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八年级数学12.2三角形全等的判定(ASA_AAS)

发布时间:2013-09-30 16:38:33  

回首往事: 1.什么样的图形是全等三角形? 2.判断三角形全等至少要有几个条件?
答:至少要有三个条件 边边边公理: 有三边对应相等的两个三角形全等。 边角边公理: 有两边和它们夹角对应相等的两个 三角形全等。

问题:
如果已知一个三角形的两角及一边,那 么有几种可能的情况呢? 答:角边角(ASA) 角角边(AAS)
A

A

B

C

B

C

探究5
先任意画出一个△ABC,再画一个 △A/B/C/,使A/B/=AB, ∠A/ =∠A, ∠B/ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的 △A/B/C/剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
C

A

B

已知:任意 △ ABC,画一个△ A/B/C/, 使A/B/=AB, ∠A/ =∠A, ∠B/ =∠B : 画法:1、画A/B/=AB; 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A , ∠EB/A/ =∠B, A/ D,B/E交于点C/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
C E C’ D

A

B

通过实验你发现了什么规律?

A’

B’

探究反映的规律是:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”)。 用数学符号表示:
在△ABE和△A’CD中 ∠A=∠A’ (已知 ) AB=A’C(已知 ) ∠B=∠C(已知 ) ∴ △ABE≌△A’CD(ASA) B

A

A'

E

D C

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”)。 如图,应填什么就有 △AOC≌ △BOD:
B

∠A=∠B,(已知)
AO=BO ,

C
1 2

∠1=∠2, (已知)
∴△AOC≌△BOD (ASA)
A

O

D

例题讲解
例3.已知:点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交 于点O,AB=AC,∠B=∠C。 求证:(1)AD=AE; (2)BD=CE。 A 证明 :在△ADC和△AEB中

∠A=∠A(公共角) AC=AB(已知) ∠C=∠B(已知)

D O

E

B ∴△ACD≌△ABE(ASA) ∴AD=AE(全等三角形的对应边相等) 又∵AB=AC(已知) ∴BD=CE

C

小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
(2) (1)

如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?

A
(2) (1)

D

(2)

C 利用“角边角”可知,带第(2)块去, E 可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。 B

探究6

如下图,在△ABC和△DEF中,∠A =∠D, ∠ B=∠E, BC=EF, △ABC与△DEF全等吗?能利用 角边角条件证明你的结论吗?
A

B D

C

E

F

在△ABC和△DEF中, ∠A +∠B +∠C=1800, ∠D +∠E +∠F =1800, ∵ ∠A =∠D, ∠B=∠E, ∴ ∠C=∠F, ∴ ∠B=∠E, BC=EF, ∠C=∠F, ∴ △ABC ≌△DEF (ASA)

探究反映的规律是:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角 形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)。
A A'

用数学符号表示: 在△ABE和△A’CD中 AE=A’D(已知 ) ∠A=∠A’ (已知 ) ∠B=∠C(已知 )
E B

D C

∴ △ABE≌△A’CD(AAS)

到目前为止,

我们一共探索出判定三 角形全等的四种规律,它们分别是:

1、边边边 2、边角边 3、角边角 4、角角边

(SSS) (SAS) (ASA) (AAS)

练一练:
1、如图∠ACB=∠DFE,BC=EF,根据SAS,ASA或AAS, 那么应补充一个直接条件 AC=DF或∠B=∠E或∠A=∠D --------------------------, (写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF.
A
F B E D
1 2

A

C
D
B

E

C

2、如图,BE=CD,∠1=∠2,则AB=AC吗?为什么?

over

例: 如图,O是AB的中点,∠A= ∠B, △AOC与△BOD全等吗?为什么?
C
两角和夹边 对应相等

A

O

B D

解:在 DAOC和DBOD


(已知)

?A ? ?B AO ? BO

(中点的定义)

?AOC ? ?BOD

(对顶角相等)

\ DAOC ? DBOD

( ASA )

例: 如图,O是AB的中点,∠C= ∠D, △AOC与△BOD全等吗?为什么?
C
两角和对边 对应相等

A

O

B D

解:在

DAOC和DBOD



∠C= ∠D (已知) AO ? BO (中点的定义) ?AOC ? ?BOD (对顶角相等) \ DAOC ? DBOD (AAS)

知识应用 [ P13: 1,2. ]
1. 如图,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,可以 在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再定出 BF的垂线DE,使A, C,E在一条直线上, 这时测得DE的长就是AB的长。为什么? 证明: A 在△ABC和△EDC中, ∠B=∠EDC=900 BC=DC, D B 1C F ∠1=∠2, 2 ∴ △ABC ≌△DEF (ASA) ∴ AB=ED. E

知识应用 [ P13: 1,2. ]
2.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证: AB=AD. 证明: ∵ AB⊥BC, AD⊥DC, ∴ ∠B=∠D=900,
在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D, ∠1=∠2, AC=AC, ∴ △ABC ≌△ADC (AAS) ∴ AB=AD.

已知: 如图∠B=∠DEF, BC=EF, 求证:ΔABC≌ ΔDEF (1)若要以“SAS”为依据,还缺条件AB=DE ______; ∠ACB= ∠DEF (2)若要以“ASA”为依据,还缺条件______; AB=DE、AC=DF (3)若要以“SSS” 为依据,还缺条件______; (4)若要以“AAS” 为依据,还缺条件______; ∠A= ∠D

练习:

三步走:
①要证什么; ②已有什么; ③还缺什么。
=
B

A

D

= F

E C

(1) 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由. 全等.因为两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等.

解:在DABC和DDBC中
?ABC ? ?DBC (已知)

A

110
B

?A ? ?D

(已知)

35 35 110
D

C

BC ? BC (公共边)

\ DABC? DDBC ( AAS )

(2)已知DABC中,BE ? AD于E,CF ? AD于F, 且BE ? CF,那么BD与DC相等吗?

证明: BE ? AD,CF ? AD ? ? \?BED ? ?CFD ? 90 (垂直的定义)

A

? 在DBDE 和DCDF中 F D ?BED ? ?CFD (已证) B E ?BDE ? ?CDF 对顶角相等) (

C

BE ? CF (已知)
\DBDE ? DCDF AAS) (
\ BD ? CD 全等三角形对应边相等) (

(3) 如图,AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证: (1)?C ? ?B (2)OA ? OD
证明: (1)连接AD, 在△ADC和△DAB中 D AD=DA(公共边) AC=DB(已知) DC=AB(已知) ∴△ADC≌△DAB (S

SS) ∴∠C=∠B(全等三角形的对应角相等) A C

2
1

O B

(2) 在△ AOB 和△ DOC中 ∴△DOC≌△AOB (AAS) ∠ B =∠ C (已证) ∠1=∠2 (对顶角相等) ∴OA=OD (全等三角形的对应边相等) DC=AB(已知)

知识要点:
(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. (3)探索三角形全等是证明线段相等(对应边相等), 角相等(对应角相等)等问题的基本途径。

数学思想:

要学会用分类的思想,转化的思想解决问题。

探究7

三角对应相等的两 个三角形全等吗?

作业:
1、第15页,习题11.2:第5,6题。
2、第16页,习题11.2第11、12题。


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