B.270?

C.360? D.540? E

解 这是平行线性质的应用,利用“两直线平行,同旁内角互补”,可以得到∠BAC +∠ACE +∠CEF = 360?,故选C.其中,CD在解题中起了非常重要的一个“桥梁”的作用. A演变 F 变式1 (2008年广安)如图,AB∥CD,若∠ABE = 120?,∠DCE = 35?,则有∠BEC =________度. C解 过点E作EF∥AB.

由于 ∠ABE = 120?,所以 ∠FEB = 60?.(两直线平行,同旁内角互补)

又由于 ∠DCE = 35?,所以 ∠FEC = 35?,(两直线平行,内错角相等)

所以 ∠BEC =∠FEB +∠FEC = 60? + 35? = 95?.

变式2 (2008年成都)如图,已知直线AB∥CD,

∠ABE = 60?,∠CDE = 20?,则∠BED = 度.

(提示:过点E作EF∥AB,则可得∠BED = 80?)

变式3 (2008年十堰)如图,已知AB∥CD,

∠A = 50?,∠C = 20?,则∠P = .

(提示:过点P作AB与CD的平行线,即可得解,∠P = 35?)

B A 12B D F E D B

C D

变式4 已知直线AB与CD的平行线,下列结论正确的是

( ).

A.∠A +∠P +∠C = 180? B.∠A +∠P +∠C = 360?

C.∠A +∠C = 2∠P D.∠A +∠C =∠P

(答案:D)

变式5 (2009年湘西自治州)如图,l1∥l2,∠1 = 120°,

∠2 = 100°,则∠3 =( )

(答案:A)

A.20° B.40° l1C.50° D.60° 2

l2

变式6 如图,AB∥CD,分别写出下面四个图形中∠A与∠P、∠C的关系,请你从所得到的关系中任选一图的结论加以证明. ..........

PA

PCDPBABBDA

C C

P

A

CBD

(1) (2) (3) (4)

(答案:(1)∠A +∠C =∠P (2)∠A +∠C +∠P = 360? (3)∠A =∠C +∠P (4)∠C =∠A +∠P)

点评 随着折点的不同变化,结论也会不同,但解法却如出一辙,都是过折点作平行线求解.还有其它的几种变式,请同学们自己探究.(结论:左边的角=右边的角)

3,题目 在平面直角坐标系中点的横、纵坐标满足:① 点P(x,y)的坐标xy>0;② 点P(x,y)的坐标xy<0,求点P在第几象限.(人教课本P4610题)

解 ① 点P在第一、三象限; ② 点P在第二、四象限) 点评 点的横、纵坐标满足:第一象限正正;第二象限负正;第三象限负负;第四象限正负.

演变

变式1 若点P(1,2x)在第四象限内,求x的取值范围.

(答案:x<0)

变式2 若点P(x,1-2x)的横、纵坐标互为相反数,则点P一定在 .

(答案:第四象限)

变式3 已知点P(x,y),且x,y满足(x + 1)2 +|y-2|= 0,求点P在第几象限.

(答案:第二象限)

变式4 已知点P(x,y)在第二象限,且|x|-2 = 0,y 2-4 = 0,求点P的坐标.

(答案:P(-2,2))

变式5 已知点P(x,y)的坐标满足xy = 0,则点P在 .

(答案:坐标轴上)

变式6 已知点P(x + 2, x + 1)在平面直角坐标系的y轴上,则点P的坐标为 .

(答案:P(0,-1))

变式7 已知点P(x,y),则P到x轴得距离是 ;到 y轴得距离是

(答案:|y|,|x|)

4,题目 什么条件下,下列分式有意义?

(1)1x?5; (2)2.(人教课本P9第8题) x(x?1)x?1

解 (1)x≠0且x≠1.

(2)x为任意实数.

点评 根据分式的定义,要使分母有意义的条件必须满足分母不等于0,否则分式无意义.对于分母中只含有一个字母的,结果是这个字母不等于某个数(如x≠0且x≠1);对于分母中含有多个字母的,结果是这些字母不能有某种关系如(x≠y);当分母的形式非常特殊的时候,如为x2 + 1,︱x︱+ 1,x+ 1等或类似情况时,考虑x为任意实数或为非负数.当对x的限制条件不止一个时,要注意考虑所有情况.

演变

变式1 在函数y?1中,自变量x?3x的取值范围

x的值等是 . (答案:x≠3) x2?x?2变式2 若分式2的值为0,则x?2x?1

于 . (答案:2)

变式3 若分式1无意义,则实数x?2x的值是 . (答案:2)

变式4 写出一个含有字母x的分式(要求:不论x取任何实数,该分式都有意义).

变式5 已知使分式ax?7有意义的一切x的值,都会使这个分bx?11

式的值为一个定值,求a,b应满足的条件. (答案:11a-7b = 0)

变式6 使分式

是 .

(答案:x≠0且x?)

16.2 分式的计算

11??11?5,题目 计算: ??????2?2?. (人教课本P23第6(2)b??ab??a2x?a(a≠0)有意义的1?axx应该满足的条件1a

题)

2?a?b??解 原式=a2b2a2b2a?b=. 22b?ab?a

点评 分式的混合运算一定要遵守运算法则,乘方时要分子分母分别乘方,通分是实现异分母相加减的转化手段,但要注意选择最简公分母以简化运算,约分的时候要注意符号,并保证结果为最简分式.

演变

?x2?42?x?x??变式1 化简:?2,其结果是( ). ?x?4x?4x?2x?2??

8888A.? B. C.? D. x?2x?2x?2x?2

(答案:D)

x?32?x”. ?2x?2x?4

(x?3)(x?2)x?2x2?x?6?x?2x2?8?2??2小明的做法是:原式?; x2?4x?4x2?4x?4变式2 学完分式运算后,老师出了一道题小亮的做法是:原式=(x + 3)(x-2)+(2-x)= x2 + x-6 + 2-x = x2-4; 小芳的做法是:原式?x?3x?2x?31x?3?1?????1. x?2(x?2)(x?2)x?2x?2x?2

其中正确的是( )

A.小明 B.小亮 C.小芳 D.没有正确的

(答案:C)

变式3 先化简,再选择一个你喜欢的数(要合适哦!)代入求2?1?x?1值:?1???. x?x?

2x1?1?x?1x?1(x?1)(x?1)x?1解 ?1???. ?????xxxxx(x?1)(x?1)x?1??

说明 这种类型的计算题看似简单,但对同学们是否掌握了使分式有意义的x的值有较高的要求,如此题显然不能取1,-1,0.

6,题目 指出下列函数中哪一个是反比例函数,并指出k值. (人教课本P46第2题)

A.y? B.y??

解 B,k??. 3x25 C.y = x2 D.y = 2x + 1 3x

点评 反比例函数有三种表示形式:(1)“分式”型:形如y?k

x

(k为常数,k≠0);(2)“乘积”型:即xy = k(k为常数,k≠0);

(3)“负指数”型:y = kx-1(k为常数,k≠0).在学习时要注意对定义和表示形式进行研究,准确理解这三种表示形式后,就能抓住反比例函数定义的主要特征.

演变

变式1 下列函数中,是反比例函数的是( ).

A.y =-3x B.y??1 C.y?

+ 1 (答案:C)

变式2 若y?m?2是反比例函数,则m必须满足( ). xx21 D.y = 3x2 ?x

A.m≠0 B.m =-2 C.m = 2 D.m≠-2 (答案:D)

变式3 有以下判断:① 圆面积公式S =? r2中,面积S与半径r成正比例;② 运动的时间与速度成反比例;③ 当电压不变时,电流强度和电阻成反比例;④ 圆柱体的体积公式V =? r2h中,当体积V不变时,圆柱的高h与底面半径r的平方成反比例.

其中错误的有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:B)

变式4 如果函数y = x2m-1为反比例函数,则m的值是( ).

A.-1 B.0 C. D.1

(12

答案:B)

变式5 已知反比例函数的图象经过点(a,b),则它的图象一定也经过点( ).

A.(-a,-b) B.(a,-b) C.(-a,b) D.(b,-a)

答案:A)

7,题目 计算:(?2

3)2.(人教课本P8 2(4)题)

解 原式=(?2)2?(2)2?2

333.

点评 大家知道,当a≥0时,a2有意义,且a2?a.而当a<0时,a2也有意义,此时a2?|a|,进一步的,则等于-a(-a>0).为了预防解题粗心出错(如(?2)2??2

33),通常是根据平方(或

立方)的意义,先处理掉(好)符号,再按有关顺序和规定运算.

演变

变式1 填空:(1)4

9;(2)21

4(答案:

(1)2 (2)3

32)

变式2 当x 时,式子1

x?2在实数范围内有意义? (答案:>2

3)

变式3 若n?2是整数,求正整数n的值(至少写出3个).

(答案:n = 1,2,9,17等.)

变式4 是否存在正整数n,使得1

n?2是有理数?若存在,求

出一个n的值;若不存在,请说明理由.

解 假设存在正整数n,使1

3n?2是有理数,则因为3n + 2是(

正整数,所以3n + 2应该是一个完全平方数.

假设3n + 2等于k(k≥3,k是正整数)的平方,则k = 3p或者

2 3p + 1或者3p + 2,也就是说k除以3余0或者1或者2,而(3p)除

以3余0,(3p + 1)2 = 9p2 + 6p + 1,(3p + 2)2 = 9p2 + 12p + 4 除以3都余1,所以没有数的平方除以3余2.表明3n + 2不是完全平方数,从而假设不成立,因此,不存在正整数n,使1是有理数. n?2

8,题目 计算:27??6.(人教课本P15 6(4)题)

解 原式=32?3?52?2?6?3?52?6?15(?2)?6= 15.

另法 原式=27?50??25?15. 6

aa?(a≥0,b>0)),可以从左往右b点评 进行二次根式的乘除运算时,根据乘法、除法规定(a??ab(a、b≥0),

正向使用(如另法),也可以从右往左逆向使用(法一),往往可视其具体题目的数字特点和结构特征,灵活选用.一般情况是尽可能先把根式化简,大数化小,遇到字母开平方时,必须注意字母的正、负性(或讨论).

演变

变式1 填空:(1)?27?50= ;

(2)27??= . (答案:(1)109 (2)) 35因为原式=33?52?2?(2?),2 + 3 = 5,

所以设2 = a,3 = b,则 5 = a + b,题目可演变成如下形式: 变式2 化简:b3?a(a?b)2?ab.

解 原式=[b?(a?b)a]?(a?)= b(a + b)= ab + b2.

若赋予a一些不同的值(相应的可得到b的值),则可得到一组二次根式的乘法除法试题.

变式3 甲、乙两同学在化简 25x3?y?xxy 时,采用了不同的方法:

甲: 因为x,y是二次根式的被开方数,且在分母上,所以x>0,y>0,

于是令 x = 1,y = 1,代入可得,原式=25???. 乙: 原式=52?x2?x?y?x?(5?x?y)?55xy.

从而得出了不同的结果.请指出甲、乙同学的做法是否正确?说明理由.

解 甲,乙两同学的做法都不正确. 甲同学犯了以特殊代替一般的错误,虽然最终结果是5. 乙同学对题目形式上的意义理解错误,通常yxy是一个整体,是被除式.

正确解法是:原式=52?x2?x?y?(x5xy)?(5xx?y)?(xx?y)?.

9,题目 无论p取何值时,方程(x-3)(x-2)-p2 = 0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.(人教课本P4612题)

解 原方程可化为x2-5x + 6-p2 = 0.

方程根的判别式为 △=(-5)2-4(6-p2)= 1 + 4p2, 对任何实数值p,有1 + 4p2>0,

5??4p25??4p2∴ 方程有两个实数根 x1 =,x2 =,且两个22

根不相等.

另法 由 p2 =(x-3)(x-2)= x2-5x + 6 =[x2?5x?()2]?6?()2?(x?)2?,

得 (x?)2?p2?,无论p取何值p2?≥,因此x??p2?. 点评 解一元二次方程有配方法,公式法或因式分解法.一般来说,公式法对于解任何一元二次方程都适用,是解一元二次方程的主要方法,但在具体解题时,应具体分析方程的特点,选择适当的方法.

(1)要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时,常常只须考查方程根的判别式.

(2)见到含字母系数的二次方程,在实数范围内,首先应有△≥0;若字母在二次项系数中,则还应考虑其是否为0.

(3)关于一元二次方程有实数根问题,一般有三种处理方式(何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定):① 利用求根公式求出根来;② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来:x1 + x2 =?bc x1x2 =,以便后继作整体代换;③ 将根代入方程中进行整2aa52141414521452525214

体处理.

演变

变式1 分别对p赋值0,2,?3等,可得如下确定的方程: 2

解方程:(1)x2-5x + 6 = 0;(2)x2-5x + 1 = 0;(3)4x2-20x + 21 = 0.

变式2 当x取什么范围内的值时,由方程(x-3)(x-2)-p2 = 0确定的实数p存在?请说明理由.

解 对任意实数p,有p2≥0,所以只需p2 =(x-3)(x-2)≥0,利用同号相乘得正的原理,得x应满足 ?

?x?3?0,

x?2?0,?

?x?3?0,

解?

x?2?0,?

得x≥3或x≤2.

表明,当x取x≤2或x≥3范围内的实数时,由方程(x-3)(x-2)-p2 = 0确定的实数p存在.

变式3 指出方程(x-3)(x-2)-p2 = 0的实数根所在的范围?

解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x1 =?=?

52

1

?4p2, 2

52

1

?4p2,x2 2

且对任意实数p,有1 + 4p2≥1,∴ 有x1≥??3,x2≤??2, 即方程的实数根所在的范围是x≤2或x≥3. 变式4 试求y =(x-3)(x-2)的最小值.

解 由 y =(x-3)(x-2)= x2-5x + 6 =[x2?5x?()2]?6?()2?(x?)2?,

得 y的最小值为,当x?时取得.

10,题目 如图,△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与DC有什么关系?你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗?(人教课本

D P679题) A

解 ∵ △ABD是等边三角形, ∴ AB = AD,∠BAD = 60?. 同理AE = AC,∠EAC = 60?. ∴ 以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60? 就得到△CAD, ∴ △ABE≌△ADC,从而 BE = DC.

另法 ∵ △ABD,△AEC都是等边三角形, ∴ AB = AD,AE = AC,∠BAD =∠EAC = 60?,

于是 ∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB. 从而有 △CAD≌△EAB, ∴ DC = BE.

点评 由于旋转是刚体运动,旋转前、后的图形全等,所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,疏通解题

14

52

52

52

52

14

52125212

E

突破口.

演变 变式1 如图,△ABC和△ECD都是等边三角形, △EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的?

说明理由.(人教课本P805题) C 说明:如上题图,去掉BC,把D,A,E放在一直线上即得.

(1)△ABC与△CDE在BC的异侧. (2)点C在BD的延长线上. B D (3)C点在BD外.

B (4)△ACD与△BDE在BD的异侧, 且D点在BC的延长线上.

(5)△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三角形,即AB =

. AC,CE = DE,∠BAC =∠E A F B D C A

变式2 如图,四边形ABCD,ACFG都是正方形,则BG 与CE有什么关系?说明理由. E 变式3 如图,△ABD,△AECC BE与DC有什么关系?

D C

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