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第2课时教师版最简二次根式和同类二次根式 - 副本

发布时间:2013-09-30 11:29:57  

第2课时最简二次根式和同类二次根式

我们把以前实数运算中已经得出的两个等式也作为二次根式的性质: 性质

?a?0,b?0?

性质

?a?0,b?0? 问题1

解析:将18分解素因数,得18=2?32。利用二次根式的性质3和性质2,可知他

一般地,设a?0,b?0,那麽

?

想一想 如果a?0,b?

0,?是否成立?

问题2

解析:利用分数的基本性质以及二次根式的性质4和性质2,可知他们相等。

类似地,设a?0,b?0,

???一.化简二次根式

化简二次根式的定义:把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程。

例1化简二次根式

(1

(2

x?0?

解:(1

?(2

?

?21

由12a3?0,可知a?0,

?2

??

因为x?0,

? 针对练习1:化简下列二次根式

(1

(2

x?

0?n?0?

例2化简二次根式

(1

b?0?

解:(1

???3

??

? 由52x?0,可知x?

0.

?

??

?已知b?0,又由b2

9a?0,可知a?

0,

?3a针对练习2:化简下列二次根式

二.最简二次根式 观察:

2

观察下列二次根式及其化简所得结果,比较每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什麽变化?

?

3

b?0?

?b?0? 3a

可以看到,化简后的二次根式里:

(1) 被开方数中各因式的指数都为1

(2) 被开方数不含分母

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式。

12x?y、6m(a2?b2)等都是最简二次根式. 举例说明:如ab、3

例3:判断下列二次根式是不是最简二次根式:

1)5a2)42a3)24x34

3

解:(1)因为被开方数5a含分母3

33?7?a,

(2)被开方数分解为:42a?2?

(3)因为被开方数含因式22、x3,它们的指数不为1,

根式

(4)将被开方数分解因式:

3?a2?2a?1??3?a?1? 2

其中因式?a?1?的指数为2

针对练习3:判断下列二次根式中,哪些是最简二次根式

例4:将下列二次根式化成最简二次根式:

1)4x3y2(y?0)

2)(a2?b2)(a?b)(a?b?0)

3)

m?n(m?n?0) m?n3

解:(1

??2已知y?0,又由4x3y2?0,可知x?0.

?2

?

?a?已知a?b?0,可知a

?b?0

?a?b?

?

已知m?n?0,可知m

?n?0

m?n

针对练习4:将下列二次根式化成最简二次根式:

p?q?0? b?

0?,

,

三.同类二次根式

问题3:把a和1化成最简二次根式,所得结果有什麽相同之处? 2a

可见,二次根式里两个被开方数都是2a 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.上述a和1就是同类二次根式. 2a

例5:下列二次根式,哪些是同类二次根式:

,24,1,a4b,2a3b(a?0),?ab3(a?0) 27

4

解:把二次根式化成最简二次根式,得

?

a??2a?

0?

???由a?0,可知b?0?

.

针对练习5:判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式

(1

) (2

x?0?

a?0?y?0?

在多项式中,同类项是可以合并的,类似的,同类二次根式也可以合并,它的依据是提取公因式.

例6:合并下列各式中的同类二次根式:

1)22?113?2?; 23

2)xy?axy?bxy

解:(1

?1?1=?2+?-+1?3?2 5

(2

)=?

3-a?b针对练习6:合并下列各式中的同类二次根式:

(1

课堂练习题

1.在根式3x5y,x2?y2,21, 2

)x,a,xy中,最简二次根式的个数是2

( )

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

2.若a>0,把?4a化为最简二次根式为( ) b

A.2

b2

b?ab B.-ab D.2b?ab ab C.-2

b 3.下列各组根式中,不是同类根式的一组是( )

A.3,,1

227

B.24,1,6 54

C.3

4a3b4,a5b2,a7

D.yxx3?y3,xy, xy

4.最简根式a?4b和b4a?3b?6是同类二次根式,则( )

A.a=3,b=1 B.a=2,b=1

C.a=1,b=2 D.a=1,b=1

5.下列二次根式中与1是同类二次根式的是( ) 12

6

A. B.27 C.22 D. 39

6.当x<0,y<0时,下列等式中成立的是( )

A.x2y??xy B.xy2??yx

C.9x3y??3xxy D.4x2y??2xy

7.下列各等式中,一定成立的是( )

A.a2?1?a?1?a?1 B.(a?b)2?a?b

C.a1?ab D.(a2?1)2?a2?1 bb

8.5a3,1a,a3,32a,中,同类二次根式有________. a8

9.若?y7?y,则y的取值范围为________. ?y?5(y?5)2

(a?1)2a10.已知a为实数,给出下列4个命题:①若=-1,则a<0,②若a≠1,则|a|1?a

=-1,③若-

号________.

课后练习

1. 最简根式2n?和3m?3是同类二次根式,求m,n的值.

11a?2??,则a>0,④若a≥-2,则有意义,写出正确命题的代2a?1aa

x2.化简:2x?y

4x2?4xy?y2(2x>y). x

3.当a>1时,化简a-?2a?a2.

7

练习题答案:1.C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.C 7.D 8.1与a3 aa与a9.5<y≤7 10.①③ 8

课后习题答案:1.解:由2n-2=2和3m-3=6,得m=3,n=2

(2x?y)2(2x?y)xxx2.∵ 2x>y,原式=???x

3.解:∵

2x?yx2x?yxa>1,∴ a-?2a?a2=a-(a-1)=1 8

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